近圆低轨道控制量简易计算方法

李英良，林西强，谭 炜，李革非

（1中国载人航天工程办公室，北京100720；2西安卫星测控中心，西安710043；3北京航天飞行控制中心，北京100094）

1 引言

轨道控制策略设计基本方法一般包括打靶法和逐步逼近法。每次轨控都瞄准最终目标的控制方法称为打靶法，当总控制量较小，通过单次变轨就可实现时，常采用此方法。将目标控制量分配到多次控制中，逐步逼近目标，最后达到最终目标的控制方法称为逐步逼近法，该方法常适用于当总控制量较大，理论上通过单次变轨不能完成时（比如点火长度限制、变轨弧段过长限制等）。

从易于工程实施的角度考虑，航天器的变轨控制通常分为轨道平面内、平面外变轨控制两大类。从大量工程应用的角度来看，低轨道应用卫星绝大多数运行在近圆轨道上，为此根据航天器轨道动力学方程[1-2]，给出一般的近圆轨道卫星变轨时由轨道参数变化量到速度增量的简化计算公式。

文中a，e，i，Ω，ω，M，f，u，v分别表示轨道半长轴、偏心率、倾角、升交点赤经、近地点幅角、平近点角、真近点角、相位、速度，轨道根数均取为平根数。符号“Δ”表示参数变化量。

2 轨道平面内变轨控制

一般考虑仅有沿轨道切向的推力，相应的轨道参数变化主要有 Δa，Δe，Δω，但一般不直接建立 Δe，Δω与Δv的关系，而采用偏心率矢量的变化量Δex和Δey计算Δv。下面讨论相应的简化计算式。

2.1 单脉冲控制由Δa直接计算Δv

当仅考虑轨道高度的调整时，可采用单脉冲轨道控制。根据轨道动力学基本方程[2]有：

由上式可进一步给出Δa与Δv的一般关系式：

对于一般的近圆轨道，有e≈0，θ≈0。因此，上式可进一步简化为：

2.2 双脉冲控制由 Δa、Δe、Δω 计算 Δv

当不仅需要调整轨道高度，还需进行轨道面内形状的调整（即偏心率矢量控制）时，应采用双脉冲轨道控制方法，即进行平面内a，e，ω的联合调整控制。一般通过两个横向脉冲[3]速度增量来实现，具体可分为以下三种不同情况：

假定第一脉冲变轨位置为u1（可选任何位置），则对应的速度增量Δv1是完全确定的，即

式中：

Δex=e2cosω2-e1cosω1

Δey=e2cosω2-e1sinω1

其中，下标“2”表示控后目标值（关机时刻），下标“1”表示控前参数值（开机时刻），无下标符号取开机时刻参数值。

而第二脉冲速度增量Δv2为：

第二脉冲变轨位置u2满足

从上述公式可以看出，两次速度增量同号，即当Δa>0时同为加速，当Δa<0时同为减速。

要满足两次速度增量绝对值之和最小，两次速度增量大小和变轨位置是完全可以确定的。其中，第一脉冲速度增量Δv1为：

第一脉冲速变轨的相位u1为：

第二脉冲速度增量Δv2为：

第二脉冲变轨的相位u2为：

由上述公式可知：两次速度增量异号，即当Δa>0时第一次轨控为加速，第二次为减速；当Δa<0时，第一次轨控为减速，第二次为加速。两次速度增量施加位置（变轨位置）用相位表示正好相差180°。

可只进行一次变轨，即在调整a（参见2.1节）的同时兼顾e，ω的调整。此时调整施加速度增量的位置亦是已知的，即

这种理想情况在实际应用中极少出现。

（4）小结

若仅考虑两次脉冲速度增量大小，则调整半长轴、偏心率、近地点幅角三个参数总的速度增量对于以上第一、二种情况可表示为：

简化后的第一种情况与（3）式相同，这也说明调整半长轴的同时，偏心率和近地点幅角也会变化，若控制目标需兼顾后两个参数，则可根据本节的控制策略进行控制计算。

2.3 由Δu（相位变化量）计算Δv

在工程计算中，一般不用随时间快速变化的相位参数作为变轨目标参数，而是通过调整轨道半长轴来实现相位的调整，下面是相位变化量Δu与轨道半长轴调整量Δa之间的简易关系式。

