大学数学文化课程中培养随机性数学思维的实践研究

张艳艳

（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）

1 引 言

当今大学数学教学改革中涉及大学数学文化课程的教学方法与教学内容的改革日渐深入，许多从事一线教学与科研的数学教师乃至从事教学管理的人员不断探索，逐渐积累了丰富的经验并形成了卓有成效的理论成果[1]，这对于大学数学文化课程的深入开展起到了积极而重要的作用．回顾多年来大学数学文化课程的教学研究与实践，从这一课程的设置、开展到日渐成熟，对推动高校大学数学教育的改革发挥了重要作用[2]．它最大的优势体现在使大学数学课程的设置更加合理，层次更加清晰，内容更加全面，理念更加科学．但数学文化是一个大概念，具体的教学实践中还要充分认识到数学文化课程的逐步推进需要不断适应高校全局各专业建设的需求和发展．最早在2002年，由于素质教育大潮强调对数学素质培养的必要，天津师范大学在文科各专业普遍开设了高等数学且作为必修课讲授，但之后连续5年的教学实践中呈现出了诸多困惑．比如：课时较少必须精简教学内容；偏重微积分部分知识的教学而忽略了对数学的概貌和高等数学其它基本内容的认识；偏重具体数学问题的解题方法而忽略了其中所蕴含的重要数学思想和文化内涵；文科学生学习高等数学的能力与专业学习能力存在明显差异等．于是2006年将文科高等数学降格为校选修课，由学生根据自身的兴趣爱好进行选修，这样的教学改革对于实施数学素质教育必然产生一定的阻碍．借鉴一些高校的良好经验，2007年研究者提出了开设“数学文化”课程教学的改革方案[3]．自当年秋季开设本课程到2012年已经连续进行8轮实践教学，受益学生广泛，已经有逾千人接受过数学文化的教育与熏陶．选修本课程的学生分为两大类：已开设高等数学课程的理工（包括数学、物理、计算机、地理、化学与生物等专业）及经管类学生、未开设高等数学课程的（文学、历史学、新闻、外语、政法、艺术等专业）各类文科类学生．课程所安排的教学内容不仅能使各专业学生了解数学的概貌和学习高等数学的基本内容，又能欣赏到数学的魅力并提高学习数学的兴趣．实践表明：大学数学文化课程的设置对于培养学生人文精神和科学素养有着不可替代的作用，大学数学文化课程的学习也是任何其它专业课程的学习不能替代的，且在很大程度上为摆脱高等数学教学的困境提供了有效的平台，满足了学生对大学数学知识文化层面的需求，是体现对大学生进行素质教育和人文教育的一门很好的课程．但是，随着教学改革与实践的不断深入，如何保持大学数学文化课程的活力并在已搭建的教学平台上有所创新，引起了研究者极大的关注与反思．基于天津师范大学开设校级公选课“数学文化”课程的具体改革与实践，对大学阶段开设数学文化课程时的随机性思维的培养提出了几点经验和方法，为大学数学文化课程教学行为的高效性提出了具有可操作性的解决模式，并为不断激发“数学文化”课程活力提供有效策略．

2 大学数学文化课程随机化思维的培养

大学数学文化课程不同于专业的数学课程，不具备完整的学科性质的演绎系统，而对于数学文化学的构建也在探索发展过程中[4]．现有数学文化课程的教学在这一方面还十分缺乏实践性的研究[5]．不同高校在积极开展教学实践的同时并没有统一的标准作为参照，从事教学的不同教师对教学内容的把握也参差不齐．立足于大学数学文化课程的教学实践，要实现培养学生数学素质和人文素质这一目标的关键在于充分发挥课堂教学的高效性[6]．这就需要面对大学数学文化课程的特质，提出具体而有效的方法来形成高效的“教”与“学”的行为，从而在教学中体现出高等数学不同性质的学科内容的思想、方法和概貌，有利于学生获得对数学更为全面、更为深入的实践和认知．针对大学阶段的学生已进行多年的对于确定性数学内容学习的基础和对于简单的随机问题的理解，加强随机性思维的培养是数学文化课程内容的有益且重要的补充．要通过教师精心地对随机数学知识进行教学内容、教学方法的设计，把握数学与客观世界的广泛联系，培养学生从随机的角度观察和分析问题，在面对不确定的情境或随机性数据时能做出更合理的推断和决策，是大学数学文化课程随机化思维培养的主要目标．

