组合优化在企业会议成员分配中的应用

丁威+杨雪斌

作者简介：丁威（1988-），男，福建龙岩人，福州大学管理学院硕士研究生，研究方向：技术经济分析及评价；杨雪斌（1988-），女，福建漳州人，福州大学管理学院硕士研究生，研究方向：系统分析。

摘 要：随着经济的发展，越来越多的企业面临诸多的决策问题，召开企业董事会是作出企业决策的有效途径，针对现在企业董事会等参会成员分配的需要，提出利用组合优化解决会议成员分配问题。

关键词：组合优化；模拟退火算法；会议成员分配

中图分类号：F2 文献标识码：A 文章编号：16723198（2014）03002603

1 决策理论

现今，管理者面临的各种关乎企业未来发展的决策越来越多，依靠科学的方法确定决策的形式及步骤对于企业发展至关重要。决策理论是在系统理论的基础上发展起来的，主要代表人物是赫伯特·西蒙（Herbent Simon），其代表作为《管理决策新科学》。决策理论的观点主要表现在三方面：突出决策在管理中的地位、系统阐述了决策原理以及强调了决策者的作用。西蒙认为管理决策包括四个主要阶段：找出制定决策的理由、找到可能的行动方案、在诸行动方案中进行抉择、对已进行的抉择进行评价。斯蒂芬·罗宾斯认为决策的制定大体分为识别决策问题、确定决策标准、为决策标准分配权重、开发备择方案、分析备择方案、选择备择方案、实施备择方案和评估决策结果，科学决策的作出关乎每个企业的存亡。

2 模型的假设

2.1 问题陈述

某公司欲制定长远计划，兹决定召开一次董事会议，会议参加者中有37位董事会成员（其中9位为雇员董事，其余为外部董事，这里37只是随机选取的一个数字）。

董事会议时间上午从9点开始，下午从2点开始，每段会议持续半个小时，每段会议之间休息10分钟。这次董事会议将分为7段分组讨论会，每个小组上午举行三段讨论会，下午举行四段讨论会，而上午每段会议中有6个小组参加讨论会，下午每段会议中有4个小组参加讨论会。为了避免出现董事会议讨论被权威人士控制的现象，通常安排数届会议分组进行讨论，各届会议中小组成员不同，以使与会人员尽量交叉混合。

要求为董事长提供一份与会成员分配名单，其要满足如下条件：（1）每个小组讨论会中董事成员数量尽可能平均；（2）每个小组讨论会中雇员董事成员与非雇员董事成员应符合一定的比例。

2.2 假设条件

（1）每种类型的与会董事地位相同；

（2）与会董事坚决服从会议组织者的安排；

（3）会议一旦开始，在结束之前与会董事不允许发生变动；

（4）各小组与会董事成员人数应尽可能平均。

该假设依据说明如下：会议成员分配模型应使与会董事混合得最好，并且在每个场次中保证董事们应在尽可能相互认识的基础上重复见面的次数尽可能平均且尽量小。假设每个董事与其他董事在开会小组中都有相同的见面次数m0，同时第j场会议中第i小组的人数为yij，在本组会议中任意一个人在该小组所见的人数就是（yij-1），因而该小组yij个人所见的人数之和为yij（yij-1），则对全天所有的场次所有的小组会议来说，所有成员所见人数总和为：

