特征不为2的可线性化域上一类矩阵群的完全性

张 波

（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000）

特征不为2的可线性化域上一类矩阵群的完全性

张 波

（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000）

讨论了一类矩阵群的完全性，给出了特征不为2的可线性化域上的一类矩阵群的完全性的证明。

矩阵群；特征；线性化环；完全性；自同构

设G是一个群，群G中与所有元素都可交换的元素构成的集合称为群G的中心，记作C( G)。若群G自身到自身的一个双射φ满足φ(xy)=φ(x)φ(y)（其中x, y∈G），则称φ是群G的一个自同构，群G自同构的全体关于映射的乘法作成一个乘法群，记作AutG。特别地，对任意的a∈G，

也是群G的一个自同构，称为群G的内自同构，群G的内自同构的全体记作InnG，InnG关于映射的乘法作成AutG的子群，且有

若群G的中心C( G)是平凡的，并且G的每一个自同构都是内自同构，则称群G是一个完全群。

令n是一个正整数，Q是有理数集，*Q是非零有理数集。令

则Y关于矩阵的乘法作成一个乘法群。文献[1]证明了Y是一个完全群。由于文献[1]中的结论所需要的条件太强，因而结论的外延性太小。本文给出了特征不为2的可线性化域上的一类完全群。

1 预备知识

定义1[2]设G是一个群，H是G的子群，若H在G的任意内自同构作用下稳定，则称H是G的正规子群；若H在G的自同构作用下稳定，则称H是G的特征子群。

定义2[3]设G是一个群，a, b∈G，记[a, b]=aba-1b-1，称为a与b的换位子。由G的所有换位子生成的子群称为G的换位子群，并记

若有正整数n，使得Gn=1，则称G是可解群。

定义3[2]设G是一个群，H，K是G的子群，若G=HK，H∩K=1，并且K是G的正规子群，则称G是H与K的半直积，记作G=H∝K。

2 主要结果

设R是一个含有单位元的交换环，U( R)是R的可逆元素构成的乘法群，对任意的r∈R，则有是R的加法自同构，称为由r诱导的内自同构，并记

定义4设R是含有单位元的交换环，若R关于环的加法的每一个自同构都是内自同构，则称R是可线性化的环。

设n是一个正整数，R是一个可线性化的环。E表示R上n级单位阵，Rn×n表示R上n级矩阵的全体，GL( n, R)表示环R上n级可逆矩阵的全体，Rn表示R上n维列向量的全体，ei表示Rn上第i个分量是1，其余分量是0的n维列向量，其中i=1,2,…n 。记

显然，G关于矩阵的乘法分别作成乘法群，H和K是G的子群，并且K是G的正规子群。又G=HK，H∩K=1，所以G是H与K的半直积，即G=H∝K。

令

易见τ是一个双射。又对任意的A, B∈GL( n, R)，

τ是一个同构映射，即H≅GL( n, R)。令

则σ是一个双射，且对任意的α, β∈Rn，

可见σ是一个同构，即K≅Rn。

对任意的A∈GL( n, R)，易见

为Rn上加法自同构。记

引理1令Aut( Rn)表示nR的加法自同构群，则

(n) W=Aut R。

证明对1≤i≤n，令

易见对所有的i=1,2,…n ，φi，φi都是加法群同态。设δ是Rn的加法群自同构，记δi,j=φjδφi，它是R上的一个加法自同态。又因为R是一个可线性化的环，因而存在ai,j∈R，使得对任意的a∈R，都有δi,j(a)=ai,ja 。令

则对任意的

有

又φjτA(β)等于ATβ的第j个分量，即

从而

所以δ=τA。又由δ∈Aut( Rn)知A∈GL( n, R)，因此δ∈W ，Aut( Rn)=W。

一般地，对任意一个群来说，它有唯一的极大可解正规子群，且此唯一的极大可解正规子群当然是这个群的特征子群。

引理2H的唯一极大可解正规子群是

证明因为GL( n, R)的唯一极大可解正规子群是aE，由H≅GL( n, R)可知结论成立。

引理3G的唯一极大可解正规子群是T=S∝K。

证明设T是G的唯一极大可解正规子群。显然S∝K是G的可解正规子群，所以S∝K⊆T。进而，T=(T∩H)∝K ，其中T∩H是H的可解正规子群，可见T∩H⊆S。因此T⊆S∝K，T=S∝K。

定理设R是一个特征不为2的可线性化的域，则G关于矩阵的乘法作成一个完全群。

证明令C( G)是群G的中心，对任意的

可知A=E，α=0，所以

是平凡的。

设Ψ是G的一个自同构，则G的唯一可解正规子群T=S∝K在Ψ的作用下是稳定的，即Ψ(T)=T 。又由K=[T, T]，可得即K也是G的特征子群。令Ψ=Ψ|K，则Ψ是K上的自同构。因K≅Rn，由引理1知，对A∈GL( n, R)和任意的

则Ψ|K=Int B|K，即(IntB)-1Ψ在K上的作用是平凡的。记Ψ'=(IntB)-1Ψ，则Ψ'∈AutG在K上的作用是平凡的。对任意的A∈GL( n, R)，α∈Rn，有

用'Ψ作用于上式两端，可知

其中αA∈Rn且由A确定。又因为

可见

并得α-E=0。即

再用'Ψ作用于

两端，即得

从而有αA=-αA。

又因为R的特征不等于2，所以αA=0。进而说明了Ψ'在H上的作用也是平凡的，所以Ψ'=1是单位自同构。因而Ψ是G的内自同构，G是完全群。

[1] 刘皖华.一个有理系数二阶方阵对乘法所形成的完全群[J].工科数学,2002,18(3):91-93.

[2] 杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社,2003:86-125.

[3] 盛德成.抽象代数[M].北京:科学出版社,2000:55-59.

（责任编辑、校对：赵光峰）

The Completion of a Matrix Group over a Linearization Domain of Characteristic Not 2

ZHANG Bo
(School of Mathematical Sciences, Huaibei Normal University, Huaibei 23500, China)

The completion of a matrix group over a linearization domain of characteristic not 2 is discussed. And the proof that is a complete group is given.

matrix groups; characteristic; linearization rings; completion; auto-orphisms

O152.3

A

1009-9115(2014)02-0018-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2014.02.005

安徽省高校自然科学基金项目（KJ2009B082Z），淮北师范大学青年科研基金项目（700276）

2013-09-22

张波（1977-），男，安徽萧县人，硕士，讲师，研究方向为代数学。