数学分析中的三个不动点迭代公式

岳静

摘要： 本文讨论了闭区间上严格非扩张映射的不动点迭代公式的构造问题.

关键词： 严格非扩展映射不动点迭代

文章通过对迭代公式中系数参量的变化，讨论了闭区间上严格非扩张映射的不动点的具体构造方法，从而得到三个数学分析中的相关结果.

第一部分：引理

引理：若函数f满足

（ⅰ）f（[a，b]）？奂[a，b]；

（ⅱ）？坌x，y∈[a，b]，x≠y，有|f（x）-f（y）|<|x-y|；

（ⅲ）任取x∈[a，b]并令

x=αx+（1-α）f（x），（≤α<1，n=1，2，…）.

则{x}为[a，b]上的单调数列.

证明：由条件（ⅰ）（ⅱ）可知f在[a，b]上存在唯一的不动点，设为.分x=，x<，x>三种情况讨论：

若x=，则x≡，即{x}为常数列，结论显然；

若x<，则由条件（ⅱ）有|f（x）-f（）|<|x-|

即

|f（x）-|<|x-|=-x

即

x

于是

x=αx+（1-α）f（x）

>αx+（1-α）x

=x

x=αx+（1-α）f（x）

<αx+（1-α）（2-x）

=2-2α（-x）-x（≤α<1）

≤2-2×（-x）-x

=2-+x-x

=

即

x

类似地有

x

即{x}在[a，b]上严格单调递增.

若x>，类似可证{x}在[a，b]上严格单调递减.

第二部分：主要结论

1985年徐州师范大学研究生入学试题中有这样一道题：

设函数f在[a，b]上连续，且有

f（[a，b]）？奂[a，b]

试证（ⅰ）？埚x∈[a，b]使得f（x）=x；

（ⅱ）若f单调递减则（ⅰ）中的x是唯一的；

（ⅲ）若？坌x，y∈[a，b].x≠y，有|f（x）-f（y）|<|x-y|.

则（ⅰ）中的x是唯一的.

这道试题涉及了不动点的存在性和唯一性却没有给出不动点的具体构造方法.我们通过数学分析中的方法，给出下面的三个定理.从而依次给出不动点的三个迭代公式.

定理1：设函数f满足

（ⅰ）f（[a，b]）？奂[a，b]；

（ⅱ）？坌x，y∈[a，b]，x≠y.有|f（x）-f（y）|<|x-y|；

（ⅲ）任取x∈[a，b].并令x=[x+f（x）].n=1，2，…，则有唯一的∈[a，b]，使

x=且f（）=.

证明：易证函数f有唯一的不动点，不妨令为.

须证x=

即证|x-|=0

若x=，则显然有x=

若x<.则

0<|x-|=|[x+f（x）]-|

=|（x-）+[f（x-f（）]|

≤|x-|+|f（x）-f（）|

<|x-|

即{|x-|∶n=1，2，3…}严格单调递减有下界，据单调有界定理知

|x-|=m

存在.易知m=0.若不然，则m>0.由引理，令α=（n=1，2，…）.即知{x}是单调的，于是？坌ε>0，？埚N∈N.当n>N时，

m-ε

即有

+m-ε

即

x=+m（或x=-m）

由条件（ⅲ）有

x=[x+f（x）]

=x+f（x）

=（+m）+f（+m）

=+m

（或x=（-m）+f（-m）=-m）

即有

f（+m）=+m.（或f（-m）=-m）

即有+m（或-m）也是f的一个不动点，这与的唯一性矛盾.

故m=0.

把本定理中迭代公式的系数参量加以变化有：

定理2：設函数f满足定理1中的条件（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）任取x∈[a，b].并令

x=αx+（1-α）f（x）（≤α<1，n=1，2，…）

则有唯一的∈[a，b]使

x=且f（）=.

证明：证法与定理1完全类似.

把本定理中的条件（ⅲ）再加以变化可得到如下结果：

定理3：设函数f满足定理1中条件（ⅰ），（ⅱ）且有

（ⅲ）任取x∈[a，b].并令

x=αx+（1-α）f（x）（≤α<1，n=1，2，…）.

其中α=α（≤α<1）.

则有唯一的∈[a，b]，使

x=，且f（）=.

证明：的存在性和唯一性易证

须证x=.

类似于定理1中的证明有

|x-|=m

存在，则m=0，不然有m>0.类似于定理1中的证明，有

x=+m（或x=-m）

有条件（ⅲ）有

x=[αx+（1-α）f（x）]

=α·x+（1-α）f（x）

=α（+m）+（1-α）f（+m）

=+m

（或x=α（-m）+（1-α）f（-m）=-m）

于是有

f（+m）=（+m）（或f（-m）=-m）

这与是f的唯一不动点矛盾，故m=0.

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1998：160.

[3]王加军.微分中值定理的另类证明与推广[J].大学数学，2008，24（3）：169-171.

[4]倪培溉，尚洁.推广形式的Lagrange中值定理及其应用][J].大学数学，2008，24（5）：172-175.

[5]孙学敏.微分中值定理的应用[J].数学教学研究，2009，28（10）：61-63.