∑3j=1∑6i=1yij（yij-1）+∑7j=4∑4i=1yij（yij-1）=∑3j=1∑6i=1y2ij+∑7j=4∑4i=1y2ij-37×7

∵假设全天会议结束后每一个董事和其他任何一个董事见面的次数均为m0，

∴全天所有成员所见人数之和也可以写成37×36m0。

∴等式∑3j=1∑6i=1y2ij+∑7j=4∑6i=1y2ij-37×7=37×36m0成立。

在本式中，∑3j=1∑6i=1yij+∑7j=4∑4i=1yij=37×7，其中n=3×6+4×4=34。

所以根据Cauchy不等式有：∑3j=1∑6i=1y2ij+∑7j=4∑4i=1y2ij≥34×（37×734）2，解得m0≥1.29。

在实际运用中，m0的取值越小越好，取m0=1.29。所以他们任意两个人见面的次数m0介于1和2之间，即上午：6，6，6，6，6，7；下午：9，9，9，10。

2.3 变量及符号说明

X：决策变量，其中元素xijk表示在第j场会议中，董事i在第k组；

m0：每个董事与其他董事的相同的见面次数；

P：分组矩阵，Pj表示第j场会议的分组矩阵；

Q：相遇矩阵，表示第j场会议的相遇矩阵；

Qsum：总相遇矩阵，即Qsum=∑7j=1Qj；

Q（1）sum：总相遇矩阵Qsum的转换形式；

m（x）：目标函数Ⅰ，定义为Qsum中除了主对角线上的元素外，零元素的个数，即表示任意两个与会董事没有见面的次数；目标函数Ⅱ，定义为Qsum的范数的平方；

f（x）：总目标函数，定义为f（x）=λ1m（x）+λ2g（x），其中λ1+λ2=1。

3 模型的分析

3.1 分组矩阵和相遇矩阵的关系定理

这里本文引入分组矩阵和相遇矩阵。

定理：若P为分组矩阵，则其对应的相遇矩阵Q=PPT-E（E为单位矩阵）。

证明：对xi∈X，每次只能分在一个组中，即P的每一行中只有一个元素为1，其余的元素全部为0。

由矩阵M=PPT-E可得mij=∑mk=1（pik）2-1=0i=j

∑mk=1pik×pjki≠j

（1）若pik与pik（k∈{1，…，m}）不同时为1，即xi与xj不同在k组，即mij=0；

（2）若pik与pik同时为1，即xi与xj同在k组，即mij=1，满足相遇矩阵的定义。

所以Q=M=PPT-E。

即定理得证。

3.2 约束条件

结合问题中的条件，我们定义变量xijk表示第i个人在第j场次的会议中分在第k组，

则xijk=1在第j场会议中，xi∈Gk

0在第j场会议中，xiGk，

其中

i=1…37，表示37个公司董事；

i=1…9，表示9个公司的雇员董事；

i=10…37表示28个公司的外部董事；

j=1…7表示全天开了7场次的会议；

k=1…6表示上午的三个场次的会议中，每个场次的会议分为6个小组，k=1…4表示下午的四个场次的会议中，每个场次的会议分为4个小组。

对于每个场次的分组来说，都一定存在有分组矩阵Pj，即：Pj=x1j1…x1jk

x2j1…x2jk

………

x37j1…x37jk，其中k=6（上午）或者4（下午）。

再根据题目给定的要求，可以得到如下的约束条件：

（1）每一次分组中，每个与会董事唯一的分在一组，

即∑6k=1xijk=1j=1，2，3i=1，…，37

∑4k=1xijk=1j=4，5，6，7i=1，…，37

（2）每次分组时，每组中的公司雇员董事应当合比例，

有1≤∑9i=1xijk≤2k=1，…，6j=1，2，3

2≤∑9i=1xijk≤3k=1，…，4j=4，5，6，7

（3）每次分组时，各小组的人数尽量平均分配，

有6≤∑37i=1xijk≤7k=1，…，6j=1，2，3

9≤∑37i=1xijk≤10k=1，…，4j=4，5，6，7

（4）xijk=1在第j场会议中，xi∈Gk

0在第j场会议中，xiGk

3.3 目标函数

7次分组会议完成以后，董事成员1-37之间相互见面的次数可由如下的公式表示：Qsum=∑7j=1Qj=（qsumij）37×37，Qsum为总的相遇矩阵。

其中

qsumij=∑3l=1∑6k=1xilk·xjlk+∑7l=4∑4k=1xilk·xjlki，j=1，…，37 i≠j

0i=j

3.3.1 目标函数Ⅰ的给出

考虑到与会董事之间的充分交流，要尽量保证每个与会董事之间都有见面的机会，即在Qsum中除了主对角线上元素外，0元素个数应尽可能少，首先对Qsum进行处理，得到Q（1）sum=Qsum+E37×37=（qsum（1）ij）37×37。

