基于小波变换的图像阈值去噪及其效果评估

李蕴奇

（吉林省经济信息中心，吉林长春 130061）

基于小波变换的图像阈值去噪及其效果评估

李蕴奇

（吉林省经济信息中心，吉林长春 130061）

研究了小波变换理论在图像去噪方面的具体应用，并利用传统客观的效果评估指标对多种小波变换的去噪效果进行评估，同时将结构相似理论引入到效果评估体系中，仿真实验表明，该方法符合主观判断.

图像去噪；小波变换；效果评估

0 前言

随着影像获取和互联网技术的发展，图像已成为人们获取信息的重要来源之一，但由于在图像获取、传输和处理中多种因素的影响导致图像质量不高，甚至使图像变得模糊从而掩盖了图像的特征.其中重要原因之一就是图像中的噪声.考虑到噪声与信号在频域内分布不同，能很好地将二者分开，所以目前研究重点是频域内的图像去噪算法.［1－2］

1992年，Donoho等人提出使用小波阈值收缩法对图像去噪，取得较好的效果，但其缺陷就是必须知道噪声强度的大小，然而这在实际应用中是难以获取的.1997年I.M.Johnstone等人提出一种自适应小波阈值估计器，T.C.Hsung等人1999年提出一种基于奇异性检测的去噪方法，该方法的优点是几乎不需要噪声的先验信息.［3－4］S.G.Chang等人于2000年提出Bayes Shrink阈值公式，把去噪和压缩较好地结合起来.［5］M.Miller等人提出使用反转复小波变换法去除高斯噪声，该方法在保留结构图像特征，增强图像锐度等方面作用良好，能够防止图像信息量退化.金海燕等人提出了一种基于Curvelet域隐马尔可夫树（HMT）模型的图像去噪方法.［6］

本文将探讨离散小波变换在图像去噪中的具体应用，利用现有传统的去噪效果评估指标和结构相似理论对其作以对比，并讨论在去噪过程中参数的优化问题.

1 图像小波分解

小波变换最初是为了解决经典的傅立叶变换不能同时进行时域与频域分析问题的，之后该技术被广泛应用于各个领域.［7－9］与傅里叶变换相比，小波变换具有时频二维分辨率的特点，正是由于这一特性使小波更适合于信号的精确分析.而将多尺度分析思想引入其中后，则更有效地推动了小波变换在图像分解与重构方面的应用.小波变换的思想是对二维图像进行多尺度的分解.经变换后，被分解为一组具有不同方向、不同频率的子图像.

1989年，Mallat基于小波多分辨分析，提出了Mallat快速算法，后来将该算法推广到二维空间［7］.设V2j（j∈Z）是空间L2（R2）的一个可分离的多分辨分析，尺度函数系｛φj，m1，m2｜j∈Z；（m1，m2）∈Z2；ε＝1，2，3｝构成L2（R2）的规范正交基.则二维图像f（x，y）可表示为：

图像的小波分解结构如图1所示.

经一层小波变换后，图像被分解成4个频带：水平高频、垂直高频、对角线高频和低频.3个高频子带捕获了图像的突变信号（如边缘、纹理等），而低频子带包含了图像的细节信息.如果需要进一步进行小波分解，可以在低频子带中继续进行.医学图像经过Haar小波的三层分解后，如图2所示.

图1 图像的小波变换频域分解

图2 医学图像Haar小波2层分解结构

2 去噪问题的数学描述

一幅含有噪声的图像可以表示为：

其中：v（i）是图像在位置i处的观测值，u（i）是在位置i处像素的真实值，n（i）是i处的噪音.去噪的目的在于去除n（i）的影响，使v（i）＝u（i）（见文献［1］）.小波去噪本质上是一个函数的逼近问题，通过对原图像的最佳逼近，从而有效地区分开原信息u（i）和噪声信息n（i），达到去噪效果.或者更进一步地说，基于小波分解的图像去噪实质就是寻找从原信号空间到小波函数空间的最佳映射关系.

去噪算法需要在降低图像噪声的同时又能很好地保留图像细节.传统的去噪算法虽然能够去除噪声，但图像的部分细节往往亦被消除.而将小波分解引入图像去噪算法既能达到较好地去噪效果，也能保持图像的细节信息，其原因在于其良好的多尺度性，能有效地将噪声与原始信号分离.

3 小波去噪方法

目前，应用小波变换对小波去噪的研究仍然很活跃，尽管算法差异较大，但其框架基本相同，可将小波去噪分为3个步骤：小波分解、小波分析和小波重构.

小波分解部分主要是选取合适的小波基和确定分解层数.小波分析阶段研究如何通过小波系数的计算，将噪声信息去除，这是不同小波算法的区分所在.小波重构则是将处理过后的小波系数映射回空域内.

3.1 小波分解

3.1.1 小波基的选取

在构造小波基时，应使其具备如下性质：正交性、正则性、紧支性和对称性.

