微积分教学中的思维培养

雷贯华

摘要： 文章主要研究数学教学要注重思维能力的培养，包括创新思维、逆向思维、逻辑思维和应用思维的培养.

关键词： 创新逆向逻辑应用微积分教学

高等数学教学注重培养学生的学习能力，其中思维能力至关重要.思维能力是指通过分析、综合、概括、抽象、比较、具体化和系统化等一系列过程，对感性材料进行加工并转化为理性认识及解决问题的能力.毋庸置疑，学生的学习活动离不开思维，思维能力是学习能力的核心.微积分是高等数学中的重要教学内容,我结合教学实践，就微积分对学生思维能力的培养谈几点粗浅认识.

一、培养创新思维能力

培养学生的创新思维，首先要引导学生有创新意识.创新意识是人意识活动中的一种积极的、富有成果性的表现形式，是人们进行创造活动的出发点和内在动力，是创造性思维和创造力的前提.为此应积极提供给学生独立思考的机会，让他们对所学知识进行综合分析筛选，大胆提出自己的想法，从而达到思维的创新变通和突破.

比如求不定积分?蘩x■dx，按照常规思维看到■大部分学生会想到首先设x+1=t■，求出dx=2tdt,从而去掉根号将原式转化为2?蘩(t■-1)t■dt,最后根据基本公式求出不定积分.那么如果■不去呢？让学生自己大胆思考另辟蹊径.经过一番自我思索、相互讨论、积极尝试，他们找到了新方法：先进行恒等变形，然后利用凑微分法具体如下：

?蘩(x+1-1)■dx

=?蘩(x+1)■dx-?蘩■dx=?蘩(x+1)■d(x+1)-?蘩■d(x+1)

=■(x+1)■-■(x+1)■+C

再比如：求不定积分?蘩■dx，根据被积函数的形式先分析出第一步要恒等变形，“抛砖”以后把“引玉”的工作交给学生，及时调动他们的学习主动性、积极性和开创性，果然收效甚好，得出了两种不同的解法：

方法一：?蘩■dx

=?蘩■dx=?蘩■dx=?蘩■dx

=?蘩(■+■)dx=?蘩csc■xdx+?蘩■dsinx

=-cotx-(sinx)■+c

方法二：?蘩■dx

=?蘩■dx=■?蘩csc■■dx=-cot■+c

两种不同的求法，既让学生复习巩固了有关三角函数关系式，又及时开拓了他们的思维.

二、培养逆向思维能力

逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式.敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象.数学教学中通常是从已知推到结论的思维方式，其实，对于某些问题，如果正向思维有时会有较大的运算量，有时甚至无法解决，这种情况下就要积极换一个角度看问题，从而使问题简单化.

例1：从半径为r的圆形铁片上截去一扇形，并将剩下的部分做成一个漏斗，问截下扇形的圆心角?准为何值时，漏斗的容积最大.

如果正向思维要求漏斗容积最大，首先要表示出漏斗容积的表达式

V=■πr■■h

其中r■为漏斗底面半径，h为漏斗的高，根据题义及圆锥的有关知识得

V=■π■(2π-?准)■■式①

此表达式比较复杂，必定导致求导过程的烦琐.如果反过来思考，问题就转化为求剪剩下的扇形围成漏斗的容积最小的问题，其体积表达式如下

V=■π(■)■■式②

很明显式②比式①要简单，容易求导准确地求出?准值.

利用逆向思维不仅可以简化计算，而且可以培养学生活学活用知识的能力.

例2：已知：?蘩■■f″(x)sinxdx=0，f(π)=-f(0),求证：?蘩■■f(x)sinxdx=0.

通过分析，此题主要考查的是定积分的分部积分法.

方法一：从已知条件出发

?蘩■■f″(x)sinxdx

=f′(x)sinx|■■-?蘩■■f′(x)cosxdx

=-?蘩■■f′(x)cosxdx

=-f(x)cosx|■■-?蘩■■f(x)sinxdx

=f(π)+f(0)-?蘩■■f(x)sinxdx

根据已知条件?蘩■■f″(x)sinxdx=0，f(π)=-f(0)得?蘩■■f(x)sinxdx=0.

