基于换热器分时共享机制的多时期换热网络结构设计

陈彩虹，蒋达，钱锋

（华东理工大学化工过程先进控制和优化技术教育部重点实验室，上海 200237）

传统的多时期换热网络（HEN）设计方法通常是求解一个简单的数学规划问题，解决此问题的数学规划方法有两种不同的类型，分别是分步和同步优化方法[1-3]。前者通常需要把问题分解成几个连续的设计步骤，目的是为了减少计算量，但是这种方法通常得不到最优解，因为操作成本和设备投资成本之间的权衡问题不能得到妥善解决。利用同步方法可以克服以上的缺点，因此，在最近几年的研究中，学者们广泛致力于研究有效的同步优化方法。虽然许多研究都得到了令人满意的结果，但在实际应用中仍存在一些问题。在本文中，假设换热网络均利用同步方法来制定最优化问题，通过引入变量，如考虑每个操作期间中所有换热过程的匹配、实用的换热器、流量以及冷、热流股的进出口温度等来求解。

本文的第1部分首先讲述传统的多时期换热网络设计方法；第2部分针对传统设计方法存在的不足，介绍现有的一种单时期最优设计方法[4]，该方法分别在每个时期建立一个 HEN设计模型，最后把各个时期产生的设计综合起来，每个换热器面积等于其在所有时期参与的匹配的最大面积，但是，此方法得到的换热网络的设备投资成本比传统方法得到的高；分时共享机制不仅可以减少各个时期合并后所得换热网络的设备资本投入，同时也可提高网络的操作灵活性；第3部分简述一种最简单的生成可行分时共享机制[4]的方法；然而，分时共享机制会增加换热网络中管线结构的复杂性，与传统方法相比，这在一定程度上会带来比较高的管线成本投入；第4部分将针对管线成本的问题，重点讲述在任意给定位置的条件下，如何通过求解简单的数学规划模型自动产生换热器的最优分布位置，使得换热网络中连接的管线总长度尽可能达到最少，从而一定程度上减少管线成本的耗费。

1 传统的多时期换热网络设计

在真实的生产环境中，如果换热网络配置在单一的固定结构下，一旦每个时期的操作条件发生变化，可能就会导致换热网络的运作效率低下。面对这种情况，当前已经提出了很多设计方法，用以产生最佳的多时期换热器网络设计。在给定过程数据的基础上，Floudas等[5-6]首先提出一个可行的HEN设计，目的是分别在每个时期产生最少的操作成本、换热器数目和设备投资成本；Aaltola[7]首先建立混合整型非线性规划模型（M INLP），目的是在单个步骤中产生多时期HEN设计，这个模型以Yee等提出的超结构的换热网络为前提；在后来的研究中，Chen等[8]提出用4个步骤来构建具有弹性的多时期HEN设计；此外，Verheyen等[9]修改了Aaltola的模型，并提出了系统的网络综合方法。

正如前面提到的，传统的多时期换热器网络的设计可以通过解决例如Verheyen等提出的M INLP模型得到。此模型中相关物理量之间的等式和不等式约束可参见Jiang等[4]文章中的附录A，模型的目标函数是年度总成本（TAC），如式（1）。

为了说明传统设计方法的不足，文献[4]根据给定的过程数据尝试解决一个简单的例子，表1给出了每个时期中各个匹配所需的面积，将每个匹配的最大面积相加，可以得到该换热网络所需的换热器的总面积为487.4 m2。同时，根据相应的求解结果可知，传统设计方法通常根据预先确定的操作时期的期间长度来进行模型求解，但在实际操作过程中，此方法不能适应期间长度的调整以应对供需和工艺条件的意外变化；一旦改变每个操作时期的期间长度，那么换热网络的操作成本就会发生变化；同时，传统设计方法中换热器面积的选择会造成有些换热器的面积在某个时期不能得到充分利用，从而带来一定的热交换能力浪费；再者，传统的多时期HEN模型比其对应的单时期 HEN模型要更复杂，其计算时间随着流股和时期数量的增加而成倍增长，结果常常导致在相应的优化运行中不能收敛。