定义1（正交性） 若函数系｛f（x－k）｝k∈Z满足如下条件：则称该函数系是规范正交系.

定义2（正则性） 正则性反映了函数的光滑程度.一般的，正则性与函数的光滑性成正比.在运算过程中，用利普希茨指数来表征正则性.利普希茨指数表征的是函数f与局部多项式的相似程度.

小波基的正则性对小波分解十分重要，其原因在于具有正则性的小波重构更稳定.为了得到较好的重构信号，一般都要求小波基具有正则性.

定义3（紧支性） 若函数f（x）除在某一区间（如［a，b］）上，函数值恒等于0，则可称f是紧支的，并称该区间（［a，b］）为f支集.显然，小波的支集区间越小，局部化能力越强.因此，当将小波变换用于捕获突变信号时，需要小波基具有较好的紧支性.

定义4（对称性） 当且仅当函数f（x）满足f（a＋x）＝f（a－x）时，称f（x）具有对称性；同理，当且仅当函数f（x）满足f（a＋x）＝－f（a－x）时，称f（x）具有反对称性.

目前，小波基有Haar，db族，sym族等多达数十种.合适的小波基，使图像能量分布在少数的几个基底上，不同频率的信息相对独立地分布在不同小波层次上，进而使去噪过程中既能有效去除噪声，又能保护图像的细节信息.

3.1.2 分解尺度

分解尺度的选择，也是影响小波去噪效果的重要环节之一.尺度参数选择的准则是：（1）保证图像噪声得到有效去除，（2）较小的时间和空间复杂度.因此，分解尺度既不能太大，也不能太小.图3为图2（a）经两层小波分解后各层的信息构成的分布图.

图3 经过Haar两层小波分解的系数直方图

3.2 小波阈值去噪法

小波阈值去噪法是小波去噪方法中最早被提出的，该方法因算法简单、效果好，而被广泛应用.小波阈值去噪法大致可分为两种：硬阈值法和软阈值法.二者的差异在于去噪函数的不同.

3.2.1 去噪函数

对于图像f，其阈值为λ，则硬、软阈值函数可分别表示为：

硬阈值法可较好地保留图像边缘、纹理、拐角等特征信息，但可能会出现振铃效应，而经软阈值法处理后的图像相对硬阈值法要平滑，但其缺陷在于会造成边缘模糊、拐角丢失等情况的发生.

3.2.2 阈值的选取

阈值的选取是小波阈值去噪模型的另一个重要的研究内容，其原因在于阈值是否合适也决定了去噪性能.若选取的阈值较小，虽然保留图像的细节信息更完整，但噪声也同时被保留下来；若选取阈值较大，则会丢失图像中的高频信息.在无法将噪声和图像原有高频信息有效分开的前提下，阈值的选取方法应取决于图像本身的特点和对图像质量的实际需求.如果图像本身噪音较多，则应使用较大的阈值；否则，使用较小的阈值.如系统对图像噪声鲁棒性差，则应选取较大阈值；系统对图像细节信息要求高，则尽量降低阈值.目前，存在下面的阈值选取算法.

设含噪声图像f（x）经小波分解得到N个小波系数，噪声信号的标准差为σ.则各种阈值算法计算公式如下：

4 效果评估

图像去噪的效果评估不仅可以评估各种去噪算法的优劣，同时可为算法优化提供依据.目前，图像去噪算法的效果评估方法可分为主观法与客观法两种.主观法指由人眼直接观察图像去噪效果，其优点在于评估结果合理，准确.它可以判断去噪后图像的清晰度是否降低，图像边缘是否完整、清晰等，可直观地辨识图像在信息结构、清晰度等方面的差异，缺点是只能用于判别得到明显改善的图像，精确度不高；而且，无法用于参数优化.而客观效果评估方法恰好解决上述主观评估指标的不足.

目前，客观效果评估指标主要是均方根误差MSE（Mean Square Error）和峰值信噪比PSNR（Peak Signal－Noise Ratio），对于一个大小为m×n，量级为256的一幅图像f及其对应的去噪重建图像f′，MSE和PSNR定义如下：

这里，MSE的物理意义是图像f′中所含噪音的能量.MSE数值越大，说明f′内的噪声越多，去噪效果越不好.PSNR与MSE成反比，描述了去噪重构图像f′内信号与噪音之间的比例关系：数值越大，去噪效果越好.

虽然MSE和PSNR能够对图像去噪效果给出定性的衡量，但它们最大的缺陷在于无法真实反映人眼的视觉感觉.两者不能胜任图像去噪效果评估的原因在于：一方面，两项指标属于全局统计指标范畴，而人眼对局部细节差异更敏感；其次，两项指标无法对去噪过程中图像形状纹理信息进行完整性的考核，因为图像去除噪声不能以牺牲图像信息为代价.王舟等人提出了结构相似理论，该理论符合人类视觉系统（Human Visual System，HVS）对图像信息的感知与理解.［10］该模型综合考虑去噪重构图像与参考图像的亮度相似性、对比度相似性和结构相似度.

