追及问题之解题研究

张花丽

追及问题是运动学中比较常见的一类问题，此类问题的综合性强，往往涉及两个或两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同，追及问题的解题方法较多，题目常常可以一题多解，从而培养考生的思维能力和解题能力.

一、追及问题的特点分析

1.追上与追不上的临界条件

两物体（追与被追）的速度相等常是追上、追不上及两者距离有极值的临界条件.

2.常见的两类追及形式

（1）速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）

①两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移与初始两者间距之和，则永远追不上，此时两者间距最小.

②两者速度相等时，若追者位移恰等于被追者位移与初始两者间距之和，则刚好追上，也是两者避免碰撞的临界条件.

③若相遇时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还能再一次与追者相遇，两者速度相等时，两者间距离有一个较大值.

（2）速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）.

①一定能追上，当两者速度相等时两者间有最大距离.

②当追者位移等于被追者位移与初始两者间距之和时，后者追上前者即相遇.

二、追及问题的解题思路及方法

1.物理分析法

分析追及问题，其实质就是分析两物体在相同时间内是否到达同一位置.所以，在分析追及问题时，要紧抓“一个图三个关系式”，即过程示意图，速度关系式、时间关系式和位移关系式，同时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等.解决追及问题的思路如下：

2，数学方法

所谓数学方法就是对物理问题的分析和处理运用数学关系式来解决，解答追及问题常用的数学方法有不等式、二次函数的极值、一元二次方程的判别式等.

3.图像法

图像在中学物理解题中应用十分广泛，它能形象地表达物理规律，直观地叙述物理过程，并简洁地表示物理量间的各种关系.在追及问题中，一般根据两物体的运动情况，画出运动物体的位移—时间图像或者速度—时间图像，然后根据它们的运动关系解题.

4.相对运动法

我们研究物体的运动情况，通常选取地面作为参考系.有时为了研究方便，可以灵活选取参考系.当选取其他物体作为参考系时，被研究的物体的运动就是相对这个物体的.

【例1】在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，则A车的初速度v应满足什么条件？

解析：解法一：（物理分析法）A、B车的运动过程（如图），设经过t时间两车刚好不相撞，利用位移公式、速度公式求解.

对A车有

x=vt+×（-2a）×t

v=v+（-2a）×t

对B车有x=at

v=at

两车有x=x-x

追上时，两车不相撞的临界条件是v=v

联立以上各式解得v=

故要使两车不相撞，A车的初速度v应满足的条件是v≤.

解法二：（数学分析法）利用判别式求解，由解法一可知两车恰不相撞时，x=x+x，即vt+×（-2a）×t=x+at，整理得3at-2vt+2x=0，这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ=（2v）-4×3a×2x<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v应满足的条件是v≤.

解法三：（图像法）利用速度—时间图像求解，先作A、B两车的速度—时间图像，其图像如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则

对A车有v=v=v-2at

对B车有v=v=at

以上两式联立解得t=

经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图像可知x=v·t=v·=，所以要使两车不相撞，A车的初速度v应满足的条件是v≤.

解法四：（相对运动法）选取B车为参考系，认为B车静止不动.A车相对B车做匀减速运动，A车的相对初速度为v，相对加速度为a′=-2a-a=-3a，相对位移为x，A车追上B车且刚好不相撞的条件是：A车相对B车的末速度v=0

由运动学公式v-v=2as得：0-v=2（-3a）x

所以v=

即要使两车不相撞，A车的初速度v应满足的条件是v≤.

小结：解法一注重对运动过程的分析，抓住两物体间距离有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二由位移关系得到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过图像使两物体的位移关系更直观、简捷；解法四通过巧选参考系，使两物体的运动关系变得简明，求解更快捷.

三、类追及问题的例析

狭义的追及问题指两交通工具（如自行车、汽车等）在公路上相互追赶所涉及的追及、相遇问题，广义的追及问题指两运动物体在同一直线或封闭图形上运动所涉及的追及、相遇问题.我们把两运动物体发生相互作用所涉及运动学规律的问题都可以看成是类追及问题.这类问题可以用追及问题的解题思路和解题方法来解决.

