平板及立板式防波堤附加质量与阻尼系数研究

王 科，贺大川，张志强

（大连理工大学 工业装备与结构分析国家重点实验室，工程力学系，辽宁 大连116024）

1 引 言

透空式防波堤的基本设计理念是部分衰减入射波浪能量。在近海和海岸地带设置透空式防波堤可以用于海岸侵蚀区域防护，海水养殖场区保护，同时由于该种防波堤可以允许海水自由交换，因此不会影响沿岸水质和海洋生态。这种设计理念也可以推广应用到深海钻井平台的外海波浪防护中，通过在钻井平台外围安装透空式防波堤，从而避免巨大的波浪力直接作用在重要的海工结构物上，以达到节省工程造价的目的。

在深海环境下，一般水深都超过200 m，采用何种方式安装板式防波堤并采用何种优化型式，既能达到满意的消波效果，又能保证使用的安全性和可靠性是需要考虑的重要课题之一。可以明确的是在深海情况下，防波堤的安置方式肯定不能采用固定方式，应采用自身动态平衡或者锚泊的方式。平板和立板型式防波堤是透空式防波堤的最基本型式，从这两种防波堤入手可以获得透空式结构的重要水动力响应特征参数，从而为进一步研究由平板和立板组成的复杂结构打下良好基础。在建立透空式防波堤的水动力响应运动方程中，附加质量和阻尼系数是两个很重要的特征参数，通过研究板式结构相对板长、潜深与附加质量和阻尼系数的相互关系，对于明确板式结构的安装方式具有重要意义。

采用固定安装方式的透空型式防波堤的水动力特性研究，前人已做了大量的数学推导和实验工作（严以新，郑金海，曾小川[1]；王国玉，王永学，李广伟[2]； 王巨轮，朱承[3]；McIver[4]；Parson 和 Martin[5]；Neelamani和Reddy[6]；Yu和Chwang[7]；Usha和Gayathri[8]和王科[9]）。主要研究内容为板式结构的透射和绕射系数，波浪力等，采用的方法主要有实验方法，解析方法，有限元法，特征值展开法等，上述方法实际上不能求解板式结构的运动问题。

附加质量和阻尼力主要是由于物体做辐射运动引起的（Newman[10]；陈宏彬，李远林[11]；朱仁传，郭海强，缪国平，余建伟[12]）。本文应用无限水深格林函数方法研究平板和立板的辐射问题，该方法可计算任意形状物体的运动响应，有很高的计算精度和应用范围。文中第二节阐述了无限水深情况下计算平板和立板的附加质量和阻尼系数的基本公式与计算方法，第三节给出了计算结果及分析，第四节对平板和立板在不同工况下的附加质量和阻尼系数进行了总结，提出了参考意见。

2 数学公式

2.1 波浪与平板相互作用的基本理论公式

如图1所示，长为B，厚为TT的刚性薄板位于自由水面以下Hs处，波浪由右向左传播。定义笛卡尔坐标系oxy的原点位于无扰动的自由水面，规定水平向左为x轴的正方向，垂直向上为y轴的正方向。

