八元数上矩阵行列式的一种定义及几个性质

王丹

摘要： 本文采用代数余子式的方法，给出八元数矩阵行列式的定义，本定义不需规定结合方式，运算比较简单，具有较好的运算性质.但是，与实数、复数，以及四元数的相应的情形比较，如此定义的行列式，其所具备的运算性质较少.本文给出了一种新的八元数行列式的定义，它们具备了尽可能多的运算性质.

关键词： 八元数矩阵行列式定义性质

设任意一个八元数x∈O，都可以表示为x=x+xe+xe+xe+xe+xe+xe+xe，其中x，x，x，x，x，x，x，x∈R，八元数的加法是所对应相加，乘法由文［1］中乘法表完全由确定.由于八元数O的乘法既不满足交换律又不满足结合律，如何在八元数O上定义n阶矩阵A的行列式|A|，使其运算尽可能简单，尽量少选择（或不选择）运算顺序，性质的满足尽可能多，而当A一般数域P上n阶矩阵时，|A|等于取至于不同的行与不同的列的n个数乘积的代数和.文［1］作者在文［1］中指出文［2］给出八元数矩阵行列式的定义的不足.文［1］首先规定了八元数乘法的左右结合积：

“约定n个有序八元数x，x，…，x，x的左结合积为（（…（（xx）x）…）x）x，类似定义n个八元数x，x，…，x，x的右结合积.”

再利用n阶对称群［3］给出矩阵行列式如下的定义：

“设A∈O，即A为以八元数为元素的n阶矩阵.设S是n文字的对称群，设σ=（i，i…i）∈S，σ=（j，j，…j）∈S与其对应的n个元素a，a，…，a共有n!种不同次序的排列，其所有排列的左结合积之和，记为〈a，a，…，a〉，同样其所有排列的右结合积之和，记为〈a，a，…，a〉.以τ（σ）代表σ=（i，i，…，i）的反序数，τ（σ）代表σ=（j，j，…，j）的反序数.易知τ（σ）和τ（σ）与其对应的n个元素〈a，a，…，a〉a，a，…，a的乘积的次序与结合方式无关.令

〈a，a，…，a〉=〈a，a，…，a〉+〈a，a，…，a〉

我们定义|A|如下：

|A|=（-1）〈a，a，…，a〉.”

显然此定义满足了较多行列式运算性质，对性质的证明也不困难.但是运算较复杂，因为一个n阶行列式展开后是2（n!）项的代数和，而每一项又是n个元素的乘积，这给实际运算八元数行列式带来了困难.

以下采用代数余子式的方法，给出八元数矩阵行列式的一种定义，本定义不需规定结合方式，具有与文［1］中的定义相同的性质，运算比文［1］中的定义要简单得多，而这些性质的证明都是非常容易的.

一、八元数矩阵行列式的定义

设A=aa…aaa…a…………aa…a

是八元数O上的n阶矩阵，它的n阶行列式

|A|=aa…aaa…a…………aa…a=（aA+Aa）

其中A=（-1）M，M是在A中划去元素a所在的第i行与第j列，剩下的（n-1）个元素按原来的排法构成一个n-1阶行列式

a… aa …a…… …… ……a …aa …aa …aa …a…… …… ……a… aa …a

称为元素a的余子式，A=（-1）M称为元素a的代数余子式.

例如：|a|=a

aaaa=（aa+aa-aa-aa-aa-aa+aa+aa）=（aa-aa-aa+aa）

显然若A是实数域、复数域、四元数上的n阶矩阵，则detA=|A|.

二、八元数矩阵行列式的性质

性质1：若A是八元数O上n阶矩阵，则|A|=|A|.

证明：当n=2时，

|A|=aaaa=（aa-aa-aa+aa）=aaaa=|A|.

即当n=2时性质1成立.假设对于所有n-1阶八元数矩阵行列式，性质1都成立.

对于n阶行列式

aa…aaa…a…………aa…a=（aA+Aa）

这里的A都是n-1的行列式，由归纳假设，性质1对于所有n阶八元数行列式都成立

性质2：若把八元数上n（n＞1）阶行列式中两行（列）互换，则行列式改变符号.即

（i）（j）aa …a…… ……aa…a…… ……aa…a…… ……aa …a=-aa…a…………aa …a…………aa …a…………aa…a（j）（i）

证明：当n=2时，

aaaa=（aa+aa-aa-aa-aa-aa+aa+aa）=（aa-aa-aa+aa）

=-（-aa+aa+aa-aa）

=-aaaa

所以，当n=2时性质2成立.假设对于所有小于n阶八元数矩阵行列式，性质2都成立.再看n阶的情况，首先考虑交换相邻的情况，不妨设第s行与第s+1行交换，设

D= aa… a ……… … aa… aaa…a …… … … a a … a=（aA+Aa）

= aa … a …… … …aa…a a a … a ……… … aa… a=（a+a）

所以

=［（a+a）+（a+a）+a（+a）+（a+a）］

因为（i=1，…，s-1，s+2，…，n，j=1，2，…，n）都是n-1阶的行列式，由归纳假设，有=-A，而=-，

从而（a+a）=-（aA+Aa）.

即=-D

交换不相邻的两行，总可以通过交换相邻两行来实现.事实上：设第r行与第s（1＜r＜s）交换，这时可将第r行通过s-r次相邻交换变到第s行，这时符合改变了s-r次，再将第s行通过s-r+1次相邻交换可变到第r行，这时符合改变了s-r+1次，因此第r行与第s交换是经过2（s-r）+1次的相邻交换得到的，符合改变了2（s-r）+1次.

从而性质2成立.

本文给出的代数余子式的方法来定义八元数上矩阵行列式不需规定结合方式，且具有与文［1］中的定义相同的性质，运算比文［1］中的定义要简单得多，而其中性质1、性质2较其证明相对容易.且运算比较简单，而且可以满足行列式相关性质.但在如何在八元数O上定义n阶矩阵A的行列式|A|，以及在解决八元数上n（n＞1）阶矩阵的行列式不能化为上（下）三角形行列式来计算的问题上仍需作进一步的探讨.

参考文献：

［1］李兴民，袁宏.八元数矩阵行列式的定义及其性质［J］.数学学报，2008（5）.

［2］Li.X.M.，Li.L.，Octonionicdeterminants，preprint

［3］BaezJohnC.TheOctonionis.BullAmerMathSoc2002.39.