【例2】在水平长直的轨道上，有一长度为L=2m的平板车在外力控制下始终保持速度v=4m/s做匀速直线运动.某时刻将一质量为m=1kg的小滑块轻放到车面的中点，已知滑块与车面间的动摩擦因数为μ=0.2（g=10m/s）.

（1）当滑块放到车面中点的同时对该滑块施加一个与车运动方向相同的恒力F，要保证滑块不从车的左端掉下，恒力F大小应该满足什么条件？

（2）在（1）的情况下，力F取最小值，要保证滑块不从车上掉下，力F的作用时间应该在什么范围内？

解析：（1）物理分析法

根据滑块和平板车的运动情况，画出它们的过程示意图（一个草图），如图所示：

滑块在恒力F和摩擦力f共同作用下以加速度a向右匀加速运动，平板车保持速度v做匀速直线运动.滑块恰好不从平板车的左端滑下来的条件是当滑块相对平板车向左运动到左端时速度刚好为v（速度关系）.

由牛顿第二定律得：F+μmg=ma

设滑块经过时间t（时间关系）刚好运动到平板车的左端，速度为v，则t=

滑块的位移s=at

平板车在水平面上运动的位移s=vt

由图可知：s-s=L/2（位移关系）

联立以上各式解得：F=6N

要保证滑块不从平板车的左端掉下，恒力F大小应该满足：F≥6N.

（2）解法一：图像法

根据题意画出滑块做匀加速运动的速度—时间图线（如图线①），经过时间t滑块刚好运动到平板车的左端，其速度大小为v.在t时间内平板车做匀速直线运动（如图线②）.由速度—时间图像的物理意义可知，滑块经过的位移大小等于△OBC的面积，而平板车经过的位移大小等于矩形OABC的面积，而△OAB面积的大小为L/2.

由运动学公式和图像的几何关系可得：t=0.5s（解略）

滑块运动到平板车左端后，在水平恒力F的作用下，以加速度大小a向右匀加速运动（如图线③），经过一段时间t后撤去F，滑块在摩擦力作用下以加速度大小a向右匀减速运动（如图线④），滑到平板车右端的速度为v，则此情况下，F的作用时间最长，平板车一直做匀速运动（如图线⑤）.由速度—时间图像的物理意义可知，滑块经过的位移大小等于多边形OADBC的面积，而平板车经过的位移大小等于矩形OABC的面积，而△DAB面积的大小为L.

根据牛顿第二定律有：F-μmg=ma，μmg=ma

由运动学公式和图像的几何关系可得：t=s=0.58s（解略）

力F=6N，要保证滑块不从平板车上掉下，力F的作用时间t应该取的范围为：t

即0.5s

解法二：相对运动法

选取平板车作为参考系，要使滑块不从平板车的左端掉下来：

滑块相对平板车从车面中点开始向左做匀减速运动，滑块的相对初速度为-v，相对加速度为a，相对位移为L/2，滑块刚好不从平板车的左端掉下来的速度条件是：滑块的相对末速度v=0

由运动学公式：v=v+at

所以t==0.5s

选取平板车作为参考系，要使滑块不从平板车的右端掉下来：

滑块相对平板车从左端开始向右运动，滑块的相对初速度为0，先做相对加速度为a的匀加速运动，达到最大相对速度v，然后开始做相对加速度为a的匀减速运动，滑块刚好不从平板车的右端掉下来的速度条件是：滑块的相对末速度v=0

由运动学公式可得：+=L，所以v=m/s

则t==s=0.58s

综上所述，要保证滑块不从平板车上掉下，力F的作用时间t应该取的范围为：t

即0.5s

发散类比：（1）水平传送带.传送带也可看做是受力做匀速直线运动的木板，如图（a）所示；

（2）直杆在竖直方向做自由落体运动，环套在粗糙的竖直直杆上，直杆和环套在竖直方向运动，直杆可看做木板，如图（b）所示.

学习贵在举一反三，通过一个问题的透彻分析，掌握同类及相近问题的特点、思路和方法，只有这样不断感悟、总结，解题能力才能逐渐提高.