KdV方程与Burgers方程的精确解

彭定忠, 崔洁娟 , 叶芬花

(1. 湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006; 2. 长炼学校, 湖南 岳阳 414012)

KdV方程与Burgers方程的精确解

彭定忠1, 崔洁娟2, 叶芬花2

(1. 湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006; 2. 长炼学校, 湖南 岳阳 414012)

利用试探函数法, 将非线性偏微分方程转化为一个易于求解的代数方程, 然后用待定系数法确定相应的常数,简洁地求得了一类非线性偏微分方程的精确解, 并将此方法应用到KdV方程和Burgers方程.

非线性偏微分方程; 试探函数; 待定系数法; 精确解

引言

非线性常微分方程或非线性偏微分方程被广泛用于自然科学与工程技术问题, 如何求解这些非线性方程成为众多学者致力于研究的一个重要课题. 近年来,人们提出了许多求解非线性方程的新方法, 如齐次平衡法[1,2]、双曲正切函数展开法[3,4]、试探函数法[5～8]、Sine～Cosine法[9]等, 并用这些方法求解了许多非线性方程. 然而这些方法只能具体应用于某个或某些非线性方程的求解, 因此寻找一些更为有效可行的方法仍是一项十分重要而有意义的工作. 本文通过引入一个变换, 只要选准试探函数就可简洁地求得非线性偏微分方程的解析解.

1 方法介绍

本文研究如下一类非线性偏微分方程的精确解:

为了求解上述方程, 仿照文[5]的做法, 引入下述变换

2 应用举例

2.1 KdV方程

2.2 Burgers方程

Burgers 方程的形式为

3 结论

本文利用试探函数法, 简洁地求得了一类非线性偏微分方程精确解. 这种方法能否用于求解其他非线性偏微分方程, 试探函数的选取是否有规律可循, 有待进一步探索.

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The Exact Solution of the KdV Equation and The Burgers Equation

PENG Ding-zhong1, CUI Jie-juan2, YE Fen-hua2
(1. College of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006; 2. Hunan Changlian School, Yueyang 414012, China)

By utilizing the trial function method, a class of nonlinear partial differential equations (PDEs for short) can be reduced to a set of algebraic equations which can be easily solved, then their related coefficients can be easily determined by the undetermined coefficients method, and the exact solution to this class of nonlinear PDEs can be successfully derived. Moreover, the method is applied to the KdV equation and the Burgers equation.

nonlinear partial differential equation; trial function, method of undetermined coefficient; exact solution

O175.2

A

1672-5298(2012)02-0017-03

2012-03-06

彭定忠(1981- ), 男, 湖南浏阳人, 硕士, 湖南理工学院数学学院讲师. 主要研究方向: 风险管理