Lorentz空间中的极大类空超曲面

杨慧章，孙霞，龙瑶

(1.红河学院数学学院，云南蒙自661100;2.云南广播电视大学文理学院，云南昆明650223)

Lorentz空间中的极大类空超曲面

杨慧章1，孙霞2，龙瑶1

(1.红河学院数学学院，云南蒙自661100;2.云南广播电视大学文理学院，云南昆明650223)

研究了Lorentz空间Nn+11(c)中的极大类空超曲面，得到了这种类空超曲面的刚性定理.

类空超曲面;Lorentz空间;极大

设M是黎曼流形Nn+p(c)的紧致子流形，用S表示M的第二基本形式的模长平方，H表示M的平均曲率，若H=0，则称M是极小的.文献［1］研究了黎曼流形中的极小子流形，并得到了Nn+1(c)中具有常曲率c的紧致极小超曲面M，若满足S=nc，则M局部上可分解为2个具有常曲率空间的黎曼直积，即M=M1r× M2n－r(1≤r≤n)，其中M1r，M2n－r分别为r，n－r维常曲率流形.文献［2－3］研究了黎曼流形中的极小子流形，分别得到了著名的高桥定理和推广的Simons型积分不等式.

指标为1的伪黎曼流形N1n+1称为Lorentz流形，当其截面曲率c为常数是N1n+1称为Lorentz空间型，当c为正、负和零时，N1n+1分别为de Sitter空间S1n+1、反de Sitter空间H1n+1和Minkowski空间R1n+1.若M上从Lorentz空间诱导的度量是正定的，则M被称为此Lorentz空间的类空超曲面.众所周知，Lorentz空间中的完备类空超曲面在相对论中有很重要的意义，近年来关于类空超曲面的研究已取得了许多结果.如文献［4－5］分别证明了de Sitter空间中具有常平均曲率的完备类空超曲面，如果H2≤c(n=2)，n2H2≤4( n－1) c(n＞2)时M是全脐的.在文献［6］中，Nishikawa证明了Lorentz流行中完备极大类空超曲面是全测地的.本文主要将文献［1］的结论推广到伪黎曼流形中，得到了Lorentz空间型中极大类空超曲面的一个刚性定理.

1 预备知识

设M是Lorentz空间N1n+1(c)中的类空超曲面，选取N1n+1(c)的局部单位正交标架场{eA}，使得限制在M上，{ei}与M相切.en+1为M的单位法向量，{ωA}为{eA}的对偶标架场，约定指标范围如下:1≤A，B，C…≤n+1，1≤i，j，k，…≤n.则N1n+1(c)上的结构方程为

限制在M上有

M的Codazzi方程和Ricci恒等式为

由(3)式得，M的Ricci曲率为

设Δ是M上的Laplace算子，且Δhij=∑khijkk，由(5)、(6)式有

其中Hij是平均曲率H的二阶共变导数.

2 主要结果

定理1设M是Lorentz空间Nn+11(c)(c≤0)中的紧致极大类空超曲面，若M的第二基本形式模长平方S=－nc，则M的第二基本形式平行，即hijk=0.

证明由(3)、(7)式及M的极大性，得

由M的紧致性及S=－nc知hijk=0，即M的第二基本形式平行.

定理2设M是Lorentz空间Nn+11(c)中的紧致极大类空超曲面，则

解决方案：此类问题属于软件出错，在页面设计各类组件中查找问题，发现是页面访问量统计组件出错，在该组件中读取链接的时候出现空指针，为此修改代码如下。

1)当c≥0时，M是全测地的;

2)当c＜0时，若M的第二基本形式模长平方S=－nc，则M局部等距于2个常曲率空间的黎曼直积Mn=Mr1(c1)×Mn－r2(c2).

证明由于M紧致，对(8)式两边积分有

由c≥0知，∫S(S+nc)dv=0，所以S=0，即M是全测地.

当c＜0时，借鉴Chern在文献［1］中的方法，选取适当的局部标架，使得hij=0(i≠j).由定理1知，hijk=0，在(4)式中令下标i=j，得到

从而hi为常数，继而得到dhij=0，1≤i，j≤n.由(4)式有

这表明当hi≠hj时，ωij=0，由(2)式知

即当hi≠hj时，hihj－c=0.

令h1=…=hr=λ，且λ≠hj，r+1≤j≤n.由于M不是全测地的，且∑ihi=nH=0，所以有

考虑2个分布ω1=…=ωr=0和ωr+1=…=ωn=0，由(1)式、ωij=0(i≠j)及Frobenius定理知，2个分布是可积的，局部上确定了积分流形M1与M2.Mn局部上分解成黎曼积M1×M2.

由hihj－c=0及0=∑ihii=rλ+(n－r)μ，

得到

那么Mr1(c1)，Mn－r2(c2)的截面曲率分别为

所以Mn局部等距于2个常曲率空间的黎曼直积

［1］CHERN S S，DO CARMO M，KOBAYASHI S.Minimal submanifolds of a sphere with second fundamental form of constant length［C］//BROWDER F E.Functional Analysis and Related Field.Berlin:Springer－Verlag，1970:59－75.

［2］TAKABASHI T.Minimal immersions of Riemannian manifolds［J］.Math Soc Japan，1960，18:380－385.

［3］XU H W.On closed minimal submanifolds in pinched riemannian manifolds［J］.Trans Amer Math Soc.1995，347(5):1743－1752.

［4］RAMANATHAN J.Complete space－like hypersurfaces of constant mean curvature in the de Sitter spaces［J］.Zndiana Univ Math，1987，36:349－359.

［5］AKUTAGAWA K.On space－like hypersurfaces with constant mean curvature in the de Sitter space［J］.Math Z，1987，196:13－19.

［6］NISHIKAWA.On maximal space－like hypersurfaces in the Lorentzian manifolds［J］.Nagoya Math，1984，95:117－124.

［7］冯维.一般伪黎曼流形中的极大类空子流形［J］.浙江大学学报:理学版，2003，32(2):132–134.

［8］纪永强.子流形几何［M］.北京:科学出版社，2004.

［9］高改良.关于伪黎曼流形极大类空子流形［J］.河北师范大学学报:自然科学版，2000，24(1):30－32.

［10］张远征.Lorentz空间中常平均曲率类空超曲面［J］.数学学报，2002，45(3):571－574.

(责任编辑万志琼)

On Maximal Space－Like Hypersurfaces in Lorentz Space

YANG Hui-zhang1，SUN Xia2，LONG Yao1
(1.Department of Mathematics，Honghe University，Mengzi 661100，China; 2.School of Arts and Science，Yunnan Radio＆TV University，Kunming 650223，China)

The maximal space－like hypersurfaces in Lorentz space Nn+11(c)with the sectional curvature c are investigated and a rigidity theorem is obtained.

space－like hypersurface;Lorentz space;maximal

O 186.13

A

1672－8513(2012)04－0277－03

10.3969/j.issn.1672－8513.2012.04.012

2011－10－20.

国家自然科学基金(11161020);红河学院科研基金(10XJY121).

杨慧章(1982－)，女，硕士，讲师.主要研究方向:微分几何.