对解题后反思的几点认识

谭明贵

摘 要： 反思是数学活动的核心和动力.数学是中学阶段的必修课程之一，数学解题教学后，引导学生反思，能使学生将教师所授的知识内化为自己的知识.作者在文中具体说了对解题后反思的认识.

关键词： 数学教学 解题后反思 思维批判性 思维灵活性 思维广阔性

一

孔子云：学而不思则罔.意思是说学习之后一定要进行反思，否则就会迷惑而没有所得.数学教育家弗赖登塔尔指出：反思是数学活动的核心和动力.建构主义认为：学习并非是对于教师所授予的知识的被动接受而是依据已有的知识和经验为基础的主动建构过程，教师不仅仅是知识的传授者，而应成为学生学习的促进者.这就要求我们在解题教学后引导学生反思，使学生将教师所授的知识内化为自己的知识.另外针对学生认知结构水平有限，不善于在解题后对解题进行反思的特点，加强解题反思也是势在必行的.

事实上解题反思的基本特征是它的探究性和总结性，在解题过程中探究其中的问题，总结经验教训，不断调整自己的解题策略，建构自己对问题的理解，获取新的体验，逐步形成理性的认识和批判性观点.那么如何引导学生进行解题后反思呢？下面我从对一道例题的解题反思谈谈对解题反思的认识.

例：若正数x，y满足x+2y=1，求■+■的最小值.

此题是在高三复习中最为常见的一道经典题目，很多参考书目都引用了此题.在高三第一轮数学复习时，笔者在复习均值不等式时引用了此题.在出示例题后，让学生自行解答.学生得出了以下解法.

方法一：

∵x+2y=1，∴2■≤1，∴xy≤■，■≥2■；

又∵■+■≥2■≥4■，∴最小值为4■.

方法二：

∵x>0，y>0，x+2y=1，

∴■+■=■+■=3+■+■≥3+2■，

∴最小值为3+2■，当且仅当■=■时取最小值.

方法三：

∵x>0，y>0，x+2y=1，

∴■+■=（x+2y）（■+■）=3+■+■≥3+2■，

∴最小值为3+2■，当且仅当■=■时取最小值.

方法四：

设x=ty，∵x>0，y>0，∴t>0

∵x+2y=1，∴ty+2y=1，y=■，

∴■+■=■+t+2=3+■+t≥3+2■，

∴最小值为3+2■，当且仅当t=■时取最小值.

二

对于以上四种解法，笔者从以下几个方面引导学生进行反思.

（一）反思错处，培养思维的批判性.

教学中应珍视学生的错误，因为学生的知识背景、思维方式、情感体验往往和成人不同，而其表达方式可能不准确，所以难免出“错”.教学中若能从此切入，进行解后反思，则往往能找到“病根”，进而对症下药，收到事半功倍的效果.笔者让得出方法一的同学在黑板上完整演绎，然后指出其两点错误：1.x>0，y>0条件没有说明，做法缺乏前提，书写不规范；2.两次使用均值不等式，且都没有注意等号成立时的条件.经过反思，学生清楚认识到解题时需注意细节，两次使用均值不等式“=”不能同时成立，此题错解，对“三相等”加深了认识.

（二）在解题的方法规律处反思，训练思维的灵活性.

通过引导学生反思解题的多种解法，进行方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，比较哪种解法较为简捷，进一步拓宽学生的解题思路，培养思维的灵活性.对于方法二、三、四，引导学生反思：哪种方法最易掌握，哪种方法最简捷，哪种方法最新颖，等等.学生通过反思和互相交流探讨，发现方法二、三具有共性，即利用条件，消去常数“1”，而方法四采用消元法，解法独特.通过反思，学生对这类问题的解法规律有了一定的认识，即“消常法”、“消元法”，解题技巧得到提升.

（三）反思题目变式，训练思维的广阔性.

在解题教学后引导学生改变题中的条件与问题，进行变式教学.这样，不仅能加深学生对某种题型结构和特征的理解，而且有利于培养学生认识问题和解决问题的能力.

方法讲解完毕，笔者设问：若把条件改为x+2y=3，方法还用吗？学生思考后，发现其实1=■（x+2y），利用方法二、三易解.若用方法四，则几乎和原题无区别，只是数值不一样而已.从而对方法四加深了认识，即消元法在均值不等式问题中更具有一般性.然后，笔者又让学生做如下练习：已知x，y都是正实数，且2x+y-xy=0，求x+y的最小值.学生埋头苦作，基础较好的同学用消元法，即由已知得x=■，代入x+y，再利用均值不等式得到解答，但大部分同学没有顺利解得.我提示道：“事实上这题我们刚刚解过，请看：由已知得：2x+y=xy？圯■+■=1，令m=■，n=■，则m+2n=1，所求变为■+■.”学生恍然大悟，原来此题只是例题的一种变式而已.

（四）在情感体验处反思.

解题过程并非仅仅只是一个知识运用、技能训练的过程，而是一个伴随着交往、创造、追求和喜、怒、哀、乐的综合过程.在此道例题和习题学习中，学生既品尝了失败的苦涩，又收获了“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的喜悦，他可能是独立思考所得，也有可能是通过合作协同解决，既体现了个人努力的价值，又折射出集体智慧的光芒.在此处引导学生进行解后反思，有利于培养学生积极的情感体验和学习动机；有利于激发学生的学习兴趣，点燃学习热情，变被动学习为自主探究学习；还有利于锻炼学生的学习毅力和意志品格.同时，在此过程中，学生独立思考的学习习惯、合作意识和团队精神均能得到很好的培养.

总之，通过解题后的反思，让学生的思维在解题后继续发散，“八方联系，浑然一体，漫江碧透，鱼翔浅底”；通过反思，让学生对方法、规律得到了及时的小结归纳；通过反思，让学生拨开迷蒙，看清“庐山真面目”而逐渐成熟起来.在反思中他们学会了独立思考，在反思中他们学会了倾听，学会了交流、合作，学会了分享，体验了学习的乐趣，交往的快慰.