基于退化轨迹未知的多退化量可靠度预测方法

朱天文，王宏力，陈 坚，张立波

(第二炮兵工程大学304室，陕西西安710025)

0 引言

对于高可靠度产品，采用传统的方法很难获得大量的失效数据，从而使基于失效数据对产品进行可靠度评估变得非常困难。由于大部分产品的失效机理最终可以追溯到产品潜在的性能退化过程，从某种意义上讲可以认为性能退化最终导致了产品失效(或故障)的产生。因此，可以使用性能退化数据分析代替传统的失效数据分析来进行产品的可靠度评估［1］。近十几年来，国内外很多的专家都对基于退化数据的产品可靠度评估方法进行了研究［2～5］，这些基于退化失效建模的理论主要针对只有单性能退化量的情形。事实上，大多数产品具有多个性能退化量，其中任何一个特征量的退化都会对产品产生很大的影响，甚至引起产品的失效。

目前，基于多性能退化量的可靠度评估方法研究不多，文献［6］分析了具有多性能退化特征参数与产品失效之间的相关性，并运用运筹学函数的方法，建立了概率表达式，但没有考虑多个退化量间的相关性。文献［7］分析了退化量之间的相关性，给出了基于多性能退化分析的一般模型，并用一个仿真实例证明了忽视退化量之间的相关性会低估产品可靠度。文献［8］先用基于单退化量轨迹的方法对求出各个退化量随时间变化的函数，得到产品各个退化量在需要时刻的值，再用多性能退化量分析方法［7］计算这些时刻的可靠度，并对某航空液压泵的性能退化数据进行了分析。这种方法对退化轨迹相对简单的产品效果较好，而对于大部分的产品，由于退化的轨迹未知，所以，运用此种方法时需要对退化轨迹进行假设，可能存在一定的误差，影响可靠度预测的效果。

本文针对大部分产品性能退化规律复杂，退化轨迹未知的情况，在分析多性能退化一般模型的建模方法基础上，利用多性能退化量分析方法［7］建立了产品在各个检验时刻的可靠度评估模型，并利用三参数威布尔分布方法建立了多退化量产品的可靠度预测模型，并对某滑片泵的试验数据进行可靠度预测，验证了该模型的有效性。

1 多性能退化数据评估模型

假设退化试验的容量为 p，在t1，t2，…，tm时刻对多退化特征随机样本进行检测，并利用检测到的数据来预测产品的可靠度。为了便于分析，还需如下假设:1)试验中，每个样本都是随机选择的;2)所有样本的各个性能退化特征量的测量时刻和测量次数都是相同的;3)多个退化特征量之间可以是独立的，也可以是相关的;4)各退化特征量都是单调递减的;5)各退化特征量在检验时刻t服从某种分布族。

利用检测数据对产品的可靠度进行分析时，首先应判断多个退化特征量间是否相关。如果它们之间相互独立，可直接利用类似串联系统的分析方法解决;如果它们是相关的，可通过测量数据估计它们的联合分布概率密度函数，然后，估计出产品的可靠度。

设产品有n个退化特征量，在t1，t2，…，tm时刻对p个样本进行检测，相互独立时，产品在t时刻的可靠度为

当n个退化特征量相关时，产品的可靠度为

式(1)和式(2)中，f(xi(t))表示退化量xi(t)在t时刻的概率密度函数，Di为第i个特征量的失效阈值，i=1，2，…，n，f(x1(t)，x2(t)，…，xn(t))表示 n个退化特征量在 t时刻的联合概率密度函数。

2 三参数威布尔分布及其参数估计

由于威布尔分布具有随着形状参数的变化反映不同失效规律的特性，对于大部分产品在退化轨迹未知的情况下，可以用威布尔分布来描述寿命变化的规律。

威布尔分布的可靠度函数为

其中，m为形状参数，η为尺度参数，γ为位置参数。

为了方便对上述寿命分布中的参数进行估计，对式(3)方程两边取2次自然对数，并采用如下变换:令z=ln(t-γ)，μ=lnη，σ=1/m，此时，z=μ+σln［-ln(R(t))］。

当γ已知时，可用最小二乘法求μ和σ的估计值，进而可以算出m和η，代入式(3)可以求出任意时刻的可靠度估计值 ^R(t)。

当只知道γ的取值范围时，在很小的间隔内，分别对γ不同取值求出 ^R(t)，用 ^R(t)代替R(t)，并令y(t)=ln(tγ)，x(t)=ln［-ln^R(t)］，可得到下面的线性模型

