一种LED光源矩形斑照明的优化算法及其仿真＊

傅澄宇，杨 波，李正达

（上海理工大学 光电信息与计算机工程学院，上海 200093）

引 言

LED具有体积小、高亮度、低热量、长寿命等优点，就目前的LED技术可以将LED的发光光谱扩展到很宽的范围，因此它被广泛地认为是下一代的照明光源。针对LED光源的特点，为了在照明系统中能够优化照明系统的结构，减小系统的体积，以及得到更好的照明效果并提高光能利用率，自由曲面器件正得到越来越多的应用。以传统自由曲面建模方法拟合得到的自由曲面误差较大，并容易产生曲面间不能无缝拼接的问题，针对这种情况，本文提出一种自由曲面反射器的设计方法，采用变步长的龙格－库塔算法，通过降低自由曲面中心位置采样数，以减少拟合误差，通过Light tools软件仿真证明，该算法在提高光能利用率的同时，保证了被照明面照度均匀性。

1 连续自由曲面下的矩形照明斑分析

在现代照明需求中，很多场合需要得到均匀的矩形照明光斑，例如LED路灯、紫外曝光机［1］等。矩形照明斑与常见的圆形照明斑不同，其并非旋转对称。首先需要建立照明光源与被照明面的光能量传递关系，如图1所示，然后根据能量守恒以及反射定律建立自由曲面上各点法向量的微分方程，根据初始点坐标即可解出曲面上各点坐标，进而用软件将数据点拟合成曲面［2］。

不同于圆形照明斑，矩形照明斑在建立光源出射面与被照面时所呈现的形状是不同的，是一个圆弧面与多边形面之间的对应关系。由于微分的关系，可以将此多边形近似看作是一个小的矩形部分。在原点处建立一个Lambertian点光源来仿真LED光源，在Z＝－5mm处建立一个能量接收器，并设置此接收器的Mesh为41×41分区，此时的峰值误差为1.78%。通过追迹100万条光线，得到仿真结果如图2所示。其中亮色部分为相对光强较大的部分，而深色部分则为光强较低的部分。设置入射能量为1lm，在无吸收情况下，能量接收器的平均照度为3 906lx。此时的能量利用率较高，在无吸收的情况下大于95%，同时被照明面上的照明均匀性很差，边缘锐度也不好，使得整体照明面无法实现矩形，形变较大。

图1 光源与被矩形照明面的光能量传递关系Fig.1 Relationship between light source and rectangle illuminated surface

图2 连续自由曲面反光碗及矩形照明斑照明仿真结果Fig.2 Free－form reflector and the simulation result of rectangle lighting

被照面不是方形且均匀性低的原因，除了算法本身的误差和仿真软件的仿真误差外，最主要是由于矩形照明斑具有不可导位置，而一体的自由曲面具有连续性，因此无法实现方正的矩形。为了克服这个问题，本文将利用分割自由曲面的方法来实现矩形照明斑。

2 自由曲面的子面分割

分割自由曲面是为了克服被照明面在某些位置的导数不连续性［3－5］，其方法是将一个整体自由曲面沿着不同纬线进行分割，从而得到局部区域可导，由此便可以避免被照明面的不可求导点。为实现此算法，必须在进行点云计算时，将经线的点位置进行单独计算，而不是将纬线与经线的点位置互相联系。当然，如果在纬线方向上不可导，亦可以从纬线方向断开来解决这个问题。为了能够提高曲面的精度，可以使用四阶龙格－库塔法或变长度的龙格－库塔法。

解析出的点云文件，可以通过CAD软件，对点云进行NUBERS样条曲线拟合，其拟合结果如图3所示。

图3 子面拼接的结构Fig.3 Sub－surface splice structure

将此曲面保存为STP或者IGS格式，再导入Light Tools软件中，并修改反射面的反射率为99.8%，通过设置边缘属性为机械吸收100%来模拟反射面边缘涂黑漆状况，以消除边缘反射光线导致的杂散光问题。将修改参数后的结构导入Light Tools软件，得到的结构如图4所示。

与之前相同，在原点处建立朗伯光源，用以仿真LED，在相同位置建立照度接收器，设置接收器Mesh为41×41分区，追迹100万条光线，通过仿真，得到峰值误差为2.59%，光能利用率仅为58.9%。分析可知，能量利用率低的原因是各个子面拼接之间有缝隙，从而有部分能量从这些缝隙中流失。中心均匀度约为12%，还远远没有达到设计要求，但是由图5可以看到，照明斑的边缘与直角已经更加清晰，且没有发生如图2的变形现象。