2 单时期最优的换热网络设计

为了克服传统设计方法存在的不足，文献[4]提出了一种单时期最优的 HEN设计方法，由于其模型不受操作期间长度的约束，所以可使得换热网络的操作灵活性达到一个较高的水平。该设计方法首先分别在每个时期产生最优的设计模型，然后综合所有时期得到的设计，选择所有时期中存在的换热器，并选定其参与的所有匹配的最大面积作为其本身的面积。此时，每个时期的M INLP模型的目标函数变成如式（2）。

模型（2）中相关物理量之间的相应约束同样见文献[4]中的附录A。根据与传统设计方法中相同的过程数据分别求解3个时期的上述模型，可以得到表2中相应的数据。从表2中可以看出，根据上述模型（2）求得的每个时期换热器匹配的面积与传统设计方法求得的结果不尽不同，每个时期总的换热器面积比传统设计方法所需要的少，综合3个时期可以得到，换热网络的操作成本与传统设计方法得到的结果基本相同，不受操作时期的期间长度的影响；但是，网络中所有匹配所需的最大面积的总和为534.4 m2，与传统设计方法相比，增加了设备成本的投入。因此，要想克服此方法带来的问题，就必须引入一个能减少所有单时期网络设计综合得到的换热总面积的方法。

表1 传统设计得到的不同时期的换热面积（m2）

表2 单时期最优设计得到的不同时期的换热面积（m2）

3 分时共享机制

从表2可以看出，对于某些特定的匹配，在不同时期其所需要的换热面积相差很大，有些匹配在某些时期也不存在。如果选择每个换热器参与的匹配在所有时期的最大面积作为其实际的面积，那么必然会导致较高的设备资本投入，同时，在有些时期会带来换热器面积不能得到充分利用的问题，造成热交换能力的浪费。文献[4]中采用一种分时共享机制来减少上述方法的设备投资成本。最简单的一种产生分时共享机制算法的思想是：把采用单时期最优设计方法得到的每个时期所需匹配的面积大小按降序排列，从大到小给每个匹配分配换热器，遵循每个换热器在每个时期只能参与一个匹配的原则，最后选择换热器参与的所有匹配的最大面积作为其实际面积，具体算法步骤可参见文献[4]。通过这种方法，不仅能使换热器的面积得到充分利用，从而减少总的换热器面积，还可以改善换热网络的可操作性。

根据表2的数据，按照上述产生分时共享机制的算法步骤进行设计，可以得到文献[4]中相应的数据结果。从中可知，换热网络利用分时共享机制需要的换热器个数少于传统设计方法需要的个数，且总的换热器面积相应地从 534.4 m2减少到 521.1 m2，降低了换热网络的设备投资成本。但是，由于分时共享机制中同一个匹配在不同时期可以由不同的换热器来参与完成，所以每个时期的管线连接结构都不尽相同，综合所有时期得到的换热网络的管线连接结构就比较复杂，这样管线成本就会相应增加。

4 管线长度的优化计算

4.1 换热器随机放置时的管线长度计算

传统设计方法中每个换热器参与完成同一个匹配，其换热网络结构在每个时期都是固定不变的，换热器之间管线的连接相对比较简单。通常情况下，在进行换热网络结构设计时，只要换热器参与的匹配能满足网络的换热需求，可将它们随机放置在预先给定的位置上。由表1可知，换热网络中需要A、B、C、D、E、F、G 7个换热器，如果假设这些换热器分别随机放置在位置L1、L2、L3、L6、L5、L4、L7。同时，已知这些位置之间连接所需的管线长度如表3所示。其中，k代表行标，h代表列标；lk,h表示从位置k到位置h之间的管线长度，且对于任意的两个位置k和h满足：lk,h=lh,k；表中最后一行的总和代表每个位置与剩余其他位置之间连接所需的管线长度之和。根据文献[4]中图1的换热网络超结构图可得，传统设计方法得到的换热网络的7个换热器之间管线连接情况如表4所示。表4中i代表行标，j代表列标；ui,j表示从换热器i到换热器j之间是否存在连接，表中管线连接的情况是根据表3每个位置上对应放置的换热器给出的。

