契贝晓夫不等式及其应用

甄洪梅

摘要： 契贝晓夫不等式在概率论中有着广泛的应用.本文利用契贝晓夫不等式估算在某个对称区间内事件发生的概率，另外还论述了契贝晓夫不等式在定理证明中的应用，重点是在大数定律证明中的应用.

关键词： 随机变量数学期望方差大数定律契贝晓夫不等式

通过学习概率论，我们知道一些事件发生的概率不能通过常规方法解决或者用常规方法解决起来很繁琐，更有一些定理的证明需要另辟捷径.下面我们就来研究一下利用契贝晓夫不等式来简洁快速地给出某些特殊事件发生的概率.

1.相关定义

我们要研究契贝晓夫不等式，首先要了解概率论中的几个相关定义.下面先来看一下这几个定义.

定义1:定义在样本空间Ω上，取值于实数域，且只取有限个或可列个值的变量ξ=ξ（ω），称作是一维（实值）离散型随机变量，简称离散型随机变量.

定义2:若ξ（ω）是随机变量，F（x）是它的分布函数，如果存在函数P（x），使对任意的x，有F（x）=?蘩p（y）dy，则称ξ（ω）为连续型随机变量.

定义3:若离散型随机变量ξ可能取值为α，（i=1，2…），其分布列为p，（i=1，2…），则当|α|p＜∞时，称ξ存在数学期望，并且数学期望Eξ=αp，如果|α|p=∞则称ξ的数学期望不存在.

说明:在概率论中频率可以逼近概率，即p=，再根据上述定义，可知数学期望的本质就是数学中的平均值.

定义4:设ξ是一个连续型随机变量，密度函数为p（x），当?蘩|x|p（x）dx＜∞时，称ξ的数学期望存在且Eξ=?蘩xp（x）dx.

说明:连续型随机变量的数学期望在本质上和离散型随机变量是一样的.

定义5:设ξ是一个随机变量，数学期望Eξ存在，如果E|ξ-Eξ|存在，则称E|ξ-Eξ|为随机变量ξ的方差.

说明:方差在本质上反映了随机变量偏离数学期望的平均值.

为了研究随机变量偏离数学期望小于任意正常数ε的概率，我们给出了下面的定义.

定义6:大数定律：若ξ，ξ，…ξ，…是随机变量序列，如果存在常数列α，α，…使对任意的实数ε＞0，有p（|-α|＜ε）=1成立，则称随机变量序列{ξ}服从大数定律.

如果随机变量ξ的数学期望Eξ存在，方差为Dξ，对于任意给定的正实数ε，我们有这样的感觉，方差Dξ与p（|ξ-Eξ|＞ε）存在着某种关系，即p（|ξ-Eξ|＞ε）随着Dξ的增大而增大，我们把这个感觉严格化就得到下面的契贝晓夫不等式.

2.契贝晓夫不等式

对任意的随机变量ξ，若Eξ=a，又Dξ存在，则对任意的正数ε，有P（|ξ-a|≥ε）≤.

证明:（1）设ξ是一个连续型随机变量，密度函数为p（x），则

P（|ξ-a|≥ε）

=?蘩p（x）dx≤?蘩p（x）dx≤?蘩（x-a）p（x）dx

=

（2）设ξ是一个离散型随机变量，ξ的分布列为p，则有

P（|ξ-a|≥ε）

=p（x）≤p（x）≤（ξ-a）p（x）

=

证毕

契贝晓夫不等式的另一种形式：对任意的随机变量ξ，若Eξ=a，又Dξ存在，则对任意的正数ε，有P（|ξ-a|＜ε）=1-P（|ξ-a|≥ε）＞1-.

证明：1=P（Ω）=P（|ξ-a|≥ε）+P（|ξ-a|＜ε）P（|ξ-a|≥ε∪|ξ-a|＜ε）

所以P（|ξ-a|＜ε）=1-P（|ξ-a|≥ε）＞1-

证毕

说明：契贝晓夫不等式的转化形式在应用中比较灵活，有时比契贝晓夫不等式用起来更加方便.

3.契贝晓夫不等式的应用

（1）契贝晓夫不等式在概率估计中的应用.

契贝晓夫不等式在概率估计中的应用主要包括两类：一是用于用常规方法不可以求出其准确概率的情况；二是用于虽然可以求出其准确概率，但我们只需要它的大致范围即可的情况.另外还有一点需要注意的是，在我们利用契贝晓夫不等式估计概率时，它所在的区间必须是对称区间.

例1:设随机变量x的方差为2，估计P（|x-Ex|≥2）的概率.

解：利用常规方法我们无法求出P（|x-Ex|≥2）的概率.所以我们只有应用契贝晓夫不等式，即

P（|x-Ex|≥2）≤=.

