对复合函数单调性的探讨

付怀军

考查复合函数f=f（g（x））的单调性.

设单调函数y=f（x）为外层函数，y=g（x）为内层函数，

（1）若y=f（x）增，y=g（x）增，则y=f（g（x））增.

（2）若y=f（x）增，y=g（x）减，则y=f（g（x））减.

（3）若y=f（x）减，y=g（x）减，则y=f（g（x））增.

（4）若y=f（x）减，y=g（x）增，则y=f（g（x））减.

结论：同增异减.

例1.求函数f（x）=2的单调区间.

解析：首先找出外层函数和内层函数，然后进一步求此函数的单调区间.此题中定义域是一切实数.

解题过程：

外层函数：y=2

内层函数：t=x+x-2

内层函数的单调增区间：x∈[-，+∞）

内层函数的单调减区间：x∈（-∞，-]

由于外层函数为增函数

因此复合函数的增区间为：x∈[-，+∞）

复合函数的减区间为：x∈（-∞，-]

评注：在本例题的解题过程中，首先要求出内层函数的单调区间，因为在复合函数的单调性的问题中很多基础薄弱的同学在此处会出现思维混乱，并且这样可以避免接下来涉及定义域而学生又容易忽略的情况.

例2.求函数f（x）=log（x+x-2）的单调区间.

解析：此题首先求定义域，这是解决本题的关键.

解题过程：

外层函数：y=logt

内层函数：t=x+x-2

t=x+x-2>0

由图知：

内层函数的单调增区间：x∈[1，+∞）

内层函数的单调减区间：x∈（-∞，-2]

由于外层函数为增函数

因此复合函数的增区间为：x∈[1，+∞）

复合函数的减区间为：x∈（-∞，-2]

例3.求函数y=的单调区间

解题过程：

外层函数：y=

内层函数：t=cosx

t=cosx≥0

由图知：

内层函数的单调增区间：x∈[-+2kπ，2kπ]

内层函数的单调减区间：x∈[2kπ，+2kπ]

由于外层函数为增函数

因此复合函数的增区间为：x∈[-+2kπ，2kπ]

复合函数的减区间为：x∈[2kπ，+2kπ]

通过以上三个例题的解题过程，得出求复合函数单调区间的步骤：

1.找出外层函数和内层函数；

2.根据定义域确定内层函数的单调区间；

3.根据外层函数确定复合函数的单调区间.