图1 平板或立板计算示意图Fig.1 Calculation sketch of horizontal or vertical plate

假设流体为无粘性、不可压缩并且运动无旋的理想流体，物体在波浪作用下作周期性简谐振荡运动，则波浪与结构物相互作用问题存在速度势Φ满足拉普拉斯方程：

应用摄动展开法，取一阶近似，当入射波为规则波时，速度势Φ可以写成分离出时间变量的形式，即：

φ （x,y）仍然满足拉普拉斯方程，且同时满足如下边界条件：

自由表面边界条件：

物面不可渗透条件：

水底不可渗透条件：

其中：g为重力加速度，n为物面法线方向，Vn为物体沿n方向的运动速度。

基于线性假定，空间复速度势可以分解为三个部分：

式中：φI为入射势，φD为绕射势，φR为辐射势。绕射势和辐射势满足的边界条件为：

在研究波浪与结构物相互作用的辐射问题时，若只计入流体动压力，则场内的流体动压力可记为如下形式：

将一阶流体动压力沿物体平均湿表面积分，即可得到物体所受的水动力，即：

式中：j=1，2，3，表示相应的运动模态，Fj为j模态运动时物体所受到的流体作用力或力矩。

基于线性假定，辐射速度势φR可以分解为如下形式：

由公式（8）、（11），公式（10）可进一步写为：

引入公式

则ajk为附加质量，bjk为阻尼系数。

2.2 边界积分方程的建立及求解

对控制方程（拉普拉斯方程）应用格林公式和边界单元方法可得到关于速度势φ的边界积分方程如下：

其中：φ（P）=φi，P（ x,y）为域点，Q（ ξ,η）为源点，G（ P,Q）为格林函数，C为空间角。

格林函数G（ P,Q）可取如下形式：

其中：Q′为Q点关于 x轴的对称点，r为点P、Q（或Q′）之间的距离,μ*为波动项。

为了对边界积分方程（14）进行求解，将模型边界离散为一系列线性单元，即假定各物理量在单元间为线性分布，则方程（14）可写成以下形式：

其中：[H]和[K]为系数矩阵，并且仅与计算域的边界形状有关。

对于公式（19）和（20）中的logr项，可以用如下方法计算（参见文献[13]）：

其中：i表示域点P；M代表总节点个数；j1，j2代表边界第j个单元上的局部第一个节点和第二个节点。公式（21）中的其他参数由下式确定：

如图2所示，pi代表边界上第i个节点；qj1和qj2代表边界上第j个单元的局部第一节点和第二节点，ηi为局部坐标系下 pi点坐标；ξj1和 ξj2分别为 qj1和qj2点坐标。

含波动项μ*的计算参考王科、许旺[14]中的方法。

图2 j号单元局部坐标系Fig.2 Local coordinate system of the jth boundary element

3 附加质量、阻尼系数结果分析

3.1 水面平板计算结果

在本文的图表中：M代表106；G代表 109；k代表 103；m 代表 10-3；u 代表 10-6；n 代表 10-9。

图3 水面平板附加质量和阻尼系数Fig.3 Added mass and damping of surface horizontal plate

3.2 水下平板计算结果

由图4可知，对于板式防波堤而言，为保证其计算精度足够精确，板的厚度应尽可能薄，为此在讨论图4潜深变化对板式防波堤附加质量和阻尼系数的影响时，板厚均取TT=0.005m。 由上图可见，水下平板垂荡附加质量和阻尼系数在K=0时没有奇异性，而a11在K=0时趋于常值，b11=0。随着平板逐渐接近水面附加质量和阻尼系数逐渐增大，当Hs=0.05时，附加质量在KB/2=0.2，阻尼系数在KB/2=0.3附近有极值a11=0.35，b11=0.30。在Hs=0.25时，附加质量和阻尼系数的极值逐渐减小。KB/2＞1.0时，a11→0.1，而K→∞时，b11→0。一个值得注意的现象是在平板接近自由表面时，即在Hs=0.03，Hs=0.01时，随着KB/2的逐渐增大，垂荡附加质量出现负值，这一现象在横摇运动Hs=0.05，KB/2＞1.1时也能发现，这是近自由表面物体附加质量变化的重要特征。

图4 水下平板附加质量和阻尼系数随潜深变化Fig.4 Added mass and damping of submerged horizontal plate with submergence

3.3 板厚对平板附加质量和阻尼系数的影响

图5为水下平板附加质量和阻尼系数随板厚变化计算结果。由于板潜在水下，与水面平板相比水下平板上部的logr奇异性和板下部的奇异性相互抵消，在K=0时，垂荡附加质量和阻尼系数均不含有奇异性，且附加质量在K=0时趋于0.20，阻尼系数为0。板厚在TT≤0.025 m时对垂荡影响不大，横荡附加质量和阻尼系数的变化趋势与水面平板相似，但水下平板的值较大，且阻尼系数有极值存在。横摇附加质量和阻尼系数与水面平板相比也有极值存在，且在KB/2≥1.0时均为0，由图5还可发现一个重要现象，横荡、横摇附加质量出现负值。

图5 水下平板附加质量和阻尼系数随板厚变化Fig.5 Added mass and damping of submerged horizontal plate with plate thickness

3.4 水面立板计算结果

由于形状上的差异，水面立板的附加质量和阻尼系数以横荡方向影响为主，横荡时附加质量在K=0时趋于有限值a11=0.06，在KB/2=0.4附近有极值出现。阻尼系数在K=0时为0，在KB/2=0.8附近有极值b11=0.072。图6为随着相对板厚增大，附加质量和阻尼系数逐渐减小，同时板厚对横荡运动影响有限。由于立板和水面接触面积较小，在K=0时，垂荡附加质量和阻尼系数均较小，TT≤0.025 m时，板厚对垂荡运动基本没有影响。横摇附加质量和阻尼系数均为0。在单板的几何形状完全相同的情况下，由于摆放方式的不同，附加质量和阻尼系数呈现出不同的变化。

图6 水面立板附加质量和阻尼系数随板厚变化Fig.6 Added mass and damping of surface vertical plate with plate thickness

