均布载荷作用下弹性基础框架的变形与内力分析

梅志远，李华东，朱 锡

（海军工程大学 船舶与海洋工程系，武汉 430033）

1 引 言

弹性基础上的梁、板等结构是工程中十分常见的结构形式，同时，许多结构问题也可以转化为弹性基础板梁结构进行求解[1]，因而，国内外学者采用不同的方法[2-4]对各种形式的弹性基础结构进行了研究[5-8]，在前人研究的基础上，本文利用弹性基础梁的解析求解方法中的“初参数法”[9-10]对四周承受均布载荷、四结点铰支的弹性基础框架的变形规律进行分析，如图1所示，其结构特点为：

（1）框架内部为均质材料（弹性基础），四边均为有限长度的弹性基础梁[11]；

（2）相邻的两梁之间为刚性连接，在变形过程中传递弯矩、并使相邻两边保持垂直；

（3）弹性基础遵循文克尔（Winkler）假设，即基础反力与梁的挠度变形成正比。

如图2所示，在承受面内载荷时，框架的各边的变形不同于单独承受载荷的弹性基础梁，而是存在相互耦合的关系。在计算其各边（梁）的挠度变形时，不能简单地采用现有的各种弹性基础理论进行求解，需要对其变形特点和规律进行研究，找出合适的求解方法。在表述过程中，本文中各量的正负确定方法与文献[9]相同，并规定指向框架内部的转角与挠度为正。

图1 结构示意图Fig.1 Sketch map of the structure

图2 载荷分布Fig.2 Distribution of loads

2 弹性基础梁的“初参数法”求解

根据弹性基础梁的弯矩、剪力和挠度的基本微分关系，可以得出弹性基础梁的弯曲微分方程式为[9-10]：

式中，EI为梁的弯曲刚度，q（x）为梁上的均布载荷，k为基础反力系数，其计算方法见文献[6]与文献[10]。（1）式为常系数线性齐次微分方程式，对其求解并进行推广，最终可以得出受任意载荷作用时的弹性基础梁的变形曲线方程：

式中：v0、θ0、M0和N0为梁端的初始挠度、转角、弯矩与剪力，因此这种求解方法称为“初参数法”；系数β包含梁的弯曲刚度和基础弹性，是影响梁的挠曲线的重要因素，称为梁的弹性特征，其计算表达式为：

Fi（βx）称为普日列夫斯基函数，其计算公式如下：同时，Fi）存在以下循环微分关系：

3 结构特性分析

对承受均布载荷的框架结构的载荷与内力进行分析，得到其分布状况如图2所示，从图中可以看出：其四个梁的边界条件与载荷状况相似，左右梁、上下梁的受力状态分别相同，同时，框架中四个梁之间的内力与变形存在以下耦合关系：

（1）各梁的内力之间存在互等关系。根据作用力与反作用力定理，可以得出各内力的大小满足以下关系：T2=N2，T2′=N2，T1=N1，T1=N1′，T2′=N2′，T1′=N1′，T1′=N1，T2=N2′；M1=M2，M1′=M2′。 考虑到结构与载荷的对称性，最终可以得出：

（2）相邻两梁围绕结点的转角存在互等关系。由于节点两侧的梁为刚性连接，则节点两侧的梁的转角θ1与θ2大小均等，但方向相反。设转角大小为θ0，则

4 结构变形的理论分析与求解

由以上分析可以看出，整个框架为双对称轴结构，因而在实际的计算中，如图3所示，我们可以取整体结构的四分之一进行分析，其中O点为铰接约束。求解出局部结构的挠度与内力的分布函数后，根据结构的对称关系，我们即可得出其余部分的挠度与内力的分布。为便于表述，在表示每个梁段的挠度及挠曲线方程式时，均采用以下坐标体系：以结点O为原点，沿梁长度方向为X轴，正向指向梁中点；Y轴垂直X轴、正向指向框架内部。

4.1 基本挠曲线方程

对图3所示结构进行分析，可以看出，结点O两侧的梁均只有端点处的集中力、弯矩、及梁上的均布载荷作用，则此时的挠曲线方程的表示形式为：

图3 四分之一结构的载荷分布Fig.3 Loads distribution of demisemi

则根据图3所示载荷状况，可得出梁OA、OB实际的挠曲线方程表达式为：OA梁：

式中，θ0、M0、N1和 N2分别为梁端的转角、弯矩与剪力。

根据（5）式所示Fi（βx） 之间的循环微分关系，可以得出[9]：

同时，在本文中q（ξ）=q，则（9）式与（10）式可以变为：

4.2 边界条件方程

根据结构的对称性与边界的约束情况，可以得出：

首先，由（12）式、（5）式可得：

由边界条件（1）得，

对上式进行化简，最终可得，

根据Fi（βx） 存在的相互循环关系，可以得出：

由边界条件（2），可以最终得到 N1、θ0与 M0的关系式：

由（3）式可得：k=4β4EI，将其代入上式并简化得

同理，根据边界条件（3）与边界条件（4），可以得出：

4.3 初参数求解

为更清晰地表达以上各边界条件方程，设

综合（16）式、（22-23）式，可得以下线性方程组：

求解方程（25），可以得出：

将梁的参数（EI、l、h）、弹性基础的参数（β、k）及载荷（q）代入（27）式，即可求解出向量 Di{}。 根据（24）式，可分别得到梁 OA 与梁 OB 的初参数：θ0、M0、N1与N2。

4.4 变形与内力分布曲线

得到各梁的初始参数后，按照（12）式与（13）式，即可得到OA与OB的挠曲线方程式，根据结构与载荷的对称性可以得出其他梁的挠曲线方程；而根据梁的转角、弯矩、剪力与其挠曲线的之间微分关系：θ（x）=v′（x），M（x）=-EIv″（x），N（x）=EIv‴（x），最终可得出各梁转角、弯矩与剪力的分布函数。

5 算 例

求解l=h时四结点铰支的弹性基础框架的变形与内力分布。

当框架相邻梁的长度相等，即l=h时，可以得出u=v，则此时方程（23）可以变为以下形式：

求解方程（26）可得出向量 Di{}，其表达式如下：

根据 C 与Di的表达式，解出相邻两梁的初参数： θ0、M0、N1与N2为：

从以上求出的初参数可以看出，相邻两梁的初参数时相等的，则根据结构与载荷的对称性，可以得出每个梁的初参数均是相等的。所以我们按照（12）式与（13）式，即可得出各梁的挠曲线方程式均为：

根据弹性基础梁的挠度、转角、弯矩及剪力之间的微分关系，可以得出各梁的转角、弯矩与剪力的分布函数为：

由（30）～（33）式可以看出：对于承受均布载荷作用的四结点铰支的弹性基础框架，当l=h时，其各梁的变形规律与“受均布载荷作用的两端刚性固支的弹性基础梁”一致[9]，这也验证了本文公式的正确性。在实际工程计算时，可以将其中任意一个梁独立出来，按照“两端刚性固支的弹性基础梁”进行求解。

6 结 语

本文分析了“均布载荷作用下、四结点铰支的弹性基础框架”的变形与内力分布规律，得出了其理论计算方法，并对“l=h”的情况进行了详细的求解。本文对均布载荷作用下的四结点铰支的弹性基础框架的内力与变形的求解，为承受其他载荷时弹性基础框架的研究提供了一种新的思路。

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