一个平均不等式的反向及其类似

郭 忠

(浙江广播电视大学 海盐学院, 浙江 海盐 314300)

一个平均不等式的反向及其类似

郭 忠

(浙江广播电视大学 海盐学院, 浙江 海盐 314300)

在最近的几百年中, 关于多个正数的算术平均和几何平均的差的估计, 是平均不等式研究中的一个持续热点.本文利用最值压缩定理, 给出了算术平均和几何平均的差的两个新的估计, 部分地回答了J. M. Aldaz一个公开问题.

算术平均; 几何平均; 不等式; 最值压缩定理

引言与引理

在数学、统计学和经济生活中, 多个正数的算术平均和几何平均至关重要. 关于它们的差的估计, 也是不等式理论研究中最基础的一部分, 具体可见文献[1～7]. 如无特殊说明, 本文恒设

在其注中, 作者问: 不等式(1)式的反向不等式是什么？我们将在本文中研究此问题, 并给出另一个类似不等式. 为此, 先介绍一下所谓的最值压缩定理, 即下面的引理1至引理3.

引理1[7,P.217～221]设是有内点的对称凸集,连续且存在连续偏导数, 对记

引理2[7,P.217～221]设是有内点的对称凸集,为连续的对称函数, 且存在连续偏导数, 若不等式上恒成立, 则对于任意的等式成立当且仅当

引理2显然是引理1的直接推论.

若对引理1进行函数变换, 可得引理3.

引理3[7,P.236～241]设区间为对称函数, 且有连续偏导数, 若不等式上恒成立, 则对于任意的

关于最值压缩定理的应用, 可参考文献[7]的第六章.

1 一个不等式的反向不等式

不等式(1)的非加权型反向不等式是

定理1 设的算术平均和几何平均, 则有

这样, 在非加权的情况下, 我们回答了J. M. Aldaz提出的一个公开问题[8].

2 一个类似不等式

本节将继续运用最值压缩定理来证明一个类似不等式, 它是算术平均与几何平均的差的新上界.

定理2 设则有

故(4)式得证.

[1] 杨克昌. 平均值不等式的一个证明与加强[J]. 湖南数学通讯, 1986(4): 19～20

[2] 匡继昌. 常用不等式[M]. 第3版．济南: 山东科学技术出版社, 2004: 35

[3] D.S.密特利诺维奇．解析不等式[M]. 张小萍, 王 龙, 译．北京: 科学出版社, 1987: 107～110

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[5] P.S.bullen.Handbook of Means and Their Inequalities[M]. Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 2003:156

[6] Mercer A Mcd.Improved upper and lower bounds for the difference ofAn-Gn[J]. Rocky Mountain J.Math., 2001(31): 553～560

[7] 张小明, 褚玉明. 解析不等式新论[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2009: 229～230, 233～234

[8] J. M. Aldaz.Self–improvement of the inequality between arithmetic and geometric means[J]. Journal of Mathematical Inequalities, 2009(3): 213～216

Reversion and Analogy of a Mean Inequality

GUO Zhong
(College of Haiyan, Zhejiang Radio & TV University, Zhejiang 314300, China)

In mean inequalities research, the estimation involving the difference between arithmetic mean and geometric mean in variables is continuous for hundreds of years. By means of compressed independent variables theorem, this paper gives the new upper bound of the difference between arithmetic mean and geometric mean, and partly solves an open problem put forward by J. M. Aldaz.

arithmetic mean; geometric mean; inequality; compressed independent variables theorem

O178

A

1672-5298(2012)02-0011-03

2011-12-12

郭 忠(1960- ), 男, 浙江海宁人, 浙江广播电视大学海盐学院讲师. 主要研究方向: 数学教育, 解析不等式