带电粒子在有界磁场中运动的一类临界问题

商广宇

解决此类问题的关键是找准临界点，审题应抓住题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”“刚好”等词语作为突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，如有必要则画出几个不同半径相应的轨迹图，从而分析出临界条件。寻找临界点有两种有效方法：

1.轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大小可以变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中即可发现“临界点”。

2.轨迹圆的旋转：当粒子的速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转中也容易发现“临界点”。

例1：一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad长为L，现从ad中点O垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°，大小为v0的带正电粒子（如图所示），已知粒子电荷量为q，质量为m（重力不计）。

（1）若要求粒子能从ab边射出磁场，v0应满足什么条件？

（2）若要求粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应从哪一边界处射出，出射点位于该边界上何处？最长时间是多少？

解析：

（1）粒子从ab边射出的两边界轨迹如图线Ⅰ与Ⅱ，

对图线Ⅰ，由几何关系知R+Rsin30°=L/2

得R=L/3

又qvB=m

得v=

对图线Ⅱ，由几何关系知R=Rsin30°+L/2

得R=L

又qvB=m

得v=

故粒子从ab边射出

（2）若要求粒子在磁场中运动的时间最长，粒子应ad边射出，由几何关系知，出射点离O点的距离d=R=v=且R≤L/3.

时间t=T=

例2：如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于图中纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16cm处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×10m/s，已知α粒子的电荷与质量之比=5.0×10C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。

解析：α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有

qvB=m

由此得R=

代入数值得R=10cm，可见2R>l>R

因朝不同方向发射的α粒子的圆轨道都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P就是α粒子能打中的左侧最远点。为确定P点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q点作ab的垂线，它与ab的交点即为P，由图中几何关系得

NP=

再考虑N的右侧，任何α粒子在运动过程中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径，S为圆心作圆，交于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远点。

由图中几何关系得NP=

所求长度为PP=NP+NP

代入数值PP=20cm