分别定义两幅图像信号f，f′的亮度相似性、对比度相似性和结构相似度如下：

其中：μf和μf′分别为图像f和f′的像素平均值；σf和σf′分别为两幅图像的均方差；σff′为两幅图像的协方差；C1，C2，C3为接近于0的常数，其意义在于避免出现分母为0的情况.

综合考虑这三方面，王舟等人给出图像质量为：

其中：α，β，γ分别为亮度相似性、对比度相似性和结构相似度在最终评估效果中所占的比重.一般全部设定为1.最终，SSIM（f′，f）取值范围为［－1，1］.数值越大，表明去噪重构后的图像与参考图像越相似，即去噪效果越好.

5 实验结果

图4 原图像和加高斯白噪声图像

利用主观效果评估法和客观效果评估法（MSE，PSNR，SSIM）对小波去噪方法进行比较.测试图像通过在原图像中加入高斯白噪声（均值为0，标准差为0.01）获得，如图4所示.首先，对小波基对降噪效果的影响进行评判；其次，对同一小波下，比较分解尺度对降噪效果的影响.

5.1 不同小波基降噪效果比较

对小波基对图像去噪的影响进行评估，实验中小波基包括Haar，db5，sym2和dmey.其他参数均统一设定：小波解尺度为3，第1～3层小波系数的阈值选取都是Penalize medium，使用硬阈值法.去噪效果如图5所示.

对比图5与图4，4种小波去噪方法都能将图像中大部分噪声去除（黑色部分变得比较清晰），但是4幅影像在边界处都存在不同程度的伪信息.其中用db5和dmey小波基的去噪方法出现的伪信息较多，但是图5（d）软组织最清晰，原因在于所选的小波基能将噪声与有效信息较好地分开.

图5 小波基对去噪效果的影响

对上面4幅图像进行质量评估，MSE，PSNR和SSIM的评估结果如图6所示.其中MSE的评估结果越低，图像的去噪效果越好.而其他两者与之相反，评估结果越高越好.

显然，三个客观评估指标给出的质量排序是一致的，依次是dmey，Haar，db5，Sym2.MSE和PSNR侧重于衡量图像噪声的多少，SSIM则会同时考察去噪图像对原始图像信息、结构的保存程度.以dmey为小波基的去噪模型相对于其他模型在去噪和保留信息方面都表现优秀.

图6 三种客观指标评估结果

5.2 不同分解尺度降噪效果比较

关于分解尺度对图像去噪的影响进行评估，实验中小波基设定为Haar，其他参数均统一设定，依然使用软阈值法.去噪效果如图7所示.

图7 分解层数对去噪效果的影响

通过肉眼观察发现，图7（a）出现模糊的现象，图7（c）和图7（d）出现明显的块状信息.究其原因在于：图7（a）对应的小波分解尺度过小，已退化为单尺度方法，没能将高频信息和低频信息较好地分离；而图7（c）和图7（d）分解尺度偏大，出现较多伪信息，即块状信息.相比之下，图7（b）质量最好，既能将大部分噪声去除，提高了清晰度；又能较完整地保留图像的细节信息.

同样，利用MSE，PSNR和SSIM三项指标对上述4幅图像进行去噪效果评估.其评估结果如图8所示.

图8 特定图像的去噪效果评估

三项指标评估结果一致，均表明图像尺度为4层时，去噪效果最好；次之是2层；去噪效果最差的是6层和8层.仿真实验表明：在小波去噪过程中，分解层数取［3，5］时，去噪效果最优.

6 结论

本文介绍了利用小波分解去除图像噪声方法的一般步骤，并给出了三种客观质量评估指标.实验中用主观法，MSE，PSNR和SSIM分别对小波基、分解尺度对去噪效果的影响进行衡量，并阐明其原因.结果表明，分解尺度的选取应适中，选取过小，多分辨效果不明显；取值过大，则出现伪信息.

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Image threshold de－noising based on wavelet transform and performance evaluation

LI Yun－qi

（Economic Information Center of Jilin Province，Changchun 130061，China）

Image de－noising is a basic problem in the field of image processing，and an important content in image enhancement.The wavelet de－noising is an internationally recognized focus in the field of image de－noising research.This paper research on the application of theory of wavelet transform adopted in de－noising，traditional objective indicators of evaluation are utilized to measure the effect of various wavelet transforms.Meanwhile，the theory of structure similarity is introduced into the assessment system，and simulation results show that the metric is consistent with the subjective judgments.

image de－noising；wavelet transform；performance evaluation

TP 391

520·60

A

1000－1832（2012）01－0060－07

2010－06－21

国家自然科学基金资助项目（40972059）.

李蕴奇（1976—），女，硕士，高级工程师，主要从事信号处理、分布式数据库应用研究.

陶 理）