方法二：从结果出发

?蘩■■f(x)sinxdx

=-f(x)cosx|■■+?蘩■■f′(x)cosxdx

=f(π)+f(0)+f′(x)sinx|■■-?蘩■■f″(x)sinxdx

=-?蘩■■f″(x)sinxdx=0

可见正逆运算殊途同归，但思维方式不同.不同的解法使学生进一步理解掌握了分部积分法.

三、培养逻辑思维能力

逻辑思维能力是学好数学必须具备的能力，是指正确、合理思考的能力，即对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的能力.逻辑思维是一种有条件，有步骤渐进式的思维方式，最终达到解决问题的目的.

例：f(x)=lnx-?蘩■■f(x)dx,求证：?蘩■■f(x)dx=■.

学生一看题目似乎无从入手，怎么办？先问学生引导性的问题：直接由原式能否得出结论？结论中定积分的值■可能从哪儿来？经过思考分析推理学生意识到要想得出■，只利用原式中的?蘩■■f(x)dx是不可能的，必须经过运算，即两边同时求定积分再出现一个新的?蘩■■f(x)dx，于是鼓励学生大胆做下去得到式①：

?蘩■■f(x)dx=?蘩■■lnxdx-?蘩■■［?蘩■■f(x)dx］dx

=1-?蘩■■［?蘩■■f(x)dx］dx式①

但式中的?蘩■■［?蘩■■f(x)dx］dx又怎么处理？双重积分还没有学，那么能否将定积分?蘩■■f(x)dx提出来呢？学生都知道如果是常数就可以提出来，那么?蘩■■f(x)dx是不是常数呢？反应快的同学马上意识到?蘩■■f(x)dx的确是一个数，因为根据定积分的几何意义可知，定积分表示的是一个平面图形的面积，至此学生豁然开朗，通过一步一步推理推导，最后得出结论：

?蘩■■f(x)dx=1-?蘩■■f(x)dx?蘩■■dx=1-(e-1)?蘩■■f(x)dx

即?蘩■■f(x)dx=1-(e-1)?蘩■■f(x)dx最后移项得

e?蘩■■f(x)dx=1得?蘩■■f(x)dx=■

逻辑思维是对知识的综合思考和筛选，可帮助学生提高分析问题、解决问题的能力.

四、培养应用思维能力

微积分从实际应用中产生并发展，最终也要运用于解决实际问题.老师不仅要教会学生数学理论计算，更要让学生学会应用于实际，最终达到学以致用的目的.微积分是解决一些几何和物理问题的重要工具.为了培养学生的实际应用思维，首先要让他们理解一些数学概念的实际意义，比如：函数y=f(x)的求导■实际上是y随x的变化率问题，所以物理中s=s(t)位移对时间求导■是路程随时间的变化率问题即：v(t)=s′(t)，同理加速度a(t)=v′(t)=s″(t)，这样就赋予了函数一阶导数和二阶导数实际意义.求导的逆过程是求积分，所以已知加速度或速度的表达式求位移表达式，就是以t为积分变量以a(t)或v(t)速为被积函数求积分.遇到如下题目学生也就容易理解并应用了.

例： 已知某质点做直线变速运动，其加速度为t■+1，且在初始时刻的速度v= 1，位移s=0，求质点的运动方程.

解：v=?蘩a(t)dt=?蘩(t■+1)dt=■t■+t+c又t=0时v=1，得c=1,v=■t■+t+1

则，s=?蘩v(t)dt=?蘩(■t■+t+1)dt=■t■+■t■+t+c

又t=0时s=0，得c=0，所以运动方程为s(t)=■t■+■t■+t.

总之，思维能力是一切能力的核心，它是通过对事物的感知、表象进行分析、概括、归纳而获得事物本质的能力.所以在数学教学中，培养学生思维能力具有重要的意义.

参考文献：

［1］韩云瑞.高等数学.北京：中国财经出版社，1998.