例谈“二次型”在高中数学中的应用

吴明廉

纵观高中数学的教学过程，我发现“二次型”在高中的解不等式、指数函数、三角函数、数列、极值、值域、单调性等多个领域都有广泛应用.本文中所提到的“二次型”是广义范围内的，包括二次函数、一元二次方程、一元二次不等式.很多同学在高中数学学习过程中，由于没有掌握解题的关键无法很好地解决问题.针对这类现象，我想学生所想，急学生所急，列举了几个例子，配以详细的分析解答过程，以期和大家共勉.

例1：已知不等式ax+bx+c<0（a≠0）的解为x<2或x>3，求不等式bx+ax+c>0的解.

分析：此题要结合二次函数y=ax+bx+c，一元二次方程ax+bx+c=0，考虑二次函数的图像，一元二次方程的根，找到系数a，b，c之间的关系，再通过化简整理，从而达到解出不等式bx+ax+c>0的目的.

解：由不等式ax+bx+c<0的解为x<2或x>3，可构造相应二次函数y=ax+bx+c，借助图像可知a<0，且二次方程ax+bx+c=0的两根分别是2和3，由韦达定理-=5，=6可得b= - 5a，c=6a，不等式bx+ax+c>0可变为 -5ax+ax+6a>0，由于a<0，整理得5x- x - 6>0，可得不等式bx+ax+c>0的解为x < -1或x>.

例2：若方程1-2cosx-sinx+a=0有实数解，则实数a的取值范围是（ ）

A.（-∞，） B.[-2，] C.[0，] D.[-1，]

分析：此题通过三角函数公式把cosx化归为sinx形式，观察出以sinx为主体，构造一个以sinx为主的二次函数，通过配方法，再通过换元法，结合二次函数的图像求出二次函数的最大值、最小值.

解：可知a=sinx-2sinx+1=-2（sinx-）+，令t=sinx，则-1≤t≤1.由a=f（t）=-2（t-）+，（-1≤t≤1）可知，当t=时，a有最大值为；当t=-1时，a有最小值为-2.故选择B.

例3：数列{-2n+29n+3}中的最大项是（ ）

A.107 B.108 C.108 D.109

分析：此题观察表达式可看出符合“二次型”，构造以n为自变量的二次函数，通过配方找到离二次函数的对称轴最近的正整数n的值，结合二次函数的图像得到最大项的值.

解：通项a=-2n+29n+3=-2（n-）+…，∵=7可知正整数7离轴最近，∵图像开口向下，∴当n=7时得最大项a=108，故选择B.

例4：已知数列{a}的前n项和S=n+2n+5，则a+a+a=？摇 ？摇.

分析：此题观察表达式可看出符合“二次型”，构造s和 s，通过代入求值，再作差得出结论.

解：s-s = （8+2×8+5）-（5+2×5+5）=45

例5：已知数列{a}的前n项和s是n的二次函数，且它的前三项依次是-2，0，6，那么a=？摇 ？摇.

分析：此题明确指出存在二次函数的条件，提示我们设出二次函数的表达式，通过代入已知数值求出系数a，b，c，确定s，再用数列的性质解出答案.

解：s-s= a，设s=a·n+b·n+c（a≠0），代入s=-2，s=-2，s=4，解得a=2，b=-4，c=0，∴s=2n-4n，∴a=（2×100-4×100）-（2×99-4×99）=394.

例6：已知m≤x-2x+2，0≤x≤3恒成立，求m的取值范围.

分析：此题可看出题干中x-2x+2符合二次函数的形式，提示我们设出一个对应的二次函数和一个常函数先在坐标系中画出二次函数的图像，求出二次函数的值域，再结合已知条件的恒成立的要求可得m的取值范围.

解：构造函数y= x-2x+2，0≤x≤3，y=m，画出y=x-2x+2，0≤x≤3的图像，可知1≤y≤5，画出y=m的图像∴m≤1.

例7：对于m的不同取值，讨论方程 x-4|x|+5=m的实数根的个数.

解析：此题可看出方程的左侧 x-4|x|+5符合“二次型”的形式，构造函数y= x-4|x|+5和y=m，两个函数图像的交点的个数就是方程实数根的个数.先画出二次函数y= x-4x+5，截取 y轴右侧的图像，再关于y轴对称画出y轴左侧的图像，注意x=0时y=5，且最小值y=1.把坐标系中的函数y=x-4|x|+5的图像看出背景布，接下来使用运动变化的观点作为指导思想，从上至下画出y=m的图像，观察两个图像的交点个数如何变化.先是有两个交点，再是有三个交点，再到有四个交点，再到有两个交点，最后到没有交点.综上所述，可知：（1）当m>5或m=1时两个图像有两个交点，方程有两个解；（2）当m=5时两个图像有三个交点，方程有三个解；（3）当1

例8：已知函数y=（），求函数的单调区间.

解析：此函数是一个复合函数，由y=（）和u=x复合而成，∵ <1，函数y=（）为减函数，对于二次函数u=x结合图像可知，当x≤0时二次函数u=x单调递减，∴当x≤0时函数y=（）x为增函数；当x>0二次函数u=x单调递增，∴x>0时，函数y=（）为减函数，从而可得到单调区间.