分析数量关系的“四招”

周云

摘要： 本文主要通过四种方法,即：借助线段图、借助操作活动、借助列表法、借助文字等式，阐述了如何帮助学生分析数量关系，提高学生解决问题的能力。

关键词： 数量关系线段图操作活动列表法文字等式

数量关系是数学问题的骨架。由应用题到解决问题，不管题目呈现方式如何变化，只要其“根据已知条件解答相关问题”的本质属性不变，就必须引导学生分析数量关系。根据《小学数学课程标准（实验稿）》的要求，解决问题的教学过程既要重视引导学生从数学的角度发现和提出问题，又要重视引导学生分析和解决问题，并获得一些基本的方法。试想，一个搞不清数量之间关系的学生，怎么会提出问题、分析问题、解决问题呢？如果淡化了解题分析，弱化了数量关系，就会加剧“两极分化”现象，尤其是随着年级升高，会逐渐使一部分中等生沦为学困生。

数量关系的教学不再停留于传统的应用题教学中，新课标下的数量关系，融入到不同的领域中，分析数量关系是解决问题的关键，教师应运用多种手段帮助学生提高分析数量关系的能力，下面我就结合自己的教学实践谈谈建议。

一、借助线段图分析数量关系

“线段图”是思维过程的表征方式，具有直观、形象、可操作的特点，学生在解决问题时可以借助线段图罗列信息，分析数量关系，准确地找出数量间的对应关系。

“线段图”能让学生看见“数量关系”。例如人教版六年级上册教学分数解决问题P21例3：“人心脏跳动的次数随年龄而变化。青少年心跳每分钟约75次，婴儿每分钟心跳的次数比青少年多。婴儿每分钟心跳多少次？”可以借助线段图：

让学生利用“形”把问题情境中蕴涵的数量关系形象地描述出来，学生甲说：“婴儿每分钟心跳的次数包括与青少年同样多的部分及比青少年多的部分。”学生很快地找到数量之间的一一对应关系，渗透了对应的思想。

学生乙说：“把青少年心跳的次数当做单位‘1，婴儿心跳的次数是青少年的（1+）。”一语激起千层浪，学生的思维火花就在这时迸发出来，学生利用数形结合的线段图把数学问题中的数量关系清楚地呈现出来，剖析已知量与未知量之间的内在联系，发展数学思维能力，让抽象的分数问题更具体、明了。

“线段图”是解决问题的有效工具，通过画图能直观地显示题意，有条理地表示数量，便于学生发现数量之间的关系，从而形成解题的思路。

二、借助操作活动分析数量关系

《课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能靠单纯的模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”特别是教学“空间与图形”领域的数量关系，更注重引导学生在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想和方法，让学生在“做数学”的活动中经历数量关系的探究过程。

如教学人教版六年级下册“圆柱的表面积”一课中，我在课前先让学生收集圆柱体物体，再在课堂中组织以下操作活动：（1）让学生将标签剪下来，把圆柱的两个底面按在卡纸上描出来再剪下来。（2）让学生大胆猜测圆柱的表面积与剪下来的这些图形有什么关系。（3）小组内合作交流，自主探究，发现圆的侧面积就是标签的面积，两个底面积就是两个圆形的面积。由于学生剪下的标签有两种情况即平行四边形和长方形，因此教师要再引导学生将平行四边形转化成长方形，从而推导圆柱侧面积的计算公式。这样才能够让学生在自主探索的活动中亲历数学知识的“再创造”过程，引导学生充分参与数量关系的探究过程，剖析图形中数量关系的本质。

再比如教学“圆锥的体积”，借助动手操作让学生将圆柱杯子中的水倒入与它等底等高的圆锥中，让学生运用知识的迁移理解，圆柱与等底等高圆锥体积之间的内在联系，帮助学生理解其中蕴涵的数量关系。

三、借助列表法分析数量关系

从儿童的思维特点来看：小学生的思维是以具体形象思维为主，并逐步向抽象逻辑思维过渡，但是，这时学生的思维还是与直接经验、感性经验、形象材料相联系的，需要直观手段的支持。因此注重培养学生的形象思维能力，是帮助他们学习抽象数学知识的前提。特别是“数学广角”中抽象思维的内容较多，教师可利用实物图表等直观手段帮助学生理解问题情境，分析数量关系，感悟思想方法，提高学习效率。如人教版六年级上册“鸡兔同笼”例题：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”为了让学生理清数量关系，可以引导学生用列表法：

学生从列表中不难发现当鸡是3只，兔5只时才满足“共有26只脚”的信息。通过直观形象的列表帮助学生分析鸡脚与兔脚之间的联系，感悟数量关系，把复杂的问题简单化。

“列表法”是加工整理信息的表现形式，通过列表，学生能有意识地排除（或淡化）非数学的内容和无关的数据，保留有价值的数学信息，把分散、零星的重要数据用列表的方式组织起来，让一些较难发现的关系变得易懂明朗，从而有利于解决问题。

再如人教版六年级下册总复习“数学思考”的例7：“六年级有三个班，每班有2个班长。开会时，每次每班只要一个班长参加。第一次到会的有A、B、C；第二次有B、D、E；第三次有A、E、F。请问哪两位班长是同班的？”这是一道比较复杂的逻辑推理问题，借助下面的列表让学生比较容易逐步缩小范围，找到六个人中哪两个人是同班同学。

四、借助文字等式分析数量关系

数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。

义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。基于以上认识，数学数量关系的教学应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生从实际问题中建立数学模型。前面已经提到可以借助线段图、动手操作、列表等手段帮助学生分析数量关系建立数学模型，在列方程解决问题时还可以让学生用文字等式来描述已知量与未知量之间的数量关系，将情景中的生活语言转化为数学语言，建立数量间的相等关系，最后根据文字等式转化成符号语言（方程），实现等量关系模型化。如：人教版六年级上册分数除法解决问题中的例1：“儿童体内的水分约占体重的，成人体内的水分约占体重的，求小明的体重是多少千克？”这个问题，让学生寻找与问题有关的量，即“儿童体内的水分占体重的五分之四”，根据这一关系式让学生写出等式：小明的体重×=小明体内水分的质量。学生根据已有的知识用方程来解决问题，经历了由生活情景—数量关系—符号语言的建模过程，理解了题中的数量关系，提高了数学思维能力和解决问题的能力。

以上谈到的几种分析数量关系的方法，帮助学生养成分析数量关系的习惯，掌握分析数量关系的方法，将使学生解决问题事半功倍。