考虑渐变破坏的导弹吊挂结构疲劳寿命广义可靠性分析①

张 峰，何新党，南 华，姚会举

(西北工业大学力学与土木建筑学院，飞行器可靠性工程研究所，西安 710129)

0 引言

吊挂是导弹与飞机的连接部件，主要承受导弹的重力作用，与导弹固连在一起。发射时，导弹与吊挂作为整体离开滑轨，因此吊挂结构的强度和寿命对导弹的顺利发射和飞机的安全有着重要的影响，开展吊挂结构寿命可靠性分析，能有力地保证导弹完成任务的成功率［1］。影响吊挂结构寿命可靠性的因素主要有2个方面:(1)导弹吊挂结构制造、装配的误差导致结构尺寸具有随机不确定性，这些因素的不确定性最终传递给结构的疲劳寿命，导致疲劳寿命也是随机变量［2］;(2)结构疲劳寿命失效的不确定性。在传统的概率可靠性分析中，采用“一刀切”的方式来划定结构是否失效［3］;而在实际情况中，吊挂结构的寿命失效是个渐变过程，“一刀切”的分析方式忽略了寿命失效的渐变特性［4－6］。因此，需考虑失效模式的模糊性对结构疲劳寿命的影响，才能较合理地评估吊挂结构的安全程度。失效模式的模糊性采用隶属函数来描述，在较少信息下，可依据专家经验给出失效模式隶属函数的描述形式。

综合上述因素，本文在导弹结构可靠性分析时，同时考虑结构尺寸的随机性和疲劳寿命失效模式的模糊性，建立疲劳寿命分析的广义可靠性模型，来更合理地评估导弹吊挂结构的安全程度［5］。

在吊挂结构广义可靠性分析模型中，由于吊挂结构复杂，难以直接建立其疲劳寿命与尺寸随机变量的显式表达关系式，需要通过有限元分析才能得到结构疲劳寿命的响应。对于这种通过隐式限状态方程进行描述的结构，传统的一次可靠性方法和二次可靠性方法估算误差较大，直接使用Monte Carlo等数字模拟方法需要多次调用有限元而导致计算量过大，限制了数字模拟方法的直接使用。在此情况下，响应面法被推荐使用，其采用响应面函数来构造隐式极限状态方程的近似显式表达式［7－9］。研究表明，如果响应面函数能很好地近似实际的隐式极限状态方程，它可得到精度相当高的失效概率估计值［9］。综上所述，本文在导弹吊挂结构静力学和疲劳寿命分析的基础上，采用二次响应面法，建立结构疲劳寿命的函数关系式，并结合重要抽样法，来求解吊挂结构的广义可靠性。

1 吊挂结构疲劳寿命分析

某型导弹吊挂结构的二维装配模型如图1所示，几何模型见图 2［2］。

图1 吊挂与滑轨结构装配图Fig.1 Assembly drawing of missile suspension and rail

图2 吊挂结构几何模型图Fig.2 Diagram of missile suspension geometry model

图2中，参数 l1、l2、l3、l4分别为导弹吊挂的宽度、吊挂结构与导轨接触处的厚度、导弹吊挂的倒角尺寸和加载力臂长度。吊挂结构为铝合金材料，参数如表1所示。

表1 导弹吊挂结构材料参数Table 1 Material property of suspension structure

在吊挂结构的三维几何模型的基础上，采用Hex六面体单元对结构进行网格划分，可得到如图3所示的有限元模型。在有限元模型中，通过多点约束MPC建立吊挂结构与导弹之间的固连关系，将导弹施加给吊挂结构的集中载荷均匀地分配到吊挂与导弹的接触表面。

图3 吊挂结构的有限元分析模型Fig.3 FEM of missile suspension structure

通过有限元分析发现，吊挂结构的最大应力出现在耳片倒角处，最大应力σmax=302 MPa，吊挂结构材料的屈服强度为σs=460 MPa，满足安全系数为1.5的静强度设计要求。

采用名义应力法，对导弹吊挂结构进行寿命分析，考虑应力集中、尺寸效应和吊挂表面质量及加载方式等因素对结构寿命的影响，并通过材料的S-N曲线建立吊挂结构的S-N曲线。吊挂结构S-N曲线的应力Sa可表示为

式中 σa为材料的S-N曲线的应力;Kf为疲劳缺口系数;ε为尺寸系数;β为表面质量系数;CL为加载方式。

由于外载荷的平均应力，还须采用Goodman公式对平均应力进行修正，修正公式如式(2)所示:

采用名义应力方法并结合有限元分析，得到吊挂结构的寿命云图，如图4所示。

从图4可看出，耳片倒角处是吊挂疲劳寿命的薄弱部位，最低的使用寿命为367 000次，结构满足寿命要求。

2 基于二次响应面的吊挂结构疲劳寿命分析

由于制造装配等原因，吊挂宽度l1、吊挂结构与导轨接触处厚度l2、导弹吊挂倒角尺寸l3和加载力臂长度l4等参数具有随机不确定性，是服从正态分布的随机变量。结构尺寸的不确定性最终传递给吊挂结构的寿命，导致吊挂结构的寿命 S(l1，l2，l3，l4)也是随机变量。假设吊挂结构的设计寿命是S*，根据应力-强度干涉模型，建立吊挂结构基于疲劳寿命失效的功能函数，如式(3)所示:

图4 吊挂结构的疲劳寿命云图Fig.4 Diagram of life distribution on missile suspension structure

结构极限状态方程g=0，将变量空间划分为两个区域。当 g=S(l1，l2，l3，l4)－S*＞0，结构安全;当 g=S(l1，l2，l3，l4)－S*＜0，结构发生疲劳寿命的失效。

在式(3)中，响应量 g 是(l1，l2，l3，l4)的隐函数，是有限元模型在输入参数为(l1，l2，l3，l4)进行疲劳寿命分析的结果。在吊挂结构可靠性分析中，采用响应面法模拟响应量g与吊挂结构参数的函数关系式，即选取不含交叉项的二次响应面(l)来拟合功能函数g(l)的形式如式(4)所示。

式中 a0、(b1，b2，b3，b4)、(c1，c2，c3，c4)为 9 个待定系数。

求解二次响应面的系数是构造可靠性模型功能函数的关键，其计算流程如下:

(1)采用Bucher设计方法选取实验点。在第k次迭代中，以为取样中心，选取9个实验点。获得的试验点为4)。第1次迭代的实验中心l*(1)选为均值点处，即l*(1)=μl={μ1，μ2，…，μ4}。其中，μi(i=1，2，3，4)为基本随机变量li的均值，σi为基本随机变量li的标准差，fi为插值系数，取为1～3之间的常数，上标(k)表示响应面法的第k次迭代。

(2)通过最小二乘法求解得到第k次迭代时的二次响应面的系数，记为，得到极限状态方程，再通过改进一次二阶矩法，求解近似极限状态方程g—(k)(l)的可靠性指标β(k)和设计点

(3)利用样本点(μl，g(μl))及进行线性插值求解g(l*(k+1))=0的解l*(k+1))，l*(k+1))即为下一次迭代的抽样中心，l*(k+1))的求解如下:

(4)反复执行(1)～(3)步，直到2次求得的可靠度指标满足精度要求结束迭代过程，最终获得满足精度要求的近似功能函数

3 吊挂结构疲劳寿命广义可靠性分析

3.1 疲劳寿命广义可靠性分析模型

影响吊挂结构寿命可靠性的因素包括2个方面，第2章仅考虑了尺寸的随机不确定性，还需要考虑结构寿命失效模式的影响，通过引入隶属函数u来刻画失效模式的模糊性。对于通过二次响应面拟合得到的近似功能函数，设其隶属函数为，则吊挂结构疲劳寿命广义可靠性的失效概率Pf可写为

式中 fl(l)为尺寸参数的联合概率密度函数。

其中，b1、b2为隶属函数参数，可通过专家经验数据统计得出。

(1)半线性型隶属函数

(2)半正态型隶属函数

(3)半柯西型隶属函数

图5 模糊失效域的隶属函数示意图Fig.5 Diagram of fuzzy failure membership function

3.2 基于Monte Carlo法的广义可靠性分析

采用蒙特卡洛法来计算式(6)所示的广义失效概率是通过联合概率密度函数fl(l)来抽取样本，并利用样本来估算广义失效概率的估计值，估算公式如式(10)所示:

式中 lj为以联合概率密度函数fl(l)抽取的第j个样本;N为抽取样本数。

3.3 基于重要抽样法的广义可靠性分析

针对直接蒙特卡洛法计算工作量巨大的这一问题，研究人员提出了许多缩减方差、加快收敛速度的改进方法［10－13］。在这些改进方法中，以重要抽样法研究最为广泛［10］。在式(6)中引入重要抽样函数hl(l)，则广义失效概率Pf的计算公式改写为