（1）整合数学文化课程内容，注重随机性思维教学内容的设置．

大学数学文化教学内容的设置必须针对不同学科的学生，使其具备层次性和选择性．内容设置要做到：有利于不同专业学生在面对教学内容时，发现与自己专业课程学习的契合点，激发学生学习的兴趣；有利于在知识的难度和空间上有继续拓展的可能，使不同教学对象可结合自身情况选择教学内容进行深入研究；有利于在坚持“少而精”的原则上体现数学各分支学科内容的思想方法和概貌．基于这样的理念，在课程的教材建设上，编写了适合天津师大公选课使用的讲义和电子教案，主要结合学生的知识背景和知识结构介绍4部分内容，依次是数学与文化、数学美学、数学思想与方法、近代数学浅说．这些部分之间密切联系又各自侧重不同的数学内容．值得指出的是，在近代数学浅说内容的安排中，考虑到数学文化的教学不可能也不需要面面俱到，开设的内容做到可以灵活设置的同时还要针对所选分支的教学设计突出其文化思想性．诸如解析几何与微积分的产生、微积分大意、运筹学中的规划论初步、线性代数中的矩阵论初步、初等数论等都作为选学内容，而这此都属于确定性数学分支．作为体现随机化思维的重要分支——“概率与统计初步”成为其中重要的教学内容．随机性思维作为以不确定现象和不完全信息为研究对象的重要思维方式，它和确定性思维一样具有普遍性，要培养学生的随机性思维，概率内容的教学安排与教学设计也必须详略得当，深入浅出．

（2）改变纯演绎式教学，积极推进教学方法改革．

纵观大学数学文化课程的教学实践，要在普遍的教学环节中通过具体的数学概念、数学方法、数学思想来揭示更高等数学的文化底蕴，在教学方法上就要融入以下几个方面来保障发挥大学数学文化教育的最佳形态．

① 概念来源实际化．这是数学应用性的充分体现．数学知识从哪些实际问题产生，其应用首先蕴含在该类问题中，然后有所推广．正所谓“哪里来，哪里去”，这样可启发学生认识如何通过发现问题产生数学概念，对于它可能产生的应用也会容易接受．

② 抽象理论直观化．数学理论的抽象性是其抽象性的集中体现．但是，再抽象的数学理论一旦被直观化，就脱去了它的“神秘外衣”．大学数学文化课程要做到使学生掌握数学思想与方法的本质，尤其要做到对问题所利用的语言描述直观和几何图形直观．

③ 知识内容网络化．纷繁复杂背后所蕴含的大量规律性是数学研究的关键．认识到数学知识的内在联系，将不同问题研究过程中解决方法的同一性充分体现出来，使思想变得深刻，激发学生的创造性．

④ 教学设计主线化．教学设计中明确的教学主线能够充分体现数学的严谨性．在主线中把握其中的数学文化内涵，澄清模糊认识，体验“数学地思维”的过程，展现数学的发展在解决问题时的连续性与创新性．

随机数学的内容可以说成是问题驱动而产生的衍生科学[7]．但是，随机问题的高度灵活性，远不是几个类型或模型可以概括的．对于随机性思维的培养基于以上各方面开展教学，有利于从抽象的理论体系中剥离出对现实世界的事物之间相互联系的本质，从而不完全拘泥于传统的确定性思维的文化层面，广泛地挖掘随机问题研究中的数学文化内涵．

（3）恰当进行教学设计，体现随机化的数学思想与方法．

数学文化的教学中，注重突出数学思想与数学方法的内容安排已成为众多教育者的共识．具体的教学设计中，一方面，通过概率内容的历史发展，认识其出现的必然性与合理性，使学生自然而然地亲历经典的原创性的随机性思想．另一方面，可以在不同文化背景下，对解决问题的确定性数学方法和随机性方法进行比较研究，认识不同数学观念下的随机性的数学成果．但大学数学“水很深”，要达到高效的教学，把握恰当的“度”很重要．基于教学实践，对概率部分内容进行如下的教学设计，其特点是：以“专题”形式开展教学，做到内容“少而精”，“低起点，高观点”的原则，“专题”之间既保证呈现概率知识的主线又体现处理随机问题时不同于确定性数学问题的主要思想与方法．见表1．