令mij=1qsum（1）ij=0

0否则，得到M=（mij）37×37，则目标函数I为m（x）=∑37i=1∑37j=1mij最小。

3.3.2 目标函数Ⅱ的给出

考虑到任意两个董事重复见面的次数应尽可能相同，通过（qsumij）k可以放大不同董事与其他的董事见面次数上的单个差异，k的取值越大，放大的程度就越大。在本模型中，我们取定k=2，即‖Qsum‖2F，因此得到目标函数Ⅱ为g（x）=‖Qsum‖2F=∑37i=1∑37j=1（qsumij）2。

在这里，我们认为g（x）达到最小时，任意两个成员重复见面次数达到尽量平均这个目标就得以实现，而当m（x）达到最小时，充分见面这个目标也得以最好地满足。

3.3.3 总目标函数的得到

考虑到两个目标函数m（x）和g（x）存在着着不同的优先级和数量级，于是对两目标函数采用加以不同权系数衡量，得到总目标函数表达式，为f（x）=λ1m（x）+λ2g（x），其中λ1+λ2=1，λ1，λ2为权系数，这里取λ1=0.6，λ2=0.4。

4 模型的建立

综合所述，得到如下模型：

目标函数Minf（x）=0.6m（x）+0.4g（x）

约束条件∑6k=1xijk=1j=1，2，3i=1，…，37

∑4k=1xijk=1j=4，5，6，7i=1，…，37

1≤∑9i=1xijk≤2k=1，…6j=1，2，3

2≤∑9i=1xijk≤3k=1，…4j=4，5，6，7

6≤∑37i=1xijk≤7k=1，…6j=1，2，3

9≤∑37i=1xijk≤10k=1，…4j=4，5，6，7

xijk只能是0或者1，i=1，…，37，j=1，……，7，k=1，…，6。

5 模型的求解

5.1 寻找问题的可行解空间

对于模型中的每个决策变量只能0或者1，因此可以看作是多目标0-1整数规划问题，其变量的个数多达37×6×3+37×4×4=1258个，使用穷举法搜索显然是不可行的。考虑到模型中决策变量特点，采用每一场次会议的分组矩阵作为变量，决策变量的个数将会降低到7个，该模型可看作是参会成员集合的组合优化问题。考虑到分组矩阵的每一行中只能有一个元素为1，其余的元素全部为0，对于第一场和第四场的分组矩阵来说有：

X1=1

1

1

1

1

1

………

1

1

1

1

1037×6，X4=1

1

1

1

……

1

1

1

1

100037×4，

显然这是满足约束条件的，9个公司的雇员董事成比例分配，37个董事在开会小组中人数均分。对于X1和X4的前9行重新排列，10-37行重新排列，就可以得到满足条件的不同场次分组矩阵X2，X3和X5，X6，X7。

对于初解X0={X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7}来说，任意同时变换X1～X7的前9行，10-37行中任意行的位置，就可得到一个满足约束条件的邻近解X′={X′1，X′2，X′3，X′4，X′5，X′6，X′7}和该初始解的邻域。

5.2 利用模拟退火算法求得全局最优解

模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）最早由Kirkpatrick等应用于组合优化领域，它是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一种随机寻优算法，其出发点是基于物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相似性。陈华根等（2004）也对模拟退火算法的机理进行了研究，模拟退火算法基本原理如下：（1）给定初始状态X，选择合适的退火策略，给定初始温度T0以足够高的值；（2）在X的邻域内选择X′，并计算Δf=f（X′）-f（X）（其中f（X）为目标函数）；（3）若Δf<0（或Δf>0）则接受X′为下一次模拟的初始状态，否则算接受新点的概率p（Δf）=exp（-Δftk），产生[0，1]区间上均匀分布的随机数c，即c=rand（1）。若p（ΔF）≥r，则接受新点做下一次模拟的初始状态，否则仍取原点作为下一次模拟的初始状态；（4）重复（2）-（3）步，直至系统达到平衡状态；（5）按第一步给定的退火策略下降t，重复（2）-（4）步，直至t=0或某一预定的低温。衰减函数的选取：衰减函数用于控制温度的退火速度，一个常用的衰减函数为 Tk+1 = K*Tk，其中K是一个非常接近于1的常数，这里我们取K=0.9。