其中，重要抽样函数hl(l)满足

设lj(j=1，2，…，N)为来源于重要抽样函数hl(l)的样本，则失效概率Pf的无偏估计值、估计值的样本方差和变异系数可分别表示为式(14)～式(16)。

3.4 吊挂结构疲劳寿命广义可靠性分析与讨论

对导弹吊挂结构进行疲劳寿命广义可靠性分析，选取导弹疲劳寿命失效的如式(9)所示的半正态型隶属函数。参数m1=0，m2=45，分别采用Monte Carlo法和重要抽样法，求解吊挂结构疲劳寿命广义可靠性，失效概率的估算结果如表2所示。

表2 2种计算方法结果比较Table 2 The compare of two method analysis results

从表2可看出，以Monte Carlo法取样106个样本的计算结果为精确值，重要抽样法抽取104量级的样本数就可估算得到失效概率，估计值的相对误差小于1%，满足精度要求，计算量不到 Monte Carlo法的1/30。这说明重要抽样法适用于吊挂结构疲劳寿命的广义可靠性分析。

再采用重要抽样法分析吊挂结构疲劳寿命失效“一刀切”和“渐变”2种方式下的可靠性。考虑失效形式的模糊性，仍选择半正态型的隶属函数来刻画失效模式的不确定性，参数m1=0，参数m2取8组不同值，结构失效概率估算结果见表3。

表3 吊挂结构疲劳可靠性分析结果Table 3 The results of reliability analysis for missile suspension structure

从表3可看出，随着m2的增加广义失效概率逐渐增大。m2=80时的评估结果与不考虑结构失效的模糊性的分析结果相比，失效概率的相对变化达到31.772 8%。因此，采用模糊理论考虑寿命失效的渐变过程，才能更合理地评估吊挂结构的可靠性。

4 结论

通过有限元分析发现，导弹吊挂结构最危险部位是倒角部位，在静力学和疲劳寿命分析的基础上，建立考虑寿命失效渐变过程的广义可靠性模型，通过二次响应面法模拟其功能函数，采用半正态隶属函数来描述结构状态失效的渐变过程，再结合重要抽样法来求解吊挂结构的广义可靠性。算例分析显示，基于响应面法的重要抽样法能很好地解决结构疲劳寿命可靠性问题。同时，本文采用模糊隶属函数考虑结构失效的渐变过程，可更合理地评估结构的安全程度。

［1］余旭东.导弹现代结构设计［M].北京:国防工业出版社，2007.

［2］何新党.隐式极限状态方程下的导弹吊挂寿命可靠性分析［D］.西安:西北工业大学，2012.

［3］何新党，刘永寿，魏涛，等.导弹吊挂寿命可靠性分析的自动化实现［J］.强度与环境，2012，39(6):45-51.

［4］Jiang Q M，Chen C H.A numerical algorithm of fuzzy reliability［J］.Reliability Engineering and System Safety，2003，80(3):299-307.

［5］吕震宙，岳珠峰.模糊随机可靠性分析的统一模型［J］.力学学报，2004，36(5):533-539.

［6］Zhang F，Lv Z Z.Fuzzy reliability analysis of the multi-freedom vibration system［C］//ICIC 2010-3rd International Conference on Information and Computing，Wuxi，2010，(3):54-57.

［7］Kaymaz I，McMahon C A.A response surface method based on weighted regression for structural reliability analysis［J］.Probabilistic Engineering Mechanics，2005，20(1):11-17.

［8］Gupta S，Manohar C S.An improved response surface method for the determination of failure probability and importance measures［J］.Structural Safety，2004，26(2):123-139.

［9］Lv Z Z，Zhao J，Yue Z F.An advanced response surface method for mechanical reliability analysis［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2007，28(1):19-26.

［10］Au S K，Beck J L.Important sampling in high dimensions［J］.Structural Safety，2003，25(2):139-163.

［11］张峰，吕震宙.可靠性灵敏度分析的自适应重要抽样法［J］.工程力学，2008，25(4):80-84.

［12］Pradlwarter H J，Schueller G I，Koutsourelakis P S，et al.Application of line sampling simulation method to reliability benchmark problems［J］.Structural Safety，2007，29(3):208-221.

［13］Dai H Z，Wang W.Application of low-discrepancy sampling method in structural reliability analysis［J］.Structural Safety，2009，31:55-64.