表1 教学内容与相应的思想方法

（4）多途径挖掘数学文化信息，引导学生审视或然数学之美．

大学数学教材呈现出的往往是一个非常复杂的演绎知识体系，也因此很多学者说数学的美是冷酷的美．多年的中学数学知识的学习，使学生们过于注重数学理论的抽象表达和数学解题的各种技巧，而忽略了审视数学理论的简洁与美观、数学知识之间千丝万缕的联系以及它们富有实际意义的由来与发展．随机性思维的培养是一个循序渐进的过程，只有不断地积累丰富的随机性知识和认知，才能在某一时刻受到新知识或方法的启发．要感受“或然”数学之美，就要在具体的教学内容安排上不断挖掘，这可以从数学思想、数学观点、数学典故、数学问题、数学方法等不同线索和角度切入展开研究[8]．下面用实例阐明如何运用概率知识为载体，培养学生的随机性思维的数学素质．

例1 （从数学思想切入）经典的数学思想在随机现象的研究中同样无所不在．

从体现数学思想的常用思维方法方面，可运用类比的思想处理离散型随机变量与连续型随机变量、一维随机变量与多维随机变量，从而分辨异同．运用极限的思想认识随机变量分布规律之间的关系，如二项分布的极限分布在相应的条件下为泊松分布、正态分布，超几何分布在一定的条件下为二项分布等，实现勾通转化．从随机性问题（或方法）与确定性问题（或方法）的辩证关系处理教学内容，如运用集合论（研究确定性问题的方法）的思想，利用文氏图讲解随机事件的关系及运算，达到直观易懂；运用随机试验来解决确定性的数学问题的思想方法，审视数学之美；等等．下面仅以随机试验的教学进行例示．

先引入一个简单的问题．在面积为 1平方米的正方形木板上，随意画一个圆圈，求这个圆圈的面积．

圆圈是极不规则的．随机化试验的直观设计为：将手里的一大把芝麻撒向木板，假定芝麻都能掷在木板上，不会偏出木板，且芝麻会完全随机落在木板任何地方，即芝麻落在木板内的任何一点的概率相等．若已知芝麻的总数为n粒（充分多），其中落入不规则图形内部的个数设为k，则可用k/n近似估计不规则图形的面积，例如100粒芝麻中有 72粒落入图形内，就可以估计图形的面积为0.72平方米．为提高估计值的精度还可多次试验，取诸个估计值的算术平均作为最终的面积值．进一步，若圆圈为正方形的内接圆，利用上面过程结合几何概型可估算圆周率π值．此时，

再结合著名的投针试验，给出圆周率π值的随机试验法．1777年法国自然科学Buffon请来满堂宾客，让大家向一张画满间隔为 a的等距平行线的纸上随意投一些长为l(l=a/2)的缝衣针，结果，客人们莫明其妙地共投针2 212枚，其中与平行线相交的有704枚，Buffon由此得出π的近似值为2 212/704≈3.142．事实上，由几何概型可得针与平行线相交的概率为其中φ为针与平行

最后指出，随机试验法虽然远不如解析法便捷，且精确度大为逊色，但它揭示了确定性分析方法与随机性方法之间的联系，在此基础上发展的Monte Carlo随机模拟法已成为一种重要研究方法．对于已经有高等数学基础的学生还可进一步利用随机投点法研究定积分的计算问题．

例2 （从数学观点切入）随机化的思维材料与处理随机问题的数学观点相互依存．

随机性思维要体现从外部材料转化为内部材料的信息增殖过程，也是从感性认识上升到理性认识的过程，反之，理性结果的不断纯化也体现出随机化思维的灵魂[9]．下面以“天气预报”变化为例，引入随机化思维与随机化观点的密切联系．

