连接密度对于均匀网络上耦合映象同步方式和同步时间的影响

吴兴森，王圣军，屈世显

（陕西师范大学 物理学与信息技术学院，陕西 西安710062）

同步是一个在物理学、生物学、化学和社会学中都普遍存在的现象［1－4］，在人工系统和自然系统中都发挥着重要的作用，如：耦合激光器［5－6］，神经网络［7－8］，等．在过去的几年中，耦合映象格子的同步问题引起了人们的很大兴趣［4，9－13］，但是少有关于网络的同步速度和进入同步方式的研究［14］．对于一个真实的系统来说，系统以多快的速度达到同步，是一个和系统能否达到同步一样重要的问题［14－18］．换句话说，系统内部的相互作用能否在系统执行其功能的时间尺度内促使其动力学单元达成同步，是真实系统中必须考虑的问题．例如，在神经科学的研究中，同步速度与视觉处理速度以及嗅觉的辨别速度之间有重要的关系［19－20］．

近来，关于同步时间的研究引起越来越多研究者们的注意［15，21－22］．目前，关于同步时间，已经有一些非常有趣的性质被发现．文献［14］分析了网络的拓扑结构对同步时间的影响，认为当固定网络节点的入度时，同步时间随着拓扑结构随机性的增强而单调地减小．当固定网络的平均路径长度时，同步时间随着网络拓扑随机性非单调地变化．近年来关于Logistic映象同步时间的研究中发现，随着耦合强度的增加，平均同步时间可以非单调地变化．但是，这种非单调地变化只出现在Logistic映象的控制参数μ＝4．0以及耦合映象格子尺寸比较小（N＝5）的参数条件下［21］．最近，我们研究了Logistic映象的同步问题，发现了稀疏随机网络上同步时间与耦合强度的非单调关系，以及不同耦合强度下存在着不同的同步方式［23］．

在本文中，我们研究均匀网络上连接密度影响Logistic映象的同步时间和同步方式的规律．通过研究发现，随着随机网络中连接概率的增加，平均同步时间这种非单调的变化消失．我们对引起这种现象的机制进行进一步分析，发现随着连接密度增大，弱耦合下的同步方式变的与强耦合下一致．通过本文的分析研究，可以有助于加深对非线性系统的同步规律的理解．

1 模型

本文采用随机网络模型建立连接均匀分布的网络．为了建立一个随机网络，从N个未连接的节点开始，连接随机选出来的节点对，同时避免重复连接，直到边的数量为M．在这个随机网络中，连接密度为．接下来选取的节点数为N＝1 000，连接概率分别为p＝0．02，0．05，0．10，0．20，0．30，0．50，1．0．

Logistic映象是一个受到广泛关注的非线性动力学系统，它已经成为一个研究混沌理论的范式．它反映了低维混沌耗散系统的普遍特征［23］．Logistic映象的形式如下：

式中的控制参数μ∈［0，4］，状态变量xn∈［0，1］．本文研究的耦合Logistic映象系统由下面的方程描述：

式中的f（x）＝μx（1－x）是Logistic映象函数．ε是耦合强度，取值范围是ε∈［0，1］．xin代表第i个节点第n步的状态．每个Logistic映象的初始值xi0是［0，1］之间均匀分布的随机数．｛aij｝是随机网络的邻接矩阵，aij＝aji＝1代表节点i和节点j相连接，如果aij＝aji＝0表示节点i和节点j没有连接．ki表示第i个节点的连接度．

同步序参量Rn是检测系统是否达到同步的一个重要的参量［24］，其定义如下：

式中Rn是n时刻复数Zn的振幅，φn是相应的相位．当系统出现同步时，所有的节点上Logistic系统的取值相同，即xn1＝xn2＝…xnj．此时同步序参数Rn＝1．

2 数值模拟结果

对于随机网络上的Logistic映象，耦合强度存在一个阈值，当耦合强度大于这个阈值的时候，同步状态总是系统的稳定状态，从随机初态开始演化的系统将进入同步状态．对于这些能够同步的系统，我们把系统从随机初态演化到同步态经过的时间步数称为同步时间，用符号ts表示．

我们用模拟的方法计算了Logistic映象在随机网络中的同步时间随着耦合强度的变化关系．在构造网络的过程中选取不同的连接概率来研究连接密度对系统同步时间的影响．模拟的结果如图1所示．模拟中在每一个耦合强度参数下对系统的同步时间作了1 000次平均．

图1 不同连接概率下Logistic映象的同步时间随着耦合强度的变化关系Fig．1 The average synchronization time tsversus the coupling strengthεunder different connection probability p

