MIMO系统中的迭代时变信道估计

陈东华，赵 睿，彭盛亮

(华侨大学信息科学与工程学院，福建厦门361021)

多输入多输出 (multiple input multiple output，MIMO)技术可与空时编码技术结合获得编码分集增益，也可采用单纯的复用传输用以提高传输速率，两者结合则可同时提高信道容量和传输可靠性，除此之外，MIMO还可利用波束形成技术抑制系统中的强定向干扰.为了解调信息或构造波束形成算法，系统需要获得信道状态信息的精确估计［1］.由于信道参数的恒定特性，静态信道环境中的MIMO系统信道估计较为简单，然而在高速移动应用场景中，移动台高速移动引起的多普勒频移会造成信道时变，从而增加了MIMO信道估计的复杂度.

基扩展模型(basis expansion model，BEM)极大地简化了时变信道的表示［2］，在各种时变信道估计中得到广泛的应用.复指数BEM和Karhunen-Loeve BEM(KL-BEM)是两种常用的 BEM［2-3］，复指数BEM数值计算简单，但其建模误差较大，从而限制了在实际中的应用;KL-BEM不仅建模精度很高，而且具有正交的基函数［2］.利用时变信道的基扩展模型表示，文献［4-5］提出了在平坦衰落信道和单天线系统中的时变信道估计方案，通过在传输符号中插入时分复用的训练符号，利用最小二乘算法来得到BEM参数的估计.为了提高BEM系数的估计精度，文献［5］进一步研究了训练符号的最优设计问题;为提高传输效率，通常导频开销不能过大，因此，文献［5］时变信道估计的性能通常得不到保证，从而直接影响系统的性能.

针对MIMO系统中的快时变信道估计，文中拟将文献［5］的时变信道估计从单天线系统推广至MIMO系统，并基于时变信道的KL-BEM，将期望最大化(expectation maximization，EM)算法应用于MIMO系统中进行迭代信道估计，以较小的复杂度代价实现信道估计性能的提高.

1 信号模型

设MIMO系统收发天线数分别为NR和NT，考虑N个符号组成的观察窗，定义该观察窗内发射天线t(t=1，2，…，NT)的发送符号矢量，接收天线r(r=1，2，…，NR)的接收符号矢量，以及收发天线对(r，t)之间的信道脉冲响应(CIR)矢量分别为

则该观察窗内接收天线r的接收信号矢量可写为

式中:wr为加性高斯噪声矢量;D(x)为以矢量x中的元素作为对角线元素的对角阵.为了进行信道估计，文中用KL-BEM来近似该观察窗内的时变CIR，n时刻收发天线对(r，t)之间的时变CIR可表示［2］为

式中:Q为基函数的个数;fr，t，q(n)为第q个基函数;cr，t(q)为其系数.假设不同收发天线之间CIR的衰落独立同分布，则不同收发天线之间的基函数均相同，故fr，t，q(n)的下标r，t可忽略.由(3)，(5)两式，(4)式可进一步表达为

式中:cr，t=［cr，t(0)，cr，t(1)，…，cr，t(Q-1)］T;F定义为由KL-BEM的基函数组成的基矩阵:

则 F 为正交矩阵［2］，即满足 FHF=I，I为单位阵(在(7)式中已略去fr，t，q(n)的下标r，t).

2 信道估计

同文献［5］，在当前观察窗对应的符号序列中等间隔插入Np个导频符号，设导频位置为np(p=1，2，…，Np)，则由(6)式，天线r上的接收导频矢量为

式中:F(p)为基矩阵F对应导频位置所在的Np行组成的子阵;x(p)t，y(p)r分别为Np×1的发送和接收导频矢量.x(p)t，y(p)r，cr，Ar分别定义为

由(8)式，KL-BEM系数矢量可由最小二乘(LS)准则得到

为了提高信息传输效率，导频数目通常不能太大，因此上述基于导频的信道估计性能不能得到保证.EM算法是一种迭代最大似然参数估计算法，在各种通信信道估计中得到广泛的应用［6-11］，文献［6-9］针对多天线OFDM系统提出了几种EM信道估计算法，但是这些算法所考虑的信道环境均为信道时不变情况;文献［10］针对双选择性信道提出了一种交替广义EM信道估计技术，但其考虑的是单发送单接收天线系统.文献［11］提出了时变信道OFDM系统中的交替广义EM信道均衡方案，该方案同样未考虑多天线系统，而且是在多载波前提下得到的方法.基于时变信道的KL-BEM，下面文中以最小二乘估计作为初始估计，将EM算法应用于时变MIMO系统，以迭代的方式来提高信道估计的性能.

