以“直”代“曲”在积分学中的可行性研究

舒苏

摘 要： 在积分理论中，微元法的基本思路就是以“直”代“曲”.但是，大部分教科书碍于时间和篇幅等条件的限制，对以“直”代“曲”的理论渊源并未加以论述，这就使得这一方法的可行性变得比较模糊.本文试根据达布理论，对以“直”代“曲”在积分学中的可行性加以论证.

关键词： 以“直”代“曲” 达布理论 可行性

在积分学理论中，经常需用微元法，而微元法的基本思路就是以“直”代“曲”.然而，在定积分概念的教学中，由于种种原因，大部分教材中删去了达布的有关定理.因此，学生在用定义求诸如曲边梯形面积这类问题时，常常会对以“直”代“曲”方法产生一定的困惑：（1）以“直”代“曲”方法的可行性如何？（2）用平行于x軸的直线或用斜线替代曲线，其结果相同吗？为了解决这些问题，我们首先给出达布的有关定理，然后根据达布理论对以上问题一一加以论证.

一、达布的有关定理

1875年，达布（Darboux）用“大和”、“小和”理论证明了定积分存在的充分必要条件，从而为微元法的一个最基本方法——以“直”代“曲”方法奠定了理论基础.其主要内容有：

（1）设f（x）是定义在[a，b]上的有界函数，记△x■，△x■，…△x■.

为[a，b]上某一分割，m■与M■分别为f（x）在△x■上的下确界和上确界，则称■m■△x■与■M■△x■分别为f（x）在已知分割下的“小和”与“大和”，记为s与S.

（2）可以证明，对f（x）在[a，b]上任一积分和■f（ξ■）△x■分均满足s≤■f（ξ■）△x■≤S.

（3）达布用“大和”、“小和”理论证明了以下定理：

定理设f（x）是定义在[a，b]上的有界函数，则f（x）在[a，b]上可积的充分必要条件是lims=limS.

二、以直代曲方法在求曲边梯形面积时的可行性

例1：用定义求由抛物线y=x■，直线x=1和x轴所围曲边梯形的面积.

（1）由于分割的任意性，不妨将区间[0，1]n等分，则每一个子区间长为△x■=■，且第i个子区间为[■，■]，令m■与M■分别为f（x）=x■在第i个子区间上的下确界和上确界，因为f（x）=x■在[0，1]上为增函数，所以m■=（■）■，M■=（■）■

所以，小和s=■m■△x■=■（■）■·■=■n（n-1）（2n-1），

大和S=■M■△x■=■（■）■·■=■n（n-1）（2n-1）+■，

显然，■s=■S.

以上由达布定理充分证明在上以直代曲是完全可行的.

（2）用矩形法和梯形法分别求曲边梯形面积.

①用矩形法计算，即用平行于x轴的直线替代曲线f（x）=x■.

由于分割的任意性，不妨将区间[0，1]n等分，所得曲边梯形面积为：

I=■■f（ξ■）△x■=■■（■）■·■=■■n（n-1）（2n-1）

=■■（1-■）（1-■）=■.

②用梯形法计算，即用斜线构成的小直边梯形替代小曲边梯形将区间同样n等分，所得曲边梯形面积为：

I=■■■[（■）■+（■）■]·■=■■[2■t■-2■i+n]

=■■[2n■+n]=■.

显然，用平行于x轴的直线和用斜线替代曲线其结果完全相同.这是因为，对于y=f（x）在[a，b]上的一般情况，用矩形法计算：I=■■f（ξ■）△x■，用梯形法计算：I=■■■[f（x■）+f（x■）]·△x■，由达布理论知s≤■■f（ξ■）·△x■=■■■[f（x■）+f（x■）]·△x■≤S成立，故由定理知①，②均正确.

三、以直代曲方法在求旋转体体积时的可行性

1.用平行于X轴的直线AB代替■，显然用达布“小和”是可行的，

v■=■■πf■（x■）·△x■是积分和的极限，

∴v■=π？蘩■■f■（x）dx，

而v■=■■π·f■（x■+1）·△x■=π？蘩■■f■（x）dx.

2.用斜线AB替代■，

v■=■■■[π·f■（x■）+πf■（x■+△x■）+π■]·△x=■·3？蘩■■π·f■（x）dx=π？蘩■■f■（x）dx.

四、以直代曲方法在计算曲线弧长时的可行性

在计算曲线弧长时也要使用以“直”代“曲”，但在使用这种替代时必须使用等价无穷小替换的原理.例如：在曲线s上取一小段△S.

1.用弦△l来替换△S.此时，方法显然可行.∵△l=■.

设△S为可求长曲线S的部分，方程为x=φ（s）y=ψ（s），且x′（s），y′（s）存在，且dS■=（dx）■+（dy）■，即（■）■+（■）■=1，

∴■■=■■=■■=1，

其中当MM■→0时，■长与■长为等价无穷小.

2.用平行于x轴的直线△x替换△s。

∵■■=■■=■

此时y■除了y=c（常数）以外，对其他曲线y=f（x）均不为0，这说明△x与△s并非等价无穷小，故不能以此直代此曲.

参考文献：

[1]菲赫金格尔茨.数学分析原理[M].北京：人民教育出版社，1979.