从图可以看出，在稀疏的连接概率下系统的同步时间会在中等耦合强度下出现非单调地变化的现象，这和我们以前的发现一致．以前的研究表明了存在两种同步方式：在弱的耦合强度下系统由网络组成的节点被单映象的轨道所吸引；对于强耦合强度作用下的耦合映象系统，网络中的节点首先靠拢在一块达到同步，然后一起向单映象的轨道靠近．而在中等耦合强度下，是由于系统的同步方式发生转变导致系统的同步时间变长．现在，我们的结果表明在不同的连接概率下，系统同步时间与耦合强度关系中的峰值随着网络连接密度的增加而明显地减小．而这个峰以外的耦合强度参数区间上，同步时间的变化并不明显．这表明，连接密度影响了同步行为．

进一步研究网络的连接密度对于系统同步过程的影响，从而揭示连接密度影响同步时间的机制．我们模拟出网络的连接概率为p＝1．0和控制Logistic映象的控制参数为μ＝3．56的情况下固定选取3个耦合强度，ε1＝0．44（此耦合强度在非单调地峰值之前），ε2＝0．50（出现峰值附近），ε3＝0．70（此耦合强度在非单调地峰值之后）的Rn随着时间的变化．为了更加清楚地了解同步序参数Rn随着时间的变化关系，对同步序参数Rn作变动得到ΔRn，ΔRn和Rn的关系为

由以上描述的同步序参数Rn和ΔRn的关系，计算了固定选取Logistic映象控制参数μ＝3．56，在给定的3个耦合强度下，ΔRn随着时间步的变化关系如图2所示．

图2 3种不同耦合强度下ΔRn随着时间的变化关系Fig．2 The distance of network state from synchronization ΔRnfor three different coupling strengths

从图2可以看出ΔRn在耦合强度ε1＝0．44和ε2＝0．50的时候变化几乎一致，在强耦合（ε3＝0．70）的时候ΔRn迅速的趋于零，即系统的同步序参数迅速趋于1．不同于稀疏网络，在耦合强度为ε2＝0．50的情况下，同步序参量的变化和线性稳定性理论预言的一致是指数衰减的，而没有出现两个阶段．说明这里不存在两种动力学以及它们之间的转变导致的临界慢化现象．

图3是连接概率p＝1．0和Logistic映象的控制参数为μ＝3．56的网络中节点状态的时间序列．从图中可以看出．在耦合强度为ε2＝0．50的系统中，节点状态很快彼此同步，同时偏离8周期的状态值．这种同步过程中的集体行为和更大耦合强度的网络（耦合强度ε3＝0．70）是一致的．说明它不再处于一个中间态．

图3 在三种不同的耦合强度ε＝0．44（a），ε＝0．50（b），ε＝0．70（c）节点状态的时间序列Fig．3 The time series of xnfor all nodes under three different coupling strengthε＝0．44（a），ε＝0．50（b），ε＝0．70（c）

我们进一步研究了在耦合强度为ε1＝0．44下，同步过程中集体行为如何随着网络的连接密度变化．在同步过程中，对比了不同连接密度的网络上节点状态值的方差以及节点状态平均值与同步轨道的偏离．图4a表明随着网络连接概率的增加节点状态值的方差减小，而图4b表明随着网络连接概率的增加节点状态平均值与同步轨道的偏离也增大了．这个结果说明，随着网络连接概率的增加系统在弱耦合下表现出的同步动力学变成与强耦合下的同步动力学一致：在同步过程中节点状态相互吸引，并偏离8周期态．

图4 系统在第5时间步（t＝5）的方差δn（a）和差值dn（b）随着连接概率的变化Fig．4 The time series of node state′s standard deviationδn（a）and the difference dnbetween mean value ofˉxnand the state of the final orbit（b）under the time t＝5

因为在稠密的网络中只存在一种同步动力学，所以中等耦合强度下的临界慢化不再出现，同步时间趋于单调变化．

3 结论

研究了网络的连接密度对于连接分布均匀的网络上耦合映象系统的同步方式以及同步时间的影响．使用随机网络构造连接分布均匀的网络，通过改变连接概率调整连接密度．对于一个给定的连接密度，计算了网络的同步时间与Logistic映象之间耦合强度的关系．在稀疏的网络上，得到了与以前一致的结果，同步时间与耦合强度之间存在非单调关系．这里的研究发现，连接密度影响了同步时间．在中间耦合强度上，同步时间明显地随着连接密度的增大而减小，而其它耦合强度上，同步时间变化不大．同时，同步时间与耦合强度的函数关系逐渐变得单调．研究了连接密度产生这些影响的机制，它对于同步方式的影响．在稠密的网络上，弱耦合网络中的同步方式与强耦合网络中的耦合方式一致，不再具有两种同步方式．从而不再具有中等耦合强度上的同步方式的转变，以及相应的同步慢化．

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