微积分的应用

杨昌海

摘要： 微积分是微分学和积分学的合称，产生于17世纪后半期，基本完成于19世纪，它不仅是分析学的基础部分，而且是现代数学的基础部分，在各领域中有着广泛应用.本文主要研究微积分在力学、经济、几何方面的应用.

关键词： 微积分泰勒公式应用

1.（带皮亚诺型余项的）泰勒公式其应用

定理若f（x）在x=0点有直到n+1阶连续导数，那么

f（x）≈f（0）+f′（0）x+x+…+x+R（x）

R（x）=0（x）

这就是函数f（x）在x=0点附近关于x的幂函数展开式，也叫泰勒公式，式中R（x）叫做皮亚余项.

下面举例说明带皮亚诺型余项的泰勒公式的应用.

例1.求

解：由于cosx=1-++0（x）

e=1+（-）+（-）+0［（-）］=1-++0（x）

从而cosx-e=-+0（x）

于是===-

2.在微分方程中的应用

例2.设函数f（u）具有连续导数，而z=f（esiny）满足+=ez，求f（u）.

分析：设z=f（u），u=esiny，用一个中间变量代替两个自变量.

解:设z=f（u），u=esiny，则=f′（u）=f′（u）esiny

=f″（u）esiny+f′（u）esiny，=f′（u）ecosy

=f″（u）ecosy-f′（u）esiny

+=f″（u）esiny+f″（u）ecosy=f″（u）e=ez

即得f″（u）-f（u）=0，这是关于未知函数f（u）的二阶常系数线性齐次微分方程.

特征方程：r-1=0，r=-1，r=1，通解为f（u）=ce+ce.

3.积分在几何中的应用

例3.求椭圆+=1所围成图形的面积.

解：因为椭圆关于两坐标轴都对称，所以椭圆面积应等于其第一象限面积的四倍.这样，椭圆面积A=４ydx=4dx=4bdx

用换元法，令x=asint，则dx=acostdt.且x=0时t=0；x=a时t=，从而

A=4abcostdt=4abcostdt

=2ab（1+cos2t）dt=2ab=πab

4.在经济中应用最大利润问题

例4.某公司投资2000万元，建成一条生产线，投产后，其追加成本和追加收入（分别是成本函数和收入函数对时间t的变化率，类似于边际函数概念）分别为G（t）=5+2t（百万元/年）Φ（x）=17-t（百万元/年）.试确定该生产线使用多长时间停产可使公司获得最大利润？最大利润是多少？

解：容易看出，追加成本G（t）是单调增函数而追加收入Φ（x）是单调减函数，这说明生产费用在逐年增加，而生产收入在逐年减少，二者之差即为生产利润随时间的变化率：

G（t）-Φ（x）=17-t-5+2t=12-3t

与边际成本和边际收入的关系相同，这里生产利润的最大值在的必要条件也是G（t）=Φ（x）.

解之得t=8，由于生产利润对时间的二阶导数=［Φ（x）-G（t）］′=-2t＜0，因此上述t=8是生产利润的最大值点.这样，生产利润的最大值（单位：百万元）为

［Φ（x）-G（t）］dt-20=12-3tdt-12

=38.4-20=18.4百万元

即生产线应用在使用8年后停产，此时公司总利润为1840万元.