图4 子面拼接后的自由曲面结构Fig.4 Free－form surface structure after sub－surface splice

图5 子面拼接后的照明仿真结果Fig.5 Simulation result after sub－surface splice

3 算法改进

由仿真结果可知，照明斑虽然轮廓分明，但均匀性和能量利用率还不能令人满意，这就是子面拼接算法大多运用在折射系统中的原因。

如图6所示，由于整个系统为等距分割，曲面中心与边缘的分割步长相同，如此会导致中心分割度过高，透过率很大，能量利用率很低，因此照明斑的中心能量很低，而整个系统的能量利用率只有不到60%，其原因也是由于子面拼接后各个子面之间的空隙很大。同时，由于各个子面的形状类似一个U型，这样分割时，中心区域的子面形状便如一条直线，对光线的反射能量就非常低；但如果采样率过低，光斑形状的控制能力又会降低。为了平衡这个矛盾，本文提出了递进采样率算法，如变步长的龙格－库塔算法，可以有效平衡这个矛盾，增大系统的能量利用率。

图6 U型子面Fig.6 U－shape sub－surface

所谓递进采样率算法，是指在系统的中心时采样率低，采样率随着向外辐射距离的增大而增大。这样可以有效降低中心的采样率，从而改善中心的能量损失。变步长的龙格－库塔算法是一种以龙格－库塔算法为基础的变化采样步长算法，单从每一步看，步长越小，截断误差就越小，但随着步长的缩小，在一定求解范围内所要完成的步数就增加了。步数的增加不但引起计算量的增大，而且可能导致舍入误差的严重积累。

因此在选择步长上，不能一味地增加阶数以求获得更高的精度，如四阶龙格－库塔算法，其局部截断误差为O（h5）。如下式中，h为采样步长，y是x的函数，式（1）表示为实际x点的y值与拟合的y值之间的误差，步长折半后的表达式如式（2）：

将两式相除，则步长折半后的误差可以减少到原来的1／32。

设二者相差的精度为：

因此只要控制给定的精度，便可以自动地变换步长达到想要的解。

在本文中，自由曲面中心采用4倍于原本步长的算法，这样计算自由曲面是因为光源中心区域产生的光线与自由曲面近似垂直接触。当选取4倍步长时，其截断误差为O（h3），对曲面中心纬线的低采样可以减少两条纬线上点的位置不同，从而增大整体曲面在中心处的贴合度及平滑中心子面的平整度，使子面中心的反射能力大大增强。中心位置采用大步长算法不但不会影响算法的精度，反而可以使得中心能量利用率得到提高。

将采用改进算法的自由曲面反射面结构导入Light Tools软件中，如图7所示，从图中可以看出到中心子面的密集度增大了，这样增大了中心的能量利用率，而整体算法由于变步长的缘故，该算法的计算时间也有所减少。

按照前述方式，在Light tools中建立仿真模型，接收器上的照明斑结果如图8所示。从图中可以看出，中心的能量利用率大大提高，整体的照明均匀性也有所提高。追迹100万条光线后，峰值误差为0.85%，光能利用率为75.4%。能量利用率相对于未改进算法提高了将近15%；中心均匀度为4.7%，小于5%，达到了实用要求。

图7 采用改进算法后的自由曲面反射面结构Fig.7 Surface structure after progressive algorithm

图8 变步长算法的照明结果Fig.8 Simulation result after variable step size

4 结 论

在矩形光斑自由曲面反射器的优化中，提出使用变步长的龙格－库塔算法，克服了子面拼接算法导致的照明效率及照明均匀性低下的问题。通过仿真分析可以看出，子面拼接算法虽然解决了照明斑的形状控制问题，但中心能量的利用率过低，主要原因是曲面中心的采样密度过高。因此，通过调整可变采样密度，采用变步长的龙格－库塔算法，在较少改变整体系统误差情况下，降低了自由曲面中心位置采样数，从而解决了由于中心采样过密集导致的能量损失与均匀性差的问题。通过仿真实验证明，使用变步长龙格－库塔算法子面拼接，比仅仅使用子面拼接算法时的光能利用率提高了近15%，中心均匀度也达到了实用的要求。

［1］赵新才，吴云峰.PCB曝光机照明系统的均匀性仿真与研究［J］.光学仪器，2010，32（4）：52－57.

［2］丁 毅，顾培夫.实现均匀照明的自由曲面反射器［J］.光学学报，2007，27（3）：80－81.

［3］王东霞，温秀兰，赵艺兵.基于CAD模型引导测量的自由曲面定位及轮廓度误差评定［J］.光学 精密工程，2012，20（12）：2720－2727.

［4］李庆扬，王能超，易大义.数值分析［M］.北京：清华大学出版社，2008：286－290.

［5］陈维恒.微分几何初步［M］.北京：北京大学出版社，1990：22－25.