对早期“天气预报”的播报形式曾有这样的评价：“可信赖的预报员总是将他们的麦克风移近窗户，从而决定是采用官方的预报还是根据自己对窗外的情形来判断并预报天气．”显然，无论怎样预报天气都会有不确定的因素．然而，逻辑上讲，没有给出预测精度的预报对决策来说毫无意义．当今的天气预报内容已十分丰富，当听到“明日有雨的可能性为 70%”，它提供给了研究者预测精度的一个量度．当然，这并未断言某一特定时刻会降雨．因此，比起“明日有雨”的笼统说法更富于逻辑性．这相当于“牺牲”了百分之百，反而更加有效地处理了演绎推理与随机问题之间的关系．

再提出更有现实意义的问题：“明天有雨的可能性为70%，是否决定带伞呢？”首先做合理的假设：无论哪天因带伞所引起的不便能够用钱来量度，设为r元，而由于未带伞被淋湿后的损失为s元，则要解决是否带伞的问题可通过比较两种决策下所期望损失来得到．决策“带伞”的期望损失为 r元；决策“不带伞”的期望损失为 0.7×s+0.3×0＝0.7s．因而，当 r≤0.7s，决定带伞，r＞0.7s时不带伞可使损失最小化．这个简单的例证，表明利用预报的量度来加权处理不同的决策下所产生的损失，可选择最佳决策．这充分体现了通过随机性材料为载体，提出问题、解决问题来形成对现实世界随机现象的一般性认识的思维过程．本例正是通过“天气预报”播报形式的变化这一简单素材体现出“偶然”与“随机”观点应用的妙处．

例3 （从数学典故切入）数学期望概念溯源——分赌本问题．

研究随机变量的数字特征体现了概率论研究的主要目的，即从偶然中探究必然性，从确定性的角度深刻地认识随机现象．引入“数学期望”的概念时可追溯到时历史上著名的“分赌本问题”．17世纪中叶，一位赌徒向法数学家Pascal提出一个苦恼已久的分赌本问题：甲乙两人赌技相当，各赌50法郎，每局无平局，事先约定，先赢3局者得全部赌本100法郎．当甲赢两局、乙赢一局时，因故中止赌博，问如何分这100法郎才算公平呢？线的夹角．而重复投针n次（足够大），针与线相交次数为m时，即得

先分析简单方法的不合理性．平均分配对于甲不合理，而乙也会存在侥幸心理认为继续赌下去可能会赢得全部的100法郎，因此按 1:2 来分也不合理．如何才能达到“合理”呢？

数学家 Pascal的方法是将甲的最终所得设为随机变量X，全面地结合当前赌局情况并考虑如果赌博继续下去的所有可能结果，于是，X的分布规律为 P(X=100)=0.75，P(X=0)=0.25．因此得到甲的期望所得为0×0.25+100×0.75=75（法郎）．这种分法的合理性在于不仅考虑了已产生的情况并且包括了对再赌下去的“期望”．这不仅可使学生认识当今具有广泛应用的概率论的“出身”，又可有效地认识概念的实质，从而豁然开朗：原来“数学期望”就是代表人们对未来的预期，即对随机变量研究“平均值”．进一步再揭示离散型随机变量的数学期望就是以概率为权所做的加权平均数，是变与不变的和谐之美．顺势再将连续随机变量的密度函数离散化，异中寻同，引出连续型随机变量的数学期望，可谓自然而然，一举两得．

例4 （从数学问题切入）匹配问题中事件概率的计算．

思维场景实际上是由问题构成的．匹配问题是研究古典概型中的一个常见问题，它使用了n个事件和的概率加法公式直接进行计算．问题的一般提法是：把标有号码 1至 n的n个球随机地放入标有号码1至n的n个盒子中，每盒放一球，问至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率是多少？

首先把问题描述直观化．对应于这个问题的数学模型可以设计多种不同的情境，如：某班n个战士各有1支归个人保管使用的枪，枪的外形全部相同，一次紧急行动中，每人随机取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率．再如，n个人每人携带一件礼品参加联欢会，假定所带礼品都不同，先把所有礼品编号，然后每人各抽一个号码，按号码领取礼品，求至少有一个人得到自己所带礼品的概率．从研究这些实际的数学问题过程中，体现数学问题中变与不变的辩证统一，使对随机现象的研究从孤立的概率计算转化为更高的理论层面．