表3 已知给定位置之间管线连接的长度

表4 传统设计方法得到的换热器之间存在的连接

图1 换热器随机放置时的管线连接示意图

结合表3和表4的数据可以得到，该换热网络结构中总的管线长度为72.7 m2，也就是表4中取1的位置在表3中对应位置上的数据之和，此时换热网络的管线连接示意图如图1所示。图中每个位置放置一个换热器，虽然管线连接比较简单，但得到的管线总长并不是最少的。

4.2 管线长度的模型优化计算

从上文可知，采用上述分时共享机制虽然可以节省很大的设备资本投入，但是该方法会增加换热网络结构中管线连接的复杂性。文献[4]的附录B给出了换热网络在采用分时共享机制下每个时期的管线连接图，从中可以看出，每个时期换热器之间的管线连接结构不尽相同。如果此时将换热器像上述方法一样放置在随机固定的位置上，由于合并所有时期得到的换热网络中管线连接结构比较复杂，那么由此得到的总的管线成本不一定是最少的。通常情况下，在管线连接相对复杂的换热网络中，如何使换热器之间连接所需的管线总长度尽可能达到最少成为了换热网络结构设计必须考虑的问题。在工艺条件和操作环境允许的条件下，必须在化工流程中合理放置换热器的位置，使得换热网络在采用分时共享机制的情况下，一方面能提高换热网络的可操作性，另一方面又能使所有换热器之间的管线长度达到最短，从而减少管线成本的投入。下面提出一个数学规划模型，通过模型的求解自动产生换热器的最佳位置分布，使得换热网络的管线总长度达到最少。

假定采用分时共享机制的多时期换热网络需要n个换热器，并在换热网络结构设计时，将其对应放置在n个不同的位置上，且已知这n个位置之间管线连接所需的长度。以下给出管线长度的优化模型表达式，通过求解可以得到管线成本的最小值。

需要注意的是，在实际工业中，换热网络各个流股的流量不尽相同，从而不同管道有可能采用不同的管径，因此流量是求解管线成本的一个重要参数。但如果增加流量这一参数，模型求解问题复杂程度会大大增加，为了简化问题，在上述数学模型中，假定管线成本只与管线长度有关，与管线长度成正比，暂不考虑管道的形状、大小和材质。其中，式（3）是模型的目标函数，包含矩阵的乘积计算，其作用是将放置在给定位置后每个换热器与其他换热器之间存在连接的管线长度进行求和，然后乘以管线单位长度的成本系数a得到管线成本；式（4）是一个约束条件，保证给定的每一个位置只能放置一个换热器；式（5）右边的表达式将已知的换热网络中换热器之间存在连接的关系矩阵 ui,j与求得的换热器的位置分布矩阵 pj,k进行相乘，得到等式左边每个换热器放置在给定位置后与其他换热器之间连接的关系矩阵；式（6）中，将求得的换热器的位置分布矩阵pj,k与已知的位置k和位置h之间连接所需的管线长度矩阵lk,h相乘，得到放置在给定位置后各个换热器之间连接的管线长度矩阵p lj,h；式（7）中，lk,h为已知参数，p lj,h为实变量；式（8）中，ui,j为已知的二进制变量，pj,k、upi,k为未知的二进制变量，具体含义可见文章后面的符号说明，式（9）是集合定义，E为换热器集合，L为给定位置的集合。

为了使采用分时共享机制得到的多时期换热网络的管线成本尽可能达到最小，根据文献[4]附录B给出的换热网络在每个时期的管线连接图，可以得到所有时期存在的换热器之间管线的连接情况如表5。从表5中可知，采用分时共享机制的换热网络只需要6个换热器。

表4中，传统设计方法用7个给定的位置来放置换热器，为了得到较少管线的成本，可以去掉表4中与其他所有位置之间连接所需的管线总长度最长的位置L2，保留剩余的6个位置L1、L3、L4、L5、L6、L7来放置分时共享机制中的6个换热器A、B、C、D、E、F，这样在一定程度可减少换热网络所需的管线长度。这6个位置之间连接所需的管线长度如表6。需要注意的是，本部分的重点是提出使基于分时共享机制的换热网络中换热器之间连接所需的管线成本达到最小的数学规划模型，文中预先给定位置之间的管线长度只是用来求解模型的参考数据，无论数据如何，上述模型都能寻找到使得管线成本达到最少的换热器最佳位置分布。

