三相非饱和松散颗粒介质中弹性波的弥散性分析

沈守鸿，李庶林，李青石

（厦门大学土木工程系，福建厦门 3 61005）

0 引言

关于土中弹性波传播的研究是岩土工程、海洋工程、地震工程及地球物理工程等科学领域的重要课题。天然土体是一种由土颗粒、孔隙流体（包括孔隙水和孔隙气）组成三相松散介质。当孔隙中仅被一种流体（水流或气流）所填充时，称为饱和土。20世纪50年代，Biot建立了饱和多孔介质波传播理论［1-4］，并成为以后多孔介质波动理论各项研究的基础。Ishihava［5］，Stoll［6］等在此基础上开展了一些应用性研究；门福录［7-8］、陈龙珠［9-10］等对饱和土中波传播速度作了简化近似分析，给出了一些特殊情况下的波速公式。这些研究从不同程度上促进了Biot理论的完善及应用。此外，Bowen［11］、李向维［12］等学者采用基于热力学公理的混合物理论来研究流体饱和多孔介质中的波，给出了一般波动方程。可以证明，混合物理论和Biot理论是一致的［2］。

对于三相土介质，即非饱和土中波的传播，White［13］、Berryman［14］等学者做过一些研究，但没有建立系统的动力方程，目前并未形成成熟的理论，对于其弹性波的弥散性及衰减特性未能展开深入的理论研究。有鉴于此，本文采用混合物理论，在文献［15］的基础上，对非饱和尾砂土这种三相松散介质中体波的传播特性进行数值分析，给出了典型的弥散和衰减曲线，以便于深入了解非饱和土中波的传播特性，为尾矿坝稳定性的弹性波监测技术的实际工程应用提供了合理的理论基础，同时对尾矿坝灾害防治预警有着一定的指导意义。

1 非饱和土的动力控制方法

假设土体是均匀的且具有统计上的各向同性，孔隙相互连通，孔隙水的渗流服从广义Darcy定律，忽略温度的影响，在低应变条件下，由运动方程、连续性方程和本构方程得到：

式中，u，ul，ug分别为土体、液体和气体的位移；¯ρs=（1-n）ρs；¯ρl=nSrρl；¯ρg=n（1-Sr）ρg分别为土体、液体和气体的相对密度；n为孔隙率，Sr为饱和度，σij为总应力；ηl、ηg分别为孔隙水和气体的动力粘滞系数；kl、kg分别为孔隙水和气体的渗透系数；Kb=λ+2μ/3为土骨架的体积模量，Ks为土颗粒的体积模量，a=1-Kb/Ks；Kl是液体的体积模量，Pa是气体的体积模量。

方程（1）、（2）构成了非饱和土的动力控制方程。显然，当在完全饱和这一特殊情况下（ρg=0，Sr=1，γ=1），方程退化为Biot的波动方程。

2 波动方程的解

2.1 压缩波

方程（1）可以转化为以下形式，

将方程（2）两边取散度，并将方程（3）代入，可得

假设弹性波沿z轴方向传播，可得

将方程（5）代入方程（4），可得

若使以上方程有非零解，必须满足

其中：B1=-（λ + 2μ）ω4

定义方程（7）的根为 lpj（Re（lpj）＞0，j=1，2，3），则压缩波的波速与衰减率为

这说明，如果VP1≠VP2≠VP3，则非饱和土中存在三种形式的压缩波。

2.2 剪切波

对方程（1）两边取旋度

其中U= ▽ ×u，V= ▽ ×ul，W= ▽ ×ug

假设剪切波沿Z轴方向传播，可得

将方程（10）代入方程（9），可得

将方程（11b）、（11c）代入方程（11a）可得

则非饱和土中剪切波的波速与衰减率为式中，Re，Im分别表示对复数取实部和虚部；ω为弹性波角频率。

3 弹性波在非饱和尾砂中的弥散性

上游堆积式尾矿坝是一种典型的由尾矿砂堆积的坝体，尾矿砂是一种典型的人造类土质颗粒介质。利用上节中得到的波速以及衰减的解析表达式，采用Matlab编程计算对非饱和土中4种体波的弥散特性进行数值分析。非饱和土参数选取实际工程中非饱和尾砂的相关参数，参见文献［16］，具体参数列于表1。

表1 非饱和尾砂数值模拟参数Table 1 Physical properties of unsaturated tailings

3.1 波速和衰减与频率的关系

饱和度取为0.6，频率变化范围为10-2～1010Hz，计算结果示于图1。由图1（a）～（d）可知，非饱和土中的4种体波都存在不同程度上的频散现象，并具有一个共同的特征，即在高频段和低频段，相速度基本保持不变；在中频段，速度变化显著，这与饱和土中波的频散性相似。引入描述频散程度的参数：

其中：Vj∞，Vj0分别表示频率趋于∞ 及0时的相速度。则图中P1波和S波的频散度分别为58.9％和6.9％，P2波和P3波的频散非常大，且当频率趋于0时，波动现象退化为扩散过程。

图1 体波波速与频率的关系Fig.1 Relations between velocity and frequency

图2（a）～（d）是4种体波的衰减与频率的关系曲线。由图可知，4种体波的衰减基本上都随频率的提高而增大，其中P2波的衰减最大，P1波的衰减最小。在100Hz以下，体波衰减基本上不随频率变化而变化，P1波和S波的衰减非常小。

3.2 波速和衰减与饱和度的关系

取频率为100Hz，饱和度Sr的变化范围为0.1～0.9，4种体波的波速与饱和度的变化曲线如图3（a）～（d）所示。由图可知，随饱和度的提高，P1波的波速增大，P2波的波速在饱和度为0.6时出现最小值，P3波的波速则在饱和度为0.6时出现最大值，而S波的波速则受饱和度的影响很小。

图2 体波衰减与频率的关系Fig.2 Relations between attenuation and frequency

图3 体波波速与饱和度的关系Fig.3 Relations between velocity and saturation

4种体波的衰减与饱和度的变化曲线如图4（a）～（d）所示。由图4可看出：随饱和度的提高，P1波的衰减逐渐增大，在饱和度为0.7时出现最大值，随后又略为减小；P2波的衰减变化较小，在饱和度为0.6时出现最大值；P3波的衰减急剧减小后趋于平稳，在饱和度为0.6时出现最小值；S波的衰减虽然增大，和P1波类似，其衰减系数始终保持非常低的水平。

图4 体波衰减与饱和度的关系Fig.4 Relations between attenuation and saturation

4 结论

本文以实际尾矿坝体的尾砂介质为例，采用混合物理论，开展了弹性波在尾砂介质中传播特性的理论分析。在理论分析的基础上，结合尾砂介质的实测参数，对非饱和尾砂土中4种体波弥散性进行全面的数值分析，并得到以下结论：

（1）非饱和土中P1波的波速最大，S波波速最小，P2和P3波介于两者之间，且 P3波波速小于 P2波。P2和P3波的衰减较大，P1波的衰减最小。

（2）在低频和高频范围内，4种体波波速的变化不大，而在中间频段则相对显著。P2和P3波的频散性很大，P1波次之，而S波的频散很小。总体上讲，非饱和土中体波波速与衰减均随着频率的提高而增大。

（3）随饱和度的提高，P1波的波速增大，P2和P3波的波速在饱和度为0.6时分别出现最小值和最大值，而S波受饱和度的影响很小；P1和S波的衰减系数始终保持于非常低的水平，P3波的衰减急剧减小后趋于平稳，P2波的衰减最大，在饱和度为0.6时出现最大值。

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