p-Kirchhoff型方程解的多重性

李 健,杜泊船,赵 昕,吕显瑞

(1.吉林农业大学 信息技术学院,长春 130118;2.吉林大学 生命科学学院,长春 130012;3.吉林大学 数学学院,长春 130012)

0 引言与主要结果

考虑如下p-Kirchhoff型方程:

(1)

Kirchhoff模型[1]为

该模型可用于描述生物的种群密度等平均量,其对应的稳态Kirchhoff型方程为

(2)

关于方程(2)的研究目前已有许多结果[2-4].文献[5-8]应用变分法研究了问题(1)的非平凡解.显然,方程(1)是方程(2)的推广.事实上,当M(t)=a+bt,p=2时,方程(1)即为方程(2)的情形.此外,当M(t)=1时,方程(1)可转化为

(3)

0<μF(x,s)≤f(x,s)s, ∀s>0, ∀x∈Ω

满足时,得到了方程(1)正解的存在性.本文在该条件不满足时研究方程(1)解的多重性,得到如下结果.

(H0) 存在常数0

(H1) 存在正常数C1,C2和q∈(p,p*),使得

(H4) 存在C*>0,使得P(x,t)≤P(x,s)+C0,∀0

注1文献[6]在超线性幂次次临界增长且对称情形下得到了方程(1)的无穷多解； 文献[8]在非线性项满足渐近线性增长情形下得到了方程(1)的两个非平凡解;文献[7]研究了方程(1)在临界增长情形下解的存在性.注意文献[5]中(AR)条件结合次临界增长条件导致非线性项满足超线性次临界增长,而在定理1的条件下,该条件不满足但非线性项仍满足超线性次临界增长条件.

1 定理1的证明

这里

范数定义为

定义1如果

显然若u为J的临界点,则u是方程(1)的弱解.本文将利用山路引理得到问题(1)非平凡解的存在性.

定义

相应的泛函定义为

类似地,定义

相应的泛函定义为

下面只考虑得到正解的存在性,类似地,可以得到负解的存在性.由推广形式的山路定理[11],只需证明泛函J+具有山路几何并且满足(C)c条件.

先证明泛函J+具有山路几何,即:

引理1在定理1的假设下,有:

证明: 1) 由(H1),(H2),对任意的>0,存在C>0,使得

∀x∈Ω, ∀s>0.

因此,结合(H0),应用Sobolev嵌入与Poincare不等式,可得到常数σ1,C1>0,使得

由q>p易知,存在r,δ>0,使得结论1)成立.

2) 由(H3),对任意的M>0,存在CM>0,使得

F+(x,s)≥Msp-CM, ∀x∈Ω, ∀s>0.

(4)

在定理1的假设下,(PS)条件不满足.下面证明泛函J满足(C)c条件.

引理2在定理1的假设下,泛函J+满足(C)c条件.

证明: 假设{un}n∈⊂为(C)c序列,即

J+(un)→c∈, (1+‖un‖)‖(J+)′(un)‖→0,n→+∞.

(5)

并且有|wn(x)|≤h(x),a.e.x∈Ω,其中h∈Lp(Ω).

下证在Ω中w0(x)=0 a.e.事实上,记Ω0∶={x∈Ω:w0(x)≠0}.若Ω0≠Ø,则有|un(x)|→+∞,∀x∈Ω0.由假设(H3)和式(5)知,

(6)

关于x∈Ω一致成立.由(H6)、 式(5)及Fatou引理,有

这与式(6)矛盾,从而|Ω0|=0.因此w0(x)=0 a.e.x∈Ω.

(8)

由

并结合式(8)可得

由(H4)可得

另一方面,由假设(H1),(H2),对任意的R0>0,有

当n充分大时,矛盾.

由(H1),(H2)与Sobolev嵌入定理可得

(10)

记

由|((J+)′(un),un-u0)|→0,结合式(10)可得Qn→0.

另一方面,注意到

结合弱收敛un⇀u0及不等式

应用(H6)可知存在常数C2>0,使得

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