在契贝晓夫不等式给出的估计式中我们只需要知道方差Dξ及数学期望Eξ两个数字特征就够了，因而使用起来是比较方便的，但是也正因为它没有完整地用到随机变量的统计规律——分布函数或密度函数，所以一般说来它给出的估计是比较粗糙的且存在较大的误差.下面我们给出一个例题来说明这个问题.

例2:若ξ是服从N［a，σ］分布的随机变量，求P（|ξ-a|≥3σ）.

解：利用契贝晓夫不等式得

P（|ξ-a|≥3σ）≤=≈0.11

然而它的准确解为

P（|ξ-a|≥3σ）

=1-p（|ξ-a|≤3σ）

=1-?蘩dx

≈1-0.997≈0.003.

比较这两者的结果，我们不难知道契贝晓夫不等式给出的估计的确粗糙一些.

（2）契贝晓夫不等式在定理证明中的应用，特别是在大数定律证明中的应用.

例3:利用契贝晓夫不等式可以证明：随机变量ξ的方差Dξ=0的充分必要条件是ξ取某个常数值的概率为1，即p（ξ=a）=1.

证明：充分性，显然.

必要性，设Dξ=0，则Eξ存在，于是有

0≤p（|ξ-Eξ|＞0）=p{（|ξ-Eξ|≥）}≤p（|ξ-Eξ|≥）

≤=0

由此可知

p（|ξ-Eξ|＞0）=0

从而

p（|ξ-Eξ|=0）=1

故结论成立.

在贝努里试验中，当n很大时，频率会逐渐稳定到概率.这里的逐渐稳定不同于我们数学分析中的逐渐稳定——极限，所以在概率论中=p是不成立的.这就要求我们采用其他形式来求出这个概率.我们知道当n很大时，（|-p|≥ε）发生的可能性趋向于零（在这里我们还是取ε是大于零的任意实数）.我们把上面的感觉给出严格的数学定义，就是下面的贝努里大数定律.

例4:（贝努里大数定律）设u是n重贝努里试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p（0＜p＜1），则对任意的ε＞0，有

p（|-p|＜ε）=1.

证明：令

ξ=1，在第i次试验中A出现（1≤i≤n）ξ=0，在第i次试验中A不出现（1≤i≤n）

则ξ，ξ，…ξ是n个相互独立的随机变量，且

Eξ=p，Dξ=p（1-p）=pq（1≤i≤n）

而

u=ξ

于是

-p==

由契贝晓夫不等式有

p（|-p|≥ε）=p（|ξ-E（ξ）|≥nε）

≤

又由独立性可知

D（ξ）=Dξ=npq

从而有

p（|-p|≥ε）≤=→0

即

p（|-p|＜ε）=1.

贝努里大数定律所要求的条件比较严格，需要明确地知道n，p，q.下面我们给出条件较为宽松的契贝晓夫不等式，它不需要知道方差的准确值，只需知道方差有界即可.

例5:（契贝晓夫大数定律）设ξ，ξ…是一列两两不相关的随机变量，又设它们的方差有界，即存在常数c＞0，使Dξ≤c，i=1，2…，则对任意的ε＞0，有

p（|-|＜ε）=1.

证明:根据契贝晓夫不等式，有

p（|-|≥ε）≤

=

因为{ξ}两两不相关，且由它们的方差有界即可得到

D（ξ）=Dξ≤nc

从而有

p（|-|≥ε）≤→0（n→∞）

从而有

p（|-|＜ε）=1

通过定义我们虽然可以判断一个随机变量序列是否服从大数定律，但是应用起来很不方便.我们不禁要问：有没有一个定理可以直接判断一个随机变量序列是否服从大数定律呢？回答是肯定的，那就是马尔可夫大数定律.

例6：（马尔可夫大数定律）设ξ，ξ，…ξ是随机变量序列，若有→0，n→∞，则有p（|-|＜ε）=1.

证明：利用契贝晓夫不等式

1≥p（|-|＜ε=p（|-E（）|＜ε）

≥1-

=1-

由假设知

→0

右端趋于1，于是

p（|-|＜ε）=1.

本文成功地利用契贝晓夫不等式简洁快速地给出某些特殊事件发生的概率.本文仅解决了一维随机变量时的情况，我们还将继续考虑多维随机变量的情况.

参考文献:

［1］复旦大学编.概率论［M］.人民教育出版社，1979.

［2］华东师范大学数学系.概率论与数理统计教程［M］.高等教育出版社，1983.

［3］孙志宾.概率论与数理统计习题全解与考研提高［M］.中国建材工业出版社，2002.

［4］魏宗舒.概率论与数理统计教程［M］.高等教育出版社，1983.

［5］王梓坤.概率论基础及其应用［M］.科学出版社，1986.

［6］何声武等编.概率论与数理统计［M］.经济科学出版社，1991.

［7］吴传志.应用概率统计［M］.重庆大学出版社，2004.