其中，ε(t)为零均值的白噪声误差。令

依上式的Q值最小为标准，搜索得到参数m，η，γ的估计值。

3 退化轨迹未知的可靠度预测方法与模型

为了在产品退化的轨迹未知情况下，通过分析产品的检测数据得到可靠度预测模型，利用威布尔分布具有随着形状参数的变化反映不同失效规律的特性，本文在运用多性能退化量分析方法建立了产品在各检验时刻的可靠度评估模型的基础上，采用三参数威布尔建立可靠度预测模型。具体步骤包括检验退化量之间的相关性、评估各个检验时刻的可靠度、建立可靠度预测模型。

3.1 检验退化量之间的相关性

使用下面的协方差矩阵来判断t时刻各个退化特征量间的相关性

其中，Var(xi(t))表示第i个退化量的方差，Cov(xi(t)，xj(t))，表示第i个退化量xi(t)和第j个退化量xj(t)的协方差，可用下式计算

式中 μxi(t)为 t时刻 xi(t)的均值，i=j=1，2，…，n。

若Cov(xi(t)，xj(t))=0，说明第i个退化量和第j个退化量独立。

若Cov(xi(t)，xj(t))≠0，说明第i个退化量和第j个退化量相关。

3.2 评估各个检验时刻的可靠度

若性能特征量之间独立，分别针对每个性能参数，将t时刻的p个样本的性能退化量进行分布假设检验，选择最合适的分布，估计出分布参数，按照式(1)计算各个时刻可靠度。

若性能特征量之间相关，估计出各个时刻的联合分布密度函数，一般可假定服从多元正态分布。若不服从多元正态分布，可用Box-Cox变换，使得变换后的多元退化数据服从多元正态分布。多元正态分布的联合分布概率密度可用下式计算

式中 x(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xn(t)］是退化特征量的列向量，|∑(t)|是协方差矩阵的行列式，μ(t)=［μx1(t)，μx2(t)，…，μxn(t)］T是退化量的均值向量。然后按照式(2)计算各个时刻的可靠度R(tk)(k=1，2，…，m)。

3.3 建立可靠度预测模型

根据求出的各个时刻的可靠度R(tk)，使用第2节中三参数威布尔分布方法得到可靠度的分布函数，完成可靠度预测。

4 实例分析

以某加油车用滑片泵［9］为样本进行性能测试，每隔一段时间记录一次泵的转速和流量数据，试验数据如表1所示，样本量为4，发动机的转速保持不变。泵无故障判断的标准是转速不低于750 r/min，流量不低于500 L/min。

表1 转速与流量数据表Tab 1 Data sheet of rotation rate and flow

现根据本文的方法进行可靠度分析，求出可靠度分布函数。

由式(6)和式(7)得各时刻协方差矩阵和均值向量如表2所示。

表2 各个时刻的协方差矩阵和均值(转速:r/min;流量:L/min)Tab 2 Covariance matrix and means in different time

从表2中的数据可以看出:2个退化量在各个检验时刻是相关的，其相关性随时间的延长逐渐增强，运用退化量相关时的算法，根据式(8)和式(2)求出产品在各个检验时刻的可靠度，见表3。

表3 各个检验时刻的可靠度Tab 3 Reliability in different test time

从表3的各个检验点的可靠度值来看，直到1 000 h，产品的可靠度仍达到0.99999。因此，可以认为产品在1000 h内不会发生失效，所以，γ的取值范围应该为:γ∈［1 000，1200］，利用式(5)搜索得到γ=1090时，Q值最小，此时，m=2.0080，η =727.2483。

于是，由式(3)得产品可靠度预测的模型为

利用文献［8］中退化轨迹拟合法处理本实例得到2个退化量的退化轨迹如图1和图2所示;取t=500，1 000，1400，1600，1800五个检测点，用文献［8］方法得到它们的协方差阵、均值和可靠度，如表4所示。

图1 转速退化轨迹Fig 1 Degradation paths of rotation rate

图2 流量退化轨迹Fig 2 Degradation paths of flow

表4 文献［8］方法得到的各个时刻的可靠度Tab 4 Reliability in different test time based on method of the 8th reference

用本文求出的模型式(9)得到上述5个时刻的可靠度为表5所示。

表5 新模型预测的各个时刻的可靠度Tab 5 Predicted reliability in different test time based on the new model

从对比结果可以看出:用本文方法得到的可靠度预测模型在所取的5个检验时刻的误差较小，能更好地预测产品各个时刻的可靠度，避免了模型假设时可能存在的误差，具有良好的适应性。

5 结束语

利用威布尔分布具有随着形状参数的变化反映了不同失效规律的特性，建立了退化轨迹未知的具有多性能退化量的产品可靠性预测的模型，并通过实例对模型预测的能力进行了验证。结果表明:本文建立的模型不依赖于退化轨迹，具有良好的适应性。

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