6 实验结果与分析

根据运行程序得到其中一种会议成员的分配方案如下：

表1 上午会议安排方案

第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组

第一场

9：00～9：30 2，12，14，

24，29，34 4，9，13

20，26，35 5，10，17

19，30，32 1，8，15

23，27，36，37 3，7，18

22，28，31 6，11，16

21，25，33

第二场

9：40～10：10 1，11，14

22，30，35 3，9，13

21，27，31，37 4，7，16

20，29，34 6，10，18

24，25，36 2，12，15

19，26，33 5，8，17

23，28，32

第三场

10：20～10：50 5，11，16

22，28，31 2，12，15

21，26，34 6，10，13

20，29，35，37 3，8，18

23，27，36 4，7，14

19，30，33 1，9，17

24，25，32

表2 下午会议安排方案

第一组 第二组 第三组 第四组

第四场

2：00～2：30 4，7，12，13，17

21，28，32，35，37 1，6，9，16，20

24，26，31，34 2，8，11，14，19

23，25，29，36 3，5，10，15，18

22，27，30，33

第五场

2：40～3：10 3，5，9，15，18

23，25，29，35 1，8，12，13，17

24，27，31，36 2，6，10，16，19

22，28，30，34，37 4，7，11，14，20

21，26，32，33

第六场

3：20～3：50 1，7，9，16，18

23，26，29，35 2，8，12，13，19

21，27，31，36，37 4，6，10，14，20

22，25，30，33 3，5，11，15，17

24，28，32，34

第七场

4：00～4：30 1，8，11，16，19

22，25，29，36 2，5，9，15，18

21，26，30，33 4，6，10，13，17

23，27，32，35 3，7，12，14，20

24，28，31，34，37

其中f（x）=215.0779，m（x）=326，g（x）=48.6948。

表3 参会成员互相见面次数统计

相互见面次数 0 1 2 3 4 5

模拟退火算法 103 234 166 83 17 1

根据上表知，见面次数大部分集中在1次和2次之间，基本实现预期目标。模型的优点包括两个方面：一方面，本模型具有相当好的适用性。对于会议成员类型不同，数目任意，以及衡量交叉混合程度的标准有所增减的情况，均可应用本算法；另一方面，本模型具有很强的可推广性。由于对会议成员总数，会议场次，会员类型，参与层次等参数没有特殊要求，所以此模型有很大的可推广性。模型的缺点主要表现为：（1）权系数的取值带有一定的主观性。如果能通过严密的数学方法得出权系数的值将使模型更具科学性。（2）结果不具唯一性。随着循环次数的不同以及随机初解取值的差异，得到的minf（x）会有所不同，同时产生的分配方案也有所差异。7 结论

本文研究利用组合优化方法解决会议成员的分配问题。

首先，引入分组矩阵与相遇矩阵的概念以及他们之间存在的数学关系，以便于后面对会议成员组成的集合进行讨论，接着根据所需研究问题的限制条件确定相应的约束条件。然后，采用加权系数的方法将多目标函数归结转化为单一的目标函数，同时把分组矩阵作为决策变量，大量减少了模型中决策变量的个数，便于建立相应的数学模型。最后，通过置换初始解，得到该初始可行解的一个邻近解，进而得到该初始可行解的一个邻域，继而采用模拟退火算法在全局范围内进行迭代，最终可以得到该模型的一个较为满意的解，从而解决会议成员的分配问题。

参考文献

[1]西蒙.管理决策新科学[M].北京：中国科学社会出版社，1982.

