一个不等式的推广与延伸

魏春强 侯娟

摘要： 文章以均值不等式为背景，通过对一个不等式的结论进行类比，猜想得出此不等式的延伸与推广形式，并进行严格的证明.

关键词： 平均值不等式算术平均数几何平均数

命题1：2（-）≤3（-）（a，b，c＞0）

证明：作差3（-）-2（-）

=c+2-3

令x=，y=

则c+2-3

=x+2y-3xy

=（x-y）（x+2y）≥0

当且仅当x=y时，等号成立.

如果把算术平均数和几何平均数的差改为商把积改为幂，就可以猜想出以下结果.

命题2：≤（a，b，c＞0）

证明：作商=·

令x=，y=

则原式=·=

因为2x+y=x+x+y≥3即（2x+y）≥27xy

所以=≥1

即≤

当且仅当=时，等号成立.

命题1可以推广.

命题3：

（n-1）-≤n-（a，a，…，a＞0）

证明：

作差n（-）-（n-1）-

=a+（n-1）·-n·

令=x，=y

则a+（n-1）·-n·

=x+（n-1）y-（n-1）xy-xy

=（x-y）［x+xy+…+xy-（n-1）y］

=（x-y）［x+2xy+3xy+…+（n-2）xy+（n-1）y］

≥0

当且仅当x=y时，等号成立.

所以，

（n-1）-

≤n-

当且仅当=时，等号成立.

同理，命题2的结论也可以推广为：

命题4：≤

当且仅当=时，等号成立.

命题4的证明和命题3的证明方法相同.

参考文献：

［1］陈传理，张同余.竞赛数学教程.高等教育出版社.