状态观测器法实现改进的超混沌Lü系统同步

郑文娜，栾红霞，吕 晶，岳丽娟

（东北师范大学物理学院，吉林长春 130024）

状态观测器法实现改进的超混沌Lü系统同步

郑文娜，栾红霞，吕 晶，岳丽娟

（东北师范大学物理学院，吉林长春 130024）

针对改进的超混沌Lü系统，采用状态观测器同步方法，通过设计合适的状态观测器，实现了对改进的超混沌Lü系统的同步控制.并设计出简单的同步实现电路.实验结果与理论分析及数值模拟结果相符合，证明了该同步方法的有效性.

改进的超混沌Lü系统；超混沌同步；状态观测器；电路实验

混沌同步一直是混沌研究领域的一个热点问题.近年来，人们逐渐将目光转移到超混沌系统的同步研究上.与低维系统相比，具有2个及2个以上正的Lyapunov指数的高维超混沌系统具有更加复杂的动力学行为［1－3］，将其应用于保密通讯及信息处理等方面，具有更高的保密性，它的研究范围已经扩展到激光物理、化学反应、生物医学、电子线路和保密通信等各个领域，因此，研究超混沌系统的同步具有更重要的价值［4－7］.

随着混沌同步研究的不断深入，人们提出了多种方法来实现混沌系统的同步，如驱动－响应同步法、线性反馈同步法、自适应同步法、脉冲同步法、状态观测器同步法等［8－14］.但是大多数的混沌同步研究都只是进行了理论分析和数值模拟，本文采用状态观测器同步法，通过设计合适的状态观测器，实现了对改进的超混沌Lü系统的同步控制，该方法不需要计算同步的条件Lyapunov指数，且同步时间较短.设计并搭建了同步实验电路，实验结果与理论分析及数值模拟的结果基本一致，从而验证了该同步方法的有效性.

1 改进的超混沌Lü系统及其电路实现

最近，申敏等人在三维Lü混沌系统的基础上提出了一个新的超混沌系统，这个改进的超混沌Lü系统的数学模型如下［15］：

系统（1）中：x1，x2，x3和x4为系统的状态变量；a，b，c和d为系统参数.当参数a＝35，b＝3，c＝12，d＝35时，系统的Lyapunov指数为（0.537 9，0.233 0，0，－38.276 9），该系统处于超混沌状态.为了能够有效地进行电路实验，将系统（1）中的状态变量x4压缩10倍，则相应的系统方程变为：

根据系统（2），设计出改进的超混沌Lü系统的电路，如图1所示，电路中运放采用LM741，乘法器采用AD534J，电源电压为±12 V，其状态方程为：

电路中的元件参数：R1＝R2＝2.9 kΩ，R4＝8.33 kΩ，R5＝R7＝1 kΩ，R6＝33.3 kΩ，R8＝28.6 kΩ，R3＝R9＝R10＝R11＝R12＝R14＝R15＝R16＝10 kΩ，C1＝C2＝C3＝C4＝0.01μF，搭建实验电路，利用示波器观察到的超混沌吸引子如图2所示.

图1 改进的超混沌Lü系统的电路图

图2 改进的超混沌Lü系统的吸引子相图

2 状态观测器实现改进的超混沌Lü系统同步

2.1 理论分析

基于状态观测器原理，非线性混沌系统的结构为：

其中：A∈Rn×n；B∈Rn×m；D为待求的常数矩阵；AX为系统的线性部分；B F（X）为非线性部分［16］.由改进的超混沌Lü系统（4）构造的驱动系统为：

选取合适的B和D，使｜A－BD｜的特征值均具有负实部，则误差系统渐进稳定在零点，从而实现了驱动系统和响应系统的同步.

在满足（8）式的条件下，选取d1＝0，d2＝20，d3＝0，d4＝5，驱动系统（5）的初值x1（0）＝1，x2（0）＝－1，x3（0）＝1，x4（0）＝0，响应系统（9）的初值y1（0）＝3，y2（0）＝2，y3（0）＝0，y4（0）＝1，同步误差曲线如图3所示.可以看出，当t分别接近1.2，1，2.5和2 s时，误差e1（t），e2（t），e3（t）和e4（t）已分别稳定在零点，即驱动系统（5）与响应系统（9）达到了同步.

图3 驱动系统（5）和响应系统（9）的同步误差曲线图

图4 驱动系统（5）变量x2和响应系统（9）变量y2同步相图

2.2 电路实验研究

混沌同步电路的设计比较复杂，我们结合状态观测器的理论分析，充分利用了驱动系统中的非线性项，并将同步电路中的比例、积分电路合二为一，设计出了改进的超混沌Lü系统同步电路，用示波器观察到两系统达到了同步，其中驱动系统（5）变量x2和响应系统（9）变量y2的同步结果如图4所示，其超混沌电路如图5所示，其中虚线框内是响应系统电路，元件参数：R17＝R18＝2.9 kΩ，R19＝10 kΩ，R20＝8.33 kΩ，R22＝33.3 kΩ，R21＝R23＝1 kΩ，R24＝28.6 kΩ，R33＝R34＝5 kΩ，R35＝R36＝20 kΩ，其他电阻值为10 kΩ，C5＝C6＝C7＝C8＝0.01μF.由图4可见，利用状态观测器方法较好地实现了驱动系统和响应系统的同步.

图5 驱动系统（5）和响应系统（9）同步的电路图

3 结论

本文研究了改进的超混沌Lü系统的状态观测器同步问题，利用状态观测器同步法，通过设计合适的状态观测器，实现了对改进的超混沌Lü系统的同步控制，该方法不需要计算同步的条件Lyapunov指数，且同步时间较短.同时对混沌同步电路的设计问题进行了研究，设计出结构简单且操作方便的同步实验电路，通过示波器观察到的实验结果与理论分析及数值模拟的结果基本一致，从而进一步验证了该同步方法的有效性.

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Synchronization of improved hyperchaotic Lüsystem using the state observer method

ZHENG Wen－na，LUAN Hong－xia，LÜJing，YUE Li－juan

（School of Physics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

The method of state observer synchronization is applied to the improved hyperchaotic Lü system.By designing a suitable state observer，the synchronization of improved hyperchaotic Lüsystem is realized.We design the simple synchronization circuit.The experimental results coincide with theoretical analysis and numerical value simulation.The effectiveness of the proposed method is demonstrated.

improved hyperchaotic Lüsystem；hyperchaotic synchronization；state observer；circuit experiment

O 415

120·20

A

1000－1832（2012）01－0072－05

2011－10－25

国家自然科学基金资助项目（10847110）；吉林省自然科学基金资助项目（201115008）.

郑文娜（1983—），女，硕士研究生；通讯作者：岳丽娟（1963—），女，副教授，主要从事非线性混沌控制与同步研究.

石绍庆）