[2]斯蒂芬·P·罗宾斯.管理学（第九版）[M].北京：中国人民大学出版社，2008.

[3]刘兴堂，梁炳成.复杂系统建模理论、方法与技术[M].北京：科学出版社，2008，（1）.

[4]模拟退火算法[EB/OL].http：//baike.baidu.com/view/18185.htm.

[5]陈华根，吴健生.模拟退火算法机理研究[J].同济大学学报，2004，32（6）：802805.

1

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100037×4，

显然这是满足约束条件的，9个公司的雇员董事成比例分配，37个董事在开会小组中人数均分。对于X1和X4的前9行重新排列，10-37行重新排列，就可以得到满足条件的不同场次分组矩阵X2，X3和X5，X6，X7。

对于初解X0={X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7}来说，任意同时变换X1～X7的前9行，10-37行中任意行的位置，就可得到一个满足约束条件的邻近解X′={X′1，X′2，X′3，X′4，X′5，X′6，X′7}和该初始解的邻域。

5.2 利用模拟退火算法求得全局最优解

模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）最早由Kirkpatrick等应用于组合优化领域，它是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一种随机寻优算法，其出发点是基于物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相似性。陈华根等（2004）也对模拟退火算法的机理进行了研究，模拟退火算法基本原理如下：（1）给定初始状态X，选择合适的退火策略，给定初始温度T0以足够高的值；（2）在X的邻域内选择X′，并计算Δf=f（X′）-f（X）（其中f（X）为目标函数）；（3）若Δf<0（或Δf>0）则接受X′为下一次模拟的初始状态，否则算接受新点的概率p（Δf）=exp（-Δftk），产生[0，1]区间上均匀分布的随机数c，即c=rand（1）。若p（ΔF）≥r，则接受新点做下一次模拟的初始状态，否则仍取原点作为下一次模拟的初始状态；（4）重复（2）-（3）步，直至系统达到平衡状态；（5）按第一步给定的退火策略下降t，重复（2）-（4）步，直至t=0或某一预定的低温。衰减函数的选取：衰减函数用于控制温度的退火速度，一个常用的衰减函数为 Tk+1 = K*Tk，其中K是一个非常接近于1的常数，这里我们取K=0.9。

