何时退赛分奖金划算?

沈华

摘要： 本文主要从赛制对比赛双方的影响、比分对奖金分配的影响两个方面讨论弱者对退赛分奖金的赛制和时机的偏好选择.

关键词： 概率赛制影响

在中等职业学校国家审定教材《数学》第二册第94页阅读材料1——概率的起源中，讲到这样一个问题：17世纪中叶，有人请教数学家帕斯卡（Pascal）这样一个问题：一场比赛规定先胜3局为胜，胜者可获奖金4000元.比赛双方打到2：1时因故被迫中止，未分最终胜负，比赛组织者认为奖金也应按2：1的比例分配，但遭到已胜2局者的强烈反对，因为他觉得自己获胜的可能性很大，认为自己吃亏了，究竟应怎样分配奖金才合理？最终帕斯卡和费尔马（Fermat）等人经过讨论给出了答案.费尔马是这样解的：设已胜两局者为甲，以“1”表示甲胜，“0”则相反，因为再赛两局必见胜负，所以只要考虑后两局的比赛结果：11，10，01，00.其中前三种情况为甲胜，仅第四种情况才为乙胜，因此奖金应按3：1的比例分配.我对产生这样的疑问：通常采用的3局2胜制、5局3胜制，以及7局4胜制，在何时退赛分奖金划算呢？要解决这个问题，我认为，必须解决两个问题：一是赛制本身对于选手的影响；二是比分对奖金分配的影响.

一、赛制本身对于选手的影响

现在我们研究一个选手在某一局中获胜的概率与其在整个比赛中获胜的概率.

先假设一个参赛者A在每局中获胜的概率是p，比赛规则为先胜N局者获胜，比赛共进行2N-1局（假定每场比赛都赛完规定的局数，即使胜负已定，依然把剩下的比赛打完）.

若比赛规定是三局两胜，则A赢两局的概率为C■■p■（1-p），A赢三局的概率为p■，得A整场获胜概率为C■■p■（1-p）+p■（1），令（1）=p′，由于我们主要研究双方实力相近的情况，即p接近■.为方便下面的计算，可令x=p-■，则整场获胜的概率p′=（x+■）■+3×（x+■）■·（■-x）=■+■x-2x■.

当x较小时，x■可忽略.经计算，表1给出n个不同p值对应的A获胜的概率p′.

表1在三局两胜的比赛中，每局的胜率与整场的胜率的关系

将其转化为图来表示：

从图1易看出：当每局获胜概率＜0.5时，整场获胜概率＜每局获胜概率；当每局获胜概率=0.5时，整场获胜概率=每局获胜概率；当每局获胜概率＞0.5时，整场获胜概率＞每局获胜概率.

图1（其中直线表示为一局定胜负的情况）

即当双方实力相当时，三局两胜制没有突出优势；当双方实力有差距时，差距越大，三局两胜制越有利于强者.

若比赛规定五局三胜，则A赢三局概率为C■■p■（1-p）■，赢四局概率为C■■p■（1-p），赢五局概率为p■，从而得A整场获胜的概率为C■■p■（1-p）■+C■■p■（1-p）+p■=10p■-15p■+6p■（2），令（2）=p′，同前，令x=p-■，则

p′=■+■x-5x■+6x■.

把不同的p值代入上式，得表2.

表2在五局三胜的比赛中，每局的胜率与整场的胜率的关系

将表1，表2结果画在一张图上表示为：

对比发现，如果一个人在单独一局中获胜概率高于■，则整场获胜概率高于■，且决胜局数越多，他获得整场胜利概率越大.

由此发现，当一个对手实力较弱时，他喜欢三局两胜制胜过五局三胜制.

二、比分对奖金分配的影响

下面按照费尔马的解法分别来看看3局2胜制、5局3胜制、以及7局4胜制中在不同的比分退赛时奖金的分配情况.设“1”为甲胜，“0”为乙胜.

1.3局2胜制

当比分为1∶0时，再赛两局必见胜负，穷举后两局比赛结果：11，10，01，00，其中前三种为甲胜，后一种才是乙胜，故奖金应按3∶1比例分配.

当比分为1∶1时，再赛一局必见胜负，穷举比赛结果：1，0，显然奖金应按1∶1比例分配.

2.5局3胜制

当比分为1∶0时，再赛四局必分胜负，穷举后四局比赛结果：1111，1110，1101，1011，0111，1100，1010，1001，0110，0101，0011，1000，0100，0010，0001，0000，奖金按11∶5比例分配.

当比分为1∶1时，再赛三局必分胜负，穷举后三局比赛结果：111，110，101，011，100，010，001，000，奖金按1：1分配.

当比分为2∶1时，再赛两局必分胜负，穷举后两局结果：11，10，01，00，奖金按3：1分配.

当比分为2∶2时，再赛一局即分胜负，有两种结果：1，0，奖金按1：1分配.

3.7局4胜制

当比分为1∶0时，再赛六局必分胜负，后六局所有情况共有64种，其中甲胜的情况有42种，乙胜的情况有22种，故奖金应该按21∶11分配.

当比分为1∶1时，再赛五局必分胜负，后五局所有情况共有32种，其中甲胜的情况有16种，乙胜的情况有16种，故奖金应该按1∶1分配.

当比分为1∶2时，再赛四局必分胜负，穷举后四局的所有情况：1111，1110，1101，1011，0111，1100，1010，1001，0110，0101，0011，1000，0100，0010，0001，0000，其中甲胜的情况有5种，乙胜的情况有11种，奖金按5∶11分配.

当比分为2∶2时，再赛三局必分胜负，穷举后三局所有的情况：111，110，101，011，100，010，001，000，其中甲胜的情况有4种，乙胜的情况有4种，故奖金应按1∶1分配.

当比分为2∶3时，再赛两局必分胜负，穷举后两局所有情况：11，10，01，00，其中甲胜有1种情况，乙胜有3种情况，所以奖金应按1∶3比例分配.

当比分为1∶3时，奖金按1∶7分配；比分为3∶3时，奖金按1∶1分配.

以甲领先为例，将上述情况做成表格如下：

由以上表格中的数据可以发现，从左到右看，不管哪一种赛制，领先者所得奖金的比重在逐渐增加（或者说双方所得奖金差距在加大）；从上向下看，当比分确定时，领先者所得奖金的比重在逐渐减少（或者说双方所得奖金差距在缩小）.注：当比分持平时，以上规律例外.

综合以上两个方面的因素，可以得出这样的结论：在正常状态下，当双方实力差距很大时，如果赛制已定，弱者偏向于在先胜一局时退赛分奖金，否则，他会偏向于在战平时退赛分奖金；如果赛制未定，他更偏向于选择3局2胜制，在先胜一局时退赛分奖金，否则，他会偏向于在比分持平时退赛分奖金.