3.5 水下立板计算结果

由于水下立板的横截面积与水下平板完全不同，因此水下立板的附加质量和阻尼系数在横荡方向变化显著，且在不同潜深时（参见图7），a11在KB/2=0.2附近有极值，而在KB/2=0.8前后出现相反分布，在KB/2＜0.8时，立板越接近自由表面，附加质量越大，而在KB/2>0.8时，立板越接近自由表面，附加质量越小。但与水下平板不同的是立板垂荡附加质量未出现负值，而且在KB/2→∞时逐渐趋于定值。横荡阻尼系数在K=0时，b11=0，立板越接近自由表面，阻尼系数越大，对Hs=0.05而言，在KB/2=0.6时有极值0.042，而当KB/2→∞时，阻尼系数趋于0。

图7 水下立板附加质量和阻尼系数随潜深变化Fig.7 Added mass and damping of surface vertical plate with submergence

3.6 板厚对立板附加质量和阻尼系数的影响

与水下平板的变化类似，水下立板的垂荡附加质量和阻尼系数在K=0时趋于定值，而横荡为水下立板控制运动，附加质量和阻尼系数的变化趋势与水面立板相似，但量值较大显示水下立板垂荡运动对流体扰动较大。横摇附加质量和阻尼系数的变化曲线较平滑，量值在o（10-6）范围内。

由图8的结果分析还可以发现，TT≤0.025 m时，附加质量和阻尼系数随板厚变化不大，可视为定值。因此对板式防波堤这一特殊结构而言，对其水动力特性进行分析的一个重要前提是其厚度必须足够薄，为方便以后的讨论，在潜深变化对板式防波堤的计算中，板的厚度均取为TT=0.005 m。

图8 水下立板附加质量和阻尼系数随板厚变化Fig.8 Added mass and damping of submerged vertical plate with plate thickness

4 结论与建议

本文应用格林函数的方法对平板和立板两种基本型式的透空式防波堤的附加质量和阻尼系数进行了系统分析。研究发现，附加质量在平板和立板无限接近自由表面时有负值出现，同时水面平板和立板在K=0处有奇性。板的厚度对计算结果的一致性影响较大，对于板式结构其计算厚度应尽可能薄，TT=0.005 m是本文计算采用的数值，结果收敛性很好，也验证了程序有很高的计算精度，完全适用于板这种几何形状非常特殊的结构。

由立板和平板的计算结果还可发现，在确保板式防波堤结构消波效能特性的基础上，其未来可能出现的新概念形式的防波堤结构应为立板和平板的组合结构，其固定方式或者锚泊系统应充分发挥立板和平板的动力响应特征，即对于在KB/2=0.2附近的波浪，应采用水下布置方式。

[1]严以新,郑金海,曾小川.多层挡板桩基透空式防波堤消浪特性试验研究[J].海洋工程,1998,16(1):67-74.

[2]王国玉,王永学,李广伟.多层水平板透空式防波堤消浪性能试验研究[J].大连理工大学学报,2005,45(6):865-870.

[3]王巨轮,朱 承.透空式防波堤在大窑湾工程中的应用[J].水运工程,2000,317(6):13-17.

[4]Mclver M.Diffraction of water waves by a moored,horizontal,flat plate[J].Journal of Engineering Mathematics,1985,19:297-319.

[5]Parson N F,Martin P A.Scattering of water waves by submerged plate using hyper-singular integral equations[J].Applied Ocean Research,1992,14:313-321.

[6]Neelamani S,Reddy M S.Wave transmission and reflection characteristics of a rigid surface and submerged horizontal plate[J].Ocean Eng,1992,19:327-341.

[7]Yu X,Chwang A T.Analysis of wave scattering by submerged circular disk[J].J Engng Mech,1993,119:1804-1817.

[8]Usha R,Gayathri T.Wave motion over a twin-plate breakwater[J].Ocean Engineering,2005,32:1054-1072.

[9]王 科.潜式水平板型防波堤消波效果研究[D].大连:大连理工大学,2001.

[10]Newman J N.Marine Hydrodynamics[M].Cambridge:MIT Press,1977.

[11]陈宏彬,李远林.用源分布法求解浅水中二维任意剖面在自由表面上垂荡的附加质量和阻尼系数[J].船舶工程,1997,3:8-11.

[12]朱仁传,郭海强,缪国平,余建伟.一种基于CFD理论船舶附加质量与阻尼力的计算方法[J].上海交通大学学报,2009,43(2):198-203.

[13]Lu C H,He Y S,Wu G X.Coupled analysis of nonlinear interaction between fluid and structure during impact[J].Journal of Fluids and Structures,2000,14(1):127-146.

[14]王 科,许 旺.平板及立板型式防波堤透射系数及反射系数研究[J].船舶力学,2010,14(5):487-494.

Wang Ke,Xu Wang.Transmissivity and reflectivity for breakwater of horizontal or vertical plate type[J].Journal of Ship Mechanics,2010,14(5):487-494.