一元二次方程根与系数关系的七种应用

陈显华

摘要：一元二次方程根与系数的关系是初中数学教学中的重要内容之一，也是每年中考的热点，其应用较为广泛。笔者在教学中将其应用总结为七种，现与同行进行分享。

关键词：一元二次方程；根；系数；应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）02-0121

一、检验方程的根

若x1、x2同时满足x1+x2=-■，x1·x2=■，则x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实根，否则就不是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实根。反过来也成立。

例1. 一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是另一个根的2倍，则（ ）

A. 4b2=9c B. 2b2=9ac C. 2b2=9a D. 9b2=2ac

解：设原方程的一个根是2x1 ，则另一个根是x1，由一元二次方程根与系数的关系知

x1+2x1=-■ ·····①x1·2x1=■ ·····②

由①，得 x1=-■ ·····③

将③代入②中得 2（-■）2=■，

化简后得 2b2=9ac。

所以选答案B。

二、求方程的根

例2. （河南省）已知关于x的方程5x2+kx-6=0的一个根是2，设方程的另一个根是x1，则有（ ）

A. x1=■，k=-7 B. x1=-■，k=-7

C. x1=-■，k=7 D. x1=■，k=7

解：由题意得 2x1=-■ ∴ x1=-■

又（-■）+2=-■

∴ k= -5[（-■）+2]=-7 .

∴ 选答案B。

例3. 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。

解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程

x2-8x+9=0的两个根。

解这个方程，得

x1=4+■，x2=4-■。

因此，这两个数是4+■，4- ■。

三、求关于根的对称式的值（或最值）

例4. （河北省）若x1、x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. 7

分析：因为x1+x2=（x1+x2）2-2x1x2，所以由根与系数的关系写出x1+x2，x1·x2后代入即可。

解：∵ x1，x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根，

∴x1+x2=■， x1·x2=■。

∴x1+x2=（x1+x2）2-2x1x2=■。

∴ 选答案A。

例5. 已知方程x2-（k-2）x+k2-k-5=0的两实根是α、β，求α2+β2的最大值。

解：因为方程x2-（k-2）x+k2-k-5=0有两实根，所以其判别式

△=[-（k-2）]2-4（k2-k-5）≥0。即-3k2+24≥0。

所以-2■≤k≤2■。

又因为α、β是方程x2-（k-2）x+k2-k-5=0的两实根，所以

α+β=k-2，α·β= k2-k-5。

因此，α2+β2=（α+β）2-2αβ

=-（k+1）2+15。

所以，当k=-1时，α2+β2的值最大，且最大值为15。

四、求作一元二次方程

例6. （西宁市）以5-2■与5+2■为根的一元二次方程是（ ）

A. x2-10x+1=0 B. x2+10x-1=0

C. x2+10x+1=0 D. x2-10x-1=0

解：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

x2-（x1+x2）x+x1x2=0。

∴ 所求方程是x2-[（5-2■）+（5+2■）]x+（5-2■）（5+2■）=0。

即 x2-10x+1=0。

∴选答案A。

五、确定方程中字母的取值

例7. 关于x的一元二次方程4x2-2（m+1）x+m=0的两根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求m的值。

解：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则由题意有

cosα+cosβ=■ ······①osαcosβ=■ ······②

把①两边平方得

cos2α+2cosαcosβ+cos2β=■ ······③

又 sinα=cosβ且 sin2α+cos2α=1 ······④

由②、③、④得 1+2·■=■。

解此方程得m =±■。但cosαcosβ>0，所以m =■。

六、证明同一方程中系数之间的特殊关系

例8. 如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之比为2∶3，求证6b2=25ac。

证明：设原方程的两根分别为2k、3k（k≠0），由根与系数的关系知

2k+3k=-■ ······①

2k·3k=■ ······②

从①中求出 k=-■ ······③

将③代入②中并化简得 6b2=25ac。

七、判断一元二次方程实根的符号及性质

设方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式为△，x1、x2为其二实根，则⑴当△≥0，x1+x2>0，x1·x2>0时，两实根同正；⑵当△≥0，x1+x2<0，x1·x2>0时，两实根同负；⑶当△>0，x1+x2>0，x1·x2<0时，两实根异号且正根的绝对值较大；⑷当△>0，x1+x2<0，x1·x2<0时，两实根异号且负根的绝对值较大；⑸当b≠0，c=0时，方程只有一零根；⑹当b=c=0时，方程有两个零根。

例9. 已知方程x2-（m-1）x+m-7=0，m为何值时，①方程有两个正根？②方程的两根异号？

解：因为原方程的判别式△=[-（m-1）]2-4（m-7）=（m-3）2+20>0，所以无论m取何值，原方程都有两个不相等的实根x1、x2。

① 要使原方程有两个正根，必须使 x1+x2>0x1·x2>0 即 m-1>0m-7>0 亦即m>7。

②要使原方程的两根异号，必须使x1·x2<0，即m-7<0，亦即m<7.

（作者单位：甘肃省陇南市武都区两水中学 746000）