具有时滞和的离散系统的稳定性分析

焦建民

（宝鸡文理学院 数学系，陕西 宝鸡 721013）

时滞现象广泛存在于各类实际系统之中，是引起系统不稳定和性能变差的重要因素，因此，对于时滞系统的研究一直是控制领域的研究热点，并取得了许多研究成果。如文献[1-2]和[3-6]分别研究了连续时滞系统和离散时滞系统的稳定性问题，给出了系统一些稳定性条件。文献[1-6]所考虑的系统中，状态时滞是一种单一的形式，文献[7]指出：在一些实际问题中，如网络控制系统，信号从一点传输到另一点，可能要经过一些网络节点，这些节点在网络传输过程中会导致具有不同特性的时滞出现，这些时滞不能合并在一起进行研究。因此，文献[7]提出了具有时滞和的系统，并给出了系统的一个稳定性准则。文献[8-10]进一步改进了文献[7]的结果，给出了一些保守性更小的稳定性条件。然而，文献[7-10]所考虑的系统均为具有时滞和的连续系统，对具有时滞和的离散系统，相关研究成果还很少见。本文针对具有时滞和的离散系统，基本Lyapunov稳定性理论，应用线性矩阵不等式（LMI）处理方法，研究了系统的稳定性问题，给出了系统新的稳定性准则，并利用仿真实例验证了所给结果的有效性。

本文采用以下记号：对实对称矩阵X和Y，X≥Y（X＞Y）表示X-Y为半正定（正定）矩阵；AT表示矩阵A的转置；“*”表示对称矩阵的主对角线以上块矩阵的转置矩阵；I和O分别表示适当维数的单位矩阵和零矩阵。

1 问题描述

考虑如下具有时滞和的离散系统：

其中，x（k）∈R″为系统状态；φ（k）系统初始条件；A，B为已知适当维数的常数矩阵；d1（k），d2（k）表示系统时变时滞，满足：

其中，d1，d2为已知正整数。为叙述方便，后文记：

引理1[3]给定矩阵R＞0，正整数d2≥d1＞0及向量函数x：[d1，d2]→Rn，下面的不等式成立：

2 主要结果

定理1给定正整数d2≥d1＞0，对满足（2）的时变时滞d1（k），d2（k），系统（1）是稳定的充分条件是，存在适当维数的矩 阵P＞0，Q1＞0，Q2＞0，Q3＞0，R＞0及M1，M2，M3，使 得 下 面 的LMIs（3）和（4）成立：

3 数值实例

考虑离散时滞系统（1），设其系数矩阵为：

当给定时滞d1（k）上界d1＝10，应用定理1可得，使得系统（1）满足稳定的时滞d2（k）上界d2的最大值为7；类似的，当给定时滞d2（k）上界d2＝5，应用定理1可得，使得系统（1）满足稳定的时滞d1（k）上界d1的最大值为12，可以看出，本文的定理1是有效的。

4 结束语

文中针对一类具有时滞和的离散系统，通过构造合理的Lyapunov泛函，并保留了Lyapunov泛函差分中的有用信息，得到了基于LMI的时滞相关稳定性充分条件，并应用数值算例验证了所得到的有效性、可行性，为具有时滞和的离散系统控制问题的进一步研究提供了参考。

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