细说有“对称美”的函数

胡建忠

摘要： 函数是初中和高中数学的重要内容之一，是数学教学的核心内容，也是整个高中数学的基础知识.函数的性质和应用是高考的重点与热点，竞赛试题往往也聚焦于此.本文从函数自身的对称性和不同函数之间的对称性两方面谈了对函数的认识.

关键词： 高中数学二次函数 对称性

函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于函数之中，还存在于数学问题之中，利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.现拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质.

一、 函数自身的对称性探究

定理1.函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件：f（x）+f（2a-x）=2b.

证明：（必要性）设点P（x，y）是y=f（x）图像上任一点.

∵点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P（2a-x，2b-y）也在y=f（x）图像上，

∴2b-y=f（2a-x）即y+f（2a-x）=2b，

故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得证.

（充分性）设点P（x，y）是y=f（x）图像上任一点，则y=f（x）.

∵f（x）+f（2a-x）=2b，∴f（x）+f（2a-x）=2b，即2b-y=f（2a-x）.

故点P′（2a-x，2b-y）也在y=f（x）的图像上，而点P与点P'关于点A（a，b）对称，充分性得证.

推论：函数f=f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0.

定理2.函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x）.（证明留给读者）

推论：函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）.

定理3.①y=f（x）图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期.

②y=f（x）图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期.

③y=f（x）图像同时关于点A（a，c）中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期.

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y=f（x）图像关于点A（a，c）成中心对称，

∴f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：

f（2b-x）+f［2a-（2b-x）］=2c………………（1）

又∵y=f（x）图像同时关于直线x=b成轴对称，

∴f（2b-x）=f（x）代入（1）得：

f（x）=2c-f［2（a-b）+x］……………………（2）

用2（a-b）+x代x得：

f［2（a-b）+x］=2c-f［4（a-b）+x］，代入（2）得：

f（x）=f［4（a-b）+x］，y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期.

二、不同函数之间的对称性探究

定理4.函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图像关于点A（a，b）成中心对称.

定理5. ①函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图像关于直线x=a成轴对称.

②函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图像关于直线x+y=a成轴对称.

③函数y=f（x）与x-a=f（y+a）的图像关于直线x-y=a成轴对称.

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③.

证：设点P（x，y）是y=f（x）图像上任一点，则y=f（x）.记点P（x，y）关于直线x-y=a的轴对称点为P（x，y），则x=a+yy=x-a，

∴代入y=f（x）之中，得x-a=f（a+y）

∴点P（x，y）在函数x-a=f（y+a）的图像上.

同理可证：函数x-a=f（y+a）的图像上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y=f（x）的图像上.故定理5中的③成立.

推论：函数y=f（x）的图像与x=f（y）的图像关于直线x=y成轴对称，即原函数与反函数的图像关于直线x=y成轴对称.

三、函数对称性应用典例赏析

例1：定义在R上的非常数函数满足：f（10+x）为偶函数，且f（5-x）=f（5+x），则f（x）一定是（）

（A）是偶函数，也是周期函数

（B）是偶函数，但不是周期函数

（C）是奇函数，也是周期函数

（D）是奇函数，但不是周期函数

解：∵f（10+x）为偶函数

∴f（10+x）=f（10-x）

∴f（x）有两条对称轴x=5与x=10，因此f（x）是以10为其一个周期的周期函数，

∴x=0即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数.

故选（A）.

例2：设定义域为R的函数y=f（x），y=g（x）都有反函数，并且f（x-1）和g（x-2）函数的图像关于直线y=x对称，若g（5）=2009，那么f（4）=.

解：∵f（x-1）和g（x-2）函数的图像关于直线y=x对称，

∴y=g（x-2）反函数是y=f（x-1），而y=g（x-2）的反函数是y=2+g（x）， ∴f（x-1）=2+g（x），

∴有f（5-1）=2+g（5）=2011，

故f（4）=2011.

例3：设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1-x），当-1≤x≤0时，f（x）=-，则f（8.6）=.

解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，

∴x=0是y=f（x）对称轴；

又∵f（1+x）=f（1-x）∴x=1也是y=f（x）对称轴.故y=f（x）是以2为周期的周期函数，

∴f （8.6 ） = f （8+0.6 ） = f （0.6 ） = f （－0.6 ） = 0.3.

以上几例在求解过程中均合理地利用了函数的对称性及周期性，使得看似复杂的问题能迎刃而解，从而大大简化了计算.