再给出问题的解．设Ai表示第i号球放入了第i号盒，i=1, 2, …, n，则由概率的加法公式和古典概率可以求得

这是个抽象的结果．要把结论直观化，设计进一步的问题．如果球的个数和盒子的个数充分多，结果怎样？直觉上，许多学生会认为事件“至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致”应该是几乎必然发生的．理论结果是：当∞→n时，

这个概率并不大．这不仅完成了从有限到无限的转换，还表明了进行科学研究活动时，需要直觉来发现问题，产生灵感，但在处理随机性问题时，必须采用科学的方法进行严格的验证后，才能得出事物内在的客观规律的深刻道理．

例5 （从数学方法切入）运用比较的方法理解概率论的公理化体系．

公理化体系建造了数学的宏伟大厦．确定性分支的欧几里德几何学的公理化体系在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑．同样，公理化体系也是概率理论的基石．然而，公理化方法形式是十分抽象的．研究随机现象的统计规律性，通过频率来类比概率是最为直观的方法．

设Ω为必然事件，两个互不相容的事件A和B在n次独立的随机试验中分别发生了m1、m2次，表示其频率；A1, …, An, …为可列个互不相容事件．比较如表2．

表2 频率与概率比较

通过这一过程的类比，启发学生用“以频代概”的思想去解决问题的方法．再进一步给出理论依据——Bernoulli大数定律，体现随机性数学方法的严谨性．

综上，通过多途径挖掘数学文化信息，结合恰当的教学设计，加强随机性思维的培养，使大学生在更全、更高的层面提高数学精神、数学思想及人文方面的素养，才能达到学习数学让人终生受益的最终目标．

（5）及时迁移数学内隐知识，发挥随机性思维的创造性．

Polya曾说：“解题的脑力工作就在于回忆他的经验中能用得上的东西．”随机性思维的培养也同样与已存储的信息量密切相关．内隐知识[10]是一种如何去行动的实践性知识，一旦被掌握，就具备了可迁移性．学生的内隐知识越丰富，占有的信息量越多，信息提取和操作速度越快．内隐学习使学生客观地、无意识地接受知识内在的规律，从而形成积极向上的数学学习态度，达到渴望知识的状态．但随着数学学习过程中难度的不断增强，如学习内容的深入、学习方法的转变、信息量的增大等，学生积极的学习态度有可能在逐渐消退．数学的学习是累积的过程，是对学习过程中不断产生的新观点、新方法和新理念，不断地进行提高和统一，是内隐知识的储备过程．一方面，中小学阶段十几年数学知识的积淀为数学文化课程教学的开展奠定了良好基础．这就需要在数学文化课程的教学中引导学生从事力所能及的探索，体验数学研究的方法，加深对数学本质的理解．随机问题中的许多结论与证明是依靠合情推理才得以发现的，这更需要内隐知识的储备．另一方面，随机问题的研究所使用的工具还是确定性数学，通过常用的数学思维方法（如归纳、类比、对称等）研究随机问题使学生充分沟通新旧知识的联系，可以产生很好的链接效应．很大程度上，将随机问题的情境推广甚至改变就是创新思维的体现．例如，在研究几何概型时，将它的特点与古典概型相联系，就会发现问题的关键在于把所有可能的结果化无限为有限，问题就迎刃而解了．这就将已有的经验应用到了新的领域．

3 结 语

总之，大学数学文化课程在大学数学课程中是学生重新认识数学方法、把握数学的思想的重要途径；对培养学生数学素质和人文精神的作用是其它课程不能替代的．问题是数学的心脏，随机性问题总是与实际相联系，在大力倡导创新教育的今天，加强随机化思维的培养对于创造性思维的形成有至关重要的作用，它与确定性思维共同担负着完善人类思维模式的任务．只有教师在长期的教学过程中做到不断地精益求精，即要在课程的教学实践中不断地发现问题、提出问题，解决问题，完善知识体系，提高教学效率，践行教学改革，才能使数学文化课程保持旺盛的生命力，才能真正将大学数学文化课程的教学实践达到一个新的境界，更加全面地体现数学文化的教育价值．

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[3] 郭健，张艳艳，高红成．大学数学文化课程的建设与教学实践[J]．数学教育学报，2009，18（4）：81-83．

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[10] 张艳艳．将内隐学习引入数学教学[J]．天津教育，2006，（5）：51-52．