为了与 EM迭代算法框架一致，定义 yr为“incomplete”数据，定义“complete”数据为

yr，t=D(xt)Fcr，t+wr，t，t=1，2…，NT，(14)式中:wr，t为总噪声wr的任意NT个分解分量之一，且满足

按(6)，(14)-(15)式定义的信号模型与EM迭代算法的框架完全一致［6］，因此可采用EM算法来迭代估计KL-BEM参数.同一般的EM迭代参数估计过程，cr的EM迭代估计包括期望(E-step)和最大化(M-step)两步:

E-step:

式中:上标i表示迭代指数;βt为非负常数并且满足

求解该最小化问题可得

下面来分析该算法的复杂度，由于D(xt)为对角阵，因此，式(16)-(19)中与D(xt)矩阵相乘仅需N次标量乘法运算，求期望值步骤共需(N+1)QNT次复乘运算，而最大化步骤的复杂度为O(Q2N+Q3)，通常Q和NT远小于块长N，因此总的计算复杂度与N近似成线性关系.注意到当采用QPSK等恒定幅度调制时D(xt)为单位对角阵，因此FHD)×D(xt)F=FHF，同时由于KL-BEM的基矩阵F为正交矩阵，因此(19)式中的)D(xt)F)为单位对角阵，从而避免了(19)式中的矩阵求逆运算，因此该迭代算法的复杂度可进一步得到降低.

3 仿真分析

采用2×2的MIMO系统，调制方式为BPSK;KL-BEM观察窗内的符号数为144，且等间隔插入24个导频符号用于信道的初始估计;时变信道抽头按Jakes’模型［12］产生，时变信道归一化多普勒频率fdTs取为0.8(fd为多普勒频率，Ts为KL-BEM观察窗的持续时间)，为信道严重时变的情况，对应KL-BEM基函数的个数Q=5;符号检测采用最大似然符号检测算法;EM最大迭代次数为10.信道估计的性能由时变信道归一化均方误差(ENMSE)表征，定义为

图1 CIR估计的实例

图1中给出了3个时变CIR的幅度响应:理想CIR幅度，初始估计(LS估计)及迭代估计的CIR幅度.对于LS信道估计而言，由于仅利用了导频符号，其CIR估计值与实际值之间有很大的差异;迭代信道估计同时利用了判决符号和导频符号，因此其CIR估计值非常接近理想的CIR，尤其随着信噪比的增大，两者几乎重合.图2给出了信道估计均方误差随信噪比变化的关系曲线.

图2 MSE性能曲线

由图2可见，随着迭代次数的增加，估计性能逐渐提高.相对于LS估计，迭代信道估计的性能有较大的提高.同时可见，经5次迭代后，系统的均方误差(MSE)性能基本保持不变，因此算法具有很快的收敛速度.

图3给出了采用文中迭代信道估计时系统的误比特率(BER)曲线.作为参考，同时给出了LS信道估计和理想信道条件下的BER性能.

图3 BER性能曲线

由图3可见，仅采用导频的时变信道估计与理想信道条件下的BER性能相差较远，而EM迭代算法能提高时变信道脉冲响应的估计精度，从而也提高了系统的BER性能.同时可见，经迭代信道估计后系统的BER性能非常接近理想信道时的BER性能，高信噪比时两者之间的差别在1 dB以内，比LS信道估计有约2 dB的性能增益.

通过性能和复杂度分析看到，迭代信道估计不仅能很好地改善系统性能，而且由于KL-BEM基函数的正交性，具有较低的计算复杂度.

4 结论

1)通过时变信道基扩展建模和理论推导，建立了时变MIMO系统中的BEM迭代信道估计模型.

2)基于导频的MIMO时变信道估计受导频开销的限制，估计性能不高，而迭代信道估计同时利用了导频和数据符号，在信道估计MSE性能和系统BER性能方面均有明显改进.

3)仿真结果显示迭代信道估计的收敛速率很快，经5次迭代即可收敛，理论分析显示算法的计算复杂度可利用基函数的正交性得以降低，算法实时性较强.

References)

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