6 实验结果与分析

根据运行程序得到其中一种会议成员的分配方案如下：

表1 上午会议安排方案

第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组

第一场

9：00～9：30 2，12，14，

24，29，34 4，9，13

20，26，35 5，10，17

19，30，32 1，8，15

23，27，36，37 3，7，18

22，28，31 6，11，16

21，25，33

第二场

9：40～10：10 1，11，14

22，30，35 3，9，13

21，27，31，37 4，7，16

20，29，34 6，10，18

24，25，36 2，12，15

19，26，33 5，8，17

23，28，32

第三场

10：20～10：50 5，11，16

22，28，31 2，12，15

21，26，34 6，10，13

20，29，35，37 3，8，18

23，27，36 4，7，14

19，30，33 1，9，17

24，25，32

表2 下午会议安排方案

第一组 第二组 第三组 第四组

第四场

2：00～2：30 4，7，12，13，17

21，28，32，35，37 1，6，9，16，20

24，26，31，34 2，8，11，14，19

23，25，29，36 3，5，10，15，18

22，27，30，33

第五场

2：40～3：10 3，5，9，15，18

23，25，29，35 1，8，12，13，17

24，27，31，36 2，6，10，16，19

22，28，30，34，37 4，7，11，14，20

21，26，32，33

第六场

3：20～3：50 1，7，9，16，18

23，26，29，35 2，8，12，13，19

21，27，31，36，37 4，6，10，14，20

22，25，30，33 3，5，11，15，17

24，28，32，34

第七场

4：00～4：30 1，8，11，16，19

22，25，29，36 2，5，9，15，18

21，26，30，33 4，6，10，13，17

23，27，32，35 3，7，12，14，20

24，28，31，34，37

其中f（x）=215.0779，m（x）=326，g（x）=48.6948。

表3 参会成员互相见面次数统计

相互见面次数 0 1 2 3 4 5

模拟退火算法 103 234 166 83 17 1

根据上表知，见面次数大部分集中在1次和2次之间，基本实现预期目标。模型的优点包括两个方面：一方面，本模型具有相当好的适用性。对于会议成员类型不同，数目任意，以及衡量交叉混合程度的标准有所增减的情况，均可应用本算法；另一方面，本模型具有很强的可推广性。由于对会议成员总数，会议场次，会员类型，参与层次等参数没有特殊要求，所以此模型有很大的可推广性。模型的缺点主要表现为：（1）权系数的取值带有一定的主观性。如果能通过严密的数学方法得出权系数的值将使模型更具科学性。（2）结果不具唯一性。随着循环次数的不同以及随机初解取值的差异，得到的minf（x）会有所不同，同时产生的分配方案也有所差异。7 结论

本文研究利用组合优化方法解决会议成员的分配问题。

首先，引入分组矩阵与相遇矩阵的概念以及他们之间存在的数学关系，以便于后面对会议成员组成的集合进行讨论，接着根据所需研究问题的限制条件确定相应的约束条件。然后，采用加权系数的方法将多目标函数归结转化为单一的目标函数，同时把分组矩阵作为决策变量，大量减少了模型中决策变量的个数，便于建立相应的数学模型。最后，通过置换初始解，得到该初始可行解的一个邻近解，进而得到该初始可行解的一个邻域，继而采用模拟退火算法在全局范围内进行迭代，最终可以得到该模型的一个较为满意的解，从而解决会议成员的分配问题。

参考文献

[1]西蒙.管理决策新科学[M].北京：中国科学社会出版社，1982.

[2]斯蒂芬·P·罗宾斯.管理学（第九版）[M].北京：中国人民大学出版社，2008.

[3]刘兴堂，梁炳成.复杂系统建模理论、方法与技术[M].北京：科学出版社，2008，（1）.

[4]模拟退火算法[EB/OL].http：//baike.baidu.com/view/18185.htm.

[5]陈华根，吴健生.模拟退火算法机理研究[J].同济大学学报，2004，32（6）：802805.

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100037×4，

显然这是满足约束条件的，9个公司的雇员董事成比例分配，37个董事在开会小组中人数均分。对于X1和X4的前9行重新排列，10-37行重新排列，就可以得到满足条件的不同场次分组矩阵X2，X3和X5，X6，X7。

对于初解X0={X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7}来说，任意同时变换X1～X7的前9行，10-37行中任意行的位置，就可得到一个满足约束条件的邻近解X′={X′1，X′2，X′3，X′4，X′5，X′6，X′7}和该初始解的邻域。

5.2 利用模拟退火算法求得全局最优解

模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）最早由Kirkpatrick等应用于组合优化领域，它是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一种随机寻优算法，其出发点是基于物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相似性。陈华根等（2004）也对模拟退火算法的机理进行了研究，模拟退火算法基本原理如下：（1）给定初始状态X，选择合适的退火策略，给定初始温度T0以足够高的值；（2）在X的邻域内选择X′，并计算Δf=f（X′）-f（X）（其中f（X）为目标函数）；（3）若Δf<0（或Δf>0）则接受X′为下一次模拟的初始状态，否则算接受新点的概率p（Δf）=exp（-Δftk），产生[0，1]区间上均匀分布的随机数c，即c=rand（1）。若p（ΔF）≥r，则接受新点做下一次模拟的初始状态，否则仍取原点作为下一次模拟的初始状态；（4）重复（2）-（3）步，直至系统达到平衡状态；（5）按第一步给定的退火策略下降t，重复（2）-（4）步，直至t=0或某一预定的低温。衰减函数的选取：衰减函数用于控制温度的退火速度，一个常用的衰减函数为 Tk+1 = K*Tk，其中K是一个非常接近于1的常数，这里我们取K=0.9。

