Banach空间中发展包含的反周期问题

程 毅,华宏图,从福仲

(1.渤海大学 数学系,辽宁 锦州 121003;2.吉林大学 数学研究所,长春 130012;3.空军航空大学 基础部,长春 130022)

发展包含的反周期问题在控制领域应用广泛,目前已有很多研究结果[1-9].

设H是可分的Hilbert空间,V是H的稠子集,具有自反可分的Banach空间结构,且连续地紧嵌入H.对于H及其对偶,有V→H→V*,所有嵌入都是连续的、 稠的.三元组(V,H,V*)称为发展三元组.设I⊂是一个闭区间,记X表示Lp(I,V),X*表示Lq(I,V*),其中记‖·‖X表示X中的范数.用(·,·)表示空间H的内积,〈·,·〉表示(V,V*)中的对偶对,《·,·》表示(X,X*)中的对偶对.Pk(f)c()表示实数集的所有非空紧(闭)凸子集的全体.

设T=[0,b],考虑如下发展包含的反周期边值问题：

(1)

其中:A:T×V→V*是一个非线性半连续算子;B:V→V*是一个有界线性自伴算子且D(B)紧嵌入H;映射G:T×H→ 2V*{Ø}是一个集值映射.

本文考虑方程(1)在G(t,s)为凸的情况下解的存在性.假设:

(H2) 对于每个t∈T,A(t):V→V*一致单调且半连续,即存在常数C1≥0,使得对于所有的x1,x2∈V,有

1) (t,x) →G(t,x)是图像可测的；

2) 对几乎所有t∈T,都有x→G(t,x)是闭图象；

定理1若条件(H1)～(H4)和H(F)成立,则问题(1)至少存在一个解x∈Wpq(T),且解集是一致有界的.

设S={v|v∈X*: ‖v‖X*≤M0},对任意的f(t)∈S,有Lx=f(t).由解的先验估计知,存在常数M>0,使得‖x‖X=‖L-1f‖X≤M.从而L-1(S)在Lp(T,H)是相对紧集.

N(x)={v∈V*:v(t)∈G(t,x),a.e.T}.

因此v(t)∈N(u),故N(u)≠Ø.

下面给出问题(1)解的先验估计.设x是问题(1)的解,则Lx=f(t)∈G(t,x).由〈Lx,x〉=〈f(t),x〉,有

〈x′,x〉+〈A(t,x),x〉+〈Bx,x〉=〈f(t),x〉.

根据假设条件(H2),(H3),有

〈x′,x〉+〈Bx,x〉≤〈f(t),x〉,

从而可得《x′,x》+《Bx,x》≤《f(t),x》.

由于《x′,x》=0,因此根据假设(H4)得

又由假设3)得

于是u∈S,因此解集S在Wpq(T)内是弱紧的.

[1] Okochi H.On the Existence of Anti-periodic Solutions to a Nonlinear Evolution Equation Associated with Odd Subdifferential Operators [J].J Funct Anal,1990,91(2): 246-258.

[2] LIU Qing.Existence of Anti-periodic Mild Solutions for Semilinear Evolution Equations [J].J Math Anal Appl,2011,377(1): 110-120.

[3] WANG Yan.Antiperiodic Solutions for Dissipative Evolution Equations [J].Math Comput Modelling,2010,51(5/6): 715-721.

[4] CHEN Yu-qing,WANG Xiang-dong,XU Hai-xiang.Anti-periodic Solutions for Semilinear Evolution Equations [J].J Math Anal Appl,2002,273(2): 627-636.

[5] CHEN Yu-qing,Juan J,O’Regan N D.Anti-periodic Solutions for Evolution Equations Associated with Maximal Monotone Mappings [J].Applied Mathematics Letters,2011,24(3): 302-307.

[6] Zeidler E.Nonlinear Functional Analysis and Its Applications [M].Berlin: Springer-Verlag,1984.

[7] Zeidler E.Nonlinear Functional Analysis and Its Applications Ⅱ [M].New York: Springer-Verlag,1990.

[8] ZHANG Yu-mei,CHENG Yi,WANG Jin-hua.Anti-periodic Boundary Value Problem for a Class of Evolution Equation in Banach Space [J].Journal of Jilin University: Science Edition,2012,50(4): 715-716.(张育梅,程毅,王靖华.Banach空间中发展方程的反周期边值问题 [J].吉林大学学报: 理学版,2012,50(4): 715-716.)

[9] Aubinj P,Cellina A.Differential Inclusion [M].Berlin: Springer-Verlag,1984.

[10] Papageorgiou N S.Convergence Theorem for Banach Space Valued Integrable Multifunctions [J].Internat J Math Sci,1987,10(3): 433-442.