其中，ΔT为相位变化所经历的时间长度（单位，秒）。将上式代入（3）式可求出速度增量Δv。

3 轨道平面外变轨控制

一般考虑仅有法向推力，同样根据轨道动力学基本方程[2]，相应的轨道参数变化主要有倾角变化量和升交点赤经变化量ΔΩ，对应的速度增量计算式如下：

由e≈0，r≈a0，上式可简化为:

这里，下标“0”表示控前参数值（开机时刻），r为地心距。u0=0°或180°时轨道倾角控制效率最高，u0=90°或270°时升交点赤经控制效率最高。

可直接采用打靶法对轨道倾角进行控制，但对于升交点赤经一般不直接控制（控制量较大时，直接控制升交点赤经不经济），而是采取随时间漂移或通过半长轴、倾角的控制实现升交点赤经调整的间接控制方法。以、Δ分别表示升交点赤经漂移率及其变化量，相关算式如下：

其中，J2=0.0010826261，表示地球引力场二阶带谐系数；Re=6378137.0m，表示地球赤道平均半径；Δt为漂移时间长度（单位：s）。

由Δa到Δ的算式为：

由Δi到Δ的算式为：

采用调整半长轴、倾角来间接控制升交点赤经的方法时，当升交点赤经控制到目标值后，均需将半长轴、倾角调整到控前的数值或预定的目标值上，否则升交点赤经将随时间的积累而漂过量。

当然，在控制量Δi、ΔΩ较小时，可使用联合修正方法直接进行轨道面控制[4]，相应的速度增量简化计算式为：

其中，v0、i0分别为控制时刻的速度和轨道倾角，此时调整施加速度增量的位置为：

或采用位置：

4 总的速度增量及推进剂消耗量计算

如上所述，近圆低轨航天器的轨道控制分为轨道面内和轨道面外控制，以 Δv（a，e，ω）、Δv（i，Ω）分别表示调整轨道面内参数（半长轴、偏心率、近地点幅角）、轨道面外参数（倾角、升交点赤经）所需速度增量，则对应于第2.2节中前两种情况，总的速度增量大小可表示为：

推进剂消耗量可由下式计算[5]：

其中，Δv为速度增量（取正值），单位，m/s；gISP为发动机比冲，单位，N·s/kg；m0为卫星的初始质量，单位，kg；mp为推进剂消耗量，单位，kg；mf为卫星的最终质量，mf=m0-mp，单位，kg。

分别联合第二、三节相关简化公式与（18）式，可由轨道参数变化量计算推进剂消耗量。

5 算例分析

以我国天宫一号/神舟八号交会对接任务、天宫一号/神舟九号载人交会对接任务中飞船远距离导引控制为例，使用本文简易计算公式，并根据相关控制策略，对飞船入轨正常、入轨过低（近地点高度偏低100km）、入轨过高（远地点高度偏高180km）、综合偏差（平面内、平面外参数均存在一定偏差）四种情况下的飞船远距离导引段进行了控制计算，计算的速度增量及推进剂消耗量与实际任务计算结果的偏差情况见表1。

表1 简易计算公式与实际任务计算结果偏差情况

由表1可知，采用简化公式的计算结果与实际任务计算结果的相对偏差均小于±3%，上述偏差主要由计算公式的简化过程引起，但这种偏差对于工程估算可以接受。

6 结论

对于近圆低轨道航天器的控制问题，可采用本文给出的简化公式，根据控制策略，快速估算航天器变轨控制过程中的速度增量及推进剂的消耗量。以我国两次交会对接任务飞船远距离导引控制为算例，验证了简易方法的有效性、实用性和精度状况，可为近圆低轨道航天器的工程估算提供参考。◇

［1］刘林.《航天器轨道理论》.国防工业出版社，2000.

［2］A E Roy，Orbital motion，UK:IOP Publishing Ltd.2005.

［3］谭炜，杨开忠等.搭载小卫星轨道控制策略研究与实际应用.飞行器测控学报.2006.

［4］章仁为.《卫星轨道姿态动力学与控制》.北京航空航天大学出版社，1998.

［5］徐福祥.《卫星工程概论》下册.宇航出版社，2003.