6 实验结果与分析

根据运行程序得到其中一种会议成员的分配方案如下：

表1 上午会议安排方案

第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组

第一场

9：00～9：30 2，12，14，

24，29，34 4，9，13

20，26，35 5，10，17

19，30，32 1，8，15

23，27，36，37 3，7，18

22，28，31 6，11，16

21，25，33

第二场

9：40～10：10 1，11，14

22，30，35 3，9，13

21，27，31，37 4，7，16

20，29，34 6，10，18

24，25，36 2，12，15

19，26，33 5，8，17

23，28，32

第三场

10：20～10：50 5，11，16

22，28，31 2，12，15

21，26，34 6，10，13

20，29，35，37 3，8，18

23，27，36 4，7，14

19，30，33 1，9，17

24，25，32

表2 下午会议安排方案

第一组 第二组 第三组 第四组

第四场

2：00～2：30 4，7，12，13，17

21，28，32，35，37 1，6，9，16，20

24，26，31，34 2，8，11，14，19

23，25，29，36 3，5，10，15，18

22，27，30，33

第五场

2：40～3：10 3，5，9，15，18

23，25，29，35 1，8，12，13，17

24，27，31，36 2，6，10，16，19

22，28，30，34，37 4，7，11，14，20

21，26，32，33

第六场

3：20～3：50 1，7，9，16，18

23，26，29，35 2，8，12，13，19

21，27，31，36，37 4，6，10，14，20

22，25，30，33 3，5，11，15，17

24，28，32，34

第七场

4：00～4：30 1，8，11，16，19

22，25，29，36 2，5，9，15，18

21，26，30，33 4，6，10，13，17

23，27，32，35 3，7，12，14，20

24，28，31，34，37

其中f（x）=215.0779，m（x）=326，g（x）=48.6948。

表3 参会成员互相见面次数统计

相互见面次数 0 1 2 3 4 5

模拟退火算法 103 234 166 83 17 1

根据上表知，见面次数大部分集中在1次和2次之间，基本实现预期目标。模型的优点包括两个方面：一方面，本模型具有相当好的适用性。对于会议成员类型不同，数目任意，以及衡量交叉混合程度的标准有所增减的情况，均可应用本算法；另一方面，本模型具有很强的可推广性。由于对会议成员总数，会议场次，会员类型，参与层次等参数没有特殊要求，所以此模型有很大的可推广性。模型的缺点主要表现为：（1）权系数的取值带有一定的主观性。如果能通过严密的数学方法得出权系数的值将使模型更具科学性。（2）结果不具唯一性。随着循环次数的不同以及随机初解取值的差异，得到的minf（x）会有所不同，同时产生的分配方案也有所差异。7 结论

本文研究利用组合优化方法解决会议成员的分配问题。

首先，引入分组矩阵与相遇矩阵的概念以及他们之间存在的数学关系，以便于后面对会议成员组成的集合进行讨论，接着根据所需研究问题的限制条件确定相应的约束条件。然后，采用加权系数的方法将多目标函数归结转化为单一的目标函数，同时把分组矩阵作为决策变量，大量减少了模型中决策变量的个数，便于建立相应的数学模型。最后，通过置换初始解，得到该初始可行解的一个邻近解，进而得到该初始可行解的一个邻域，继而采用模拟退火算法在全局范围内进行迭代，最终可以得到该模型的一个较为满意的解，从而解决会议成员的分配问题。

参考文献

[1]西蒙.管理决策新科学[M].北京：中国科学社会出版社，1982.

[2]斯蒂芬·P·罗宾斯.管理学（第九版）[M].北京：中国人民大学出版社，2008.

[3]刘兴堂，梁炳成.复杂系统建模理论、方法与技术[M].北京：科学出版社，2008，（1）.

[4]模拟退火算法[EB/OL].http：//baike.baidu.com/view/18185.htm.

[5]陈华根，吴健生.模拟退火算法机理研究[J].同济大学学报，2004，32（6）：802805.