根据表5、表6中的数据以及模型的式（3）～式（9），在 GAMS软件编译环境下，选择求解器BARON进行求解，可以得到表7～表9中相应的数据。

表5 所有单时期最优设计中换热器之间存在的连接

表6 已知给定位置之间管线连接的长度

表7 换热器最终的放置位置

表8 换热器在给定位置后的连接关系

从横向看表7可以得出，换热器A、B、C、D、 E、F分别放在位置L3、L1、L5、L4、L6、L7，分析可知，表5和表8所包含的内容相同，不同的是，表5是换热器未放置在给定位置前的连接关系表，而表8是换热器在给定位置之后与其他换热器之间的管线连接情况；表9列出了换热器放置在给定位置后与其他换热器之间连接所需的管线长度。根据上述模型的目标函数，将表8中取1的位置在表9中对应位置上的数相加，即得换热网络总的管线长度为53.2 m。这一结果是由上述模型求得的最优值，这一结果比将换热器随机放置在固定位置的方法要更优。

表9 换热器之间连接的管线长度

需要强调的是，上述结果只是根据随机一组数据求得的，并不代表其他数据情况求得的结果也类似，但是上述管线长度优化模型在实际应用中却是可行的一种方法。根据此模型求得的换热网络的管线连接示意图如图2所示，相比图1可以看出，此时换热网络中管线的连接比较复杂，但换热器之间连接的管线长度相对比较短，从而得到的管线总长度就比较少。

5 结 论

图2 分时共享机制下换热器的管线连接示意图

通过采用分时共享机制来降低换热网络的设备资本投入，同时提高网络的可操作性。然而，分时共享机制在减少设备投资成本的同时也带来了换热网络中管线连接的复杂性问题，这在一定程度上增加了管线的成本；本文通过求解一个数学规划模型来优化换热器的位置分布，使得换热网络管线的总成本最少。文中关于管线成本的计算，模型表达式只考虑了管线的长度，在后续工作中，将根据不同流股的流量来确定所用管道的管径，进而更精确地计算管线的成本；在此基础上，提出一个更加完善的管线成本优化模型，在根据不同管径求解管线成本的同时，自动识别最差的换热器放置位置。需要注意的是，根据文中方法产生的任何 HEN结构只能被视为一个概念性的设计，因为实际问题涉及可调范围，可操作性和可控性等因素，所以其存在的一些不足还有待进一步解决。

符 号 说 明

Ai,j,k,p——匹配（i, j,k）在p时期所需的面积，m2

Am,p——p时期匹配m所需的面积，m2

a——管线单位长度的成本系数

CCU——冷效用换热器的冷效用的单位成本

CE,1——换热器固定投资成本的成本系数

CE,2——换热器可变投资成本的成本系数

CHU——热效用换热器的热效用的单位成本

CP——冷流股j的集合

CU——换热网络超结构外部的冷效用换热器

DPp——p时期的期间长度，m

E——换热器e的集合

HP——热流股i的集合

HU——换热网络超结构外部的热效用换热器

L——给定位置的集合

lk,h——已知的位置k与位置h之间的管线长度，m

M——所有匹配m的集合

NOK——换热网络超结构的层级总数

NP——在一年内操作时间的总长度，m

P——所有时期p的集合

PR——操作时期的集合，p=1,··,NP

p——操作时期

Pj,k——模型求解得到的换热器j是否放在位置k的二进制变量

plj,h——模型求解得到的换热器j在放置的位置与放置

在位置h的换热器之间的管线长度，m

r——年度因子

ST——超结构层级的集合， k=1,......,NOK

ui,j——已知的基于分时共享机制的换热网络中换热器i与换热器j之间是否存在连接的二进制参数

upi,k——放置换热器i的位置与放置在k位置的换热器是否存在连接的二进制变量

xe——换热器e实际的面积，m2

ye——换热器e是否参与分时共享机制的二进制变量

zi,j,k——匹配(i,j,k)是否出现在网络中的二进制变量

β ——换热器面积指数因子

λ ——匹配m在p时期中所需面积上限值的约束参数

φ ——换热器e投资成本的函数下角标

i ——热流股或热效用换热器

j ——冷流股或冷效用换热器

k ——换热网络超结构的层级

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