轴对称稳定温度场中混凝土圆柱体热应力的解析分析*

梁 磊，赵 文，李 艺

(1.盘锦市建设工程质量监督站，辽宁 盘锦 124010；2.东北大学 资源与土木工程学院 ，辽宁 沈阳 110819)

圆筒在温度场中的热应力，吕运冰[1]、Ding H J[2]、绍珠山[3]等做了大量的研究工作，但是应用于混凝土的较少。在现代结构工程中，混凝土承受50 ℃以上温度荷载的情况日益增多，包括诸如承压熔炉、烟囱、核反应堆等工业安装装置[4-5]。此时，温度变化产生的胀缩受到外部或内部约束的限制而不能自由进行，结构或部件的内部将有热应力产生。

本文结合课题，主要考虑贮存核废料的混凝土容器—混凝土桶内核废料长期衰变放热达到稳定温度场时的情况，对其进行热应力的解析分析。利用混凝土圆柱体的测温试验和Matlab7.0软件，得到了算例的热应力解析解。从而得到了一种通过布点进行温度测试，由拟合的温度场应用热应力解析分析来求解轴对称稳定温度场中混凝土圆柱体的热应力的方法。

1 轴对称稳定温度场的解法思想

由文献[6]可知，对于圆筒或圆柱体，无内热源的稳定温度场的热传导微分方程为

(1)

此时属于轴对称问题。各处的应力、应变和位移分量都对称于z轴，这些物理量只是r和z的函数，不随θ变化，忽略体力的应力可由位移和温差表达[7]：

(2)

式中，u、w为质点沿r方向、z轴的位移；T为温度变化；G为剪切弹性模量，G=E/[2(1+μ)]；β为热应力系数，β=αE/(1-2μ)；μ为泊松比，假定其为常数；α为线膨胀系数，假定其为常数。

通过位移法，利用位移势函数，见式(3)，可得到应力表达如式(4)[6]：

(3)

(4)

由Ψ解得的非奇次特解往往不满足边界条件，因此引入能使基本方程成为双调和方程的Love函数。由等温弹性理论及式(2)，L对应的应力分量为：

(5)

取L=-EL*∕(1+μ)，将其代入式(5)中应力分量表达式，并把得到的结果与式(4)中的应力分量相叠加，得到：

(6)

2 轴向温度有变化时热应力分析

对于轴向温度有变化的轴对称稳定温度场，利用分离变量法，令T=R(r)·Z(z)，从式(1)解得：

(7)

其中X为常数，对于圆筒顶端和底端同时受热的情况，以其中心为坐标原点，有Z(z)=Z(-z)。当X=0时，解得轴向温度为常数，这不符合轴向温度变化，因此考虑X不为零的情况。

2.1 轴向温度为指数函数时圆筒的热应力

当X<0，设X=-m2(m≠0)，根据文献[8]，代入式(7)解出：

T=[G3J0(mr)+G4Y0(mr)](G1emz+G2e-mz)

(8)

为了方便书写，引入如下函数：

U=U(mr)=U1J0(mr)+U2Y0(mr)

U′=U′(mr)=U1J1(mr)+U2Y1(mr)

(9)

式中J0(mr)、J1(mr)为第一类零、一阶Bessel函数；

Y0(mr)、Y1(mr)为第二类零、一阶Bessel函数；

U1～U2、G1～G4为系数。

文献[6]中提到L*包括满足拉普拉斯方程和双调和方程两个部分，根据式(3)、(8)、(9)、(6)，利用Bessel函数的性质，取Ψ、L*为以下形式：

(10)

由此可得到既满足位移法基本方程，又满足边界条件的应力分量，见式(11)。式(10)、(11)中A～F、A′～F′的表达方式见式(9)中U、U′，其中A1=G3·G1，A2=G4·G1，B1=G3·G2，B2=G4·G2。

根据边界自由条件，把圆筒的内、外半径代入式(11)的第一式和第四式，使指数函数的系数为零，从而可解出待定系数C1～F2。

(11)

2.2 轴向温度为三角函数时圆筒的热应力

当X>0，设X=m2(m≠0)，根据文献[8]，代入式(7)解出：

T=[G3I0(mr)+G4K0(mr)](G1cosmz+G2sinmz)

(12)

为了方便书写，引入如下函数：

U=U(mr)=U1I0(mr)+U2K0(mr)

U′=U′(mr)=U1I1(mr)-U2K1(mr)

(13)

式中I0(mr)、I1(mr)为第一类零、一阶变型Bessel函数；

K0(mr)、K1(mr)为第二类零、一阶变型Bessel函数；

U1～U2、G1～G4为系数。

文献[6]中提到L*包括满足拉普拉斯方程和双调和方程两个部分，根据式(3)、(12)、(13)、(6)，利用Bessel函数的性质，取Ψ、L*为以下形式：

(14)

由此可得到既满足位移法基本方程，又满足边界条件的应力分量，见式(15)。式(14)、(15)中A～F、A′～F′的表达方式见式(13)中U、U′，其中A1=G3·G1，A2=G4·G1，B1=G3·G2，B2=G4·G2。

根据边界自由条件，把圆筒的内、外半径代入式(15)的第一式和第四式，使三角函数的系数为零，从而可解出待定系数C1～F2。

{[2A+D+2(2-μ)C+mr(A′+C′)]cosmz+

[2B-E-2(2-μ)F+mr(B′-F′)]sinmz}

{[mr(A+C)+D′+2(1-μ)C′]sinmz+

[mr(-B+F)+E′+2(1-μ)F′]cosmz}

(15)

3 温度场的试验测试

试验选用华日牌42.5#普通硅酸盐水泥，密度为3 000 kg/m3；细度模数为2.6的中砂，密度为2 630 kg/m3；最大粒径为20 mm的碎石，密度为2 730 kg/m3;花王萘系减水剂；鞍山钢铁集团矿渣开发公司提供的矿渣微粉，密度为2 910 kg/m3，比表面积为430 m2/kg；汕特龙湖科技实业公司提供的粉状P803消泡剂。采取配合比见表1。

表1 混凝土测温试验配合比

焊接一个Φ6钢筋网架，在所测点位置(以成型后混凝土圆柱体中心为柱坐标系原点，z为0、6、12、18、24 cm，r为0、4、8 cm处)放置数字式温度传感器DS18B20，其不同于以往的模拟式温度传感器，不需要稳定的参考电压、信号调理电路、高位数的A/D转换器，因此能够利用便携式仪表进行测量，并可自动识别测温处的点号。将钢筋网架放入内径为200 mm，壁厚为2 mm，长度为550 mm的GFRP空心圆筒内，圆筒底部用4 mm厚圆形铝塑板粘合玻璃胶封严，见图1(a)。

浇筑之前将温度传感器导线标号并导出圆筒。混凝土浇筑后，放入养护室按照GBJ81-85养护成型，GFRP圆筒外壁用手动砂轮切开并卸下，成型后的混凝土圆柱体见图1(b)。

储藏低中放核废料的混凝土的温度能达到150 ℃[9]，但考虑到数字式温度传感器DS18B20在120 ℃以上的测试还不够精确，因此混凝土圆柱体的受热温度选用与150 ℃相近的100 ℃和120 ℃。

混凝土圆柱体在受热前，测得内部温度为20 ℃，采用电热鼓风干燥箱对其进行加热，受热时间分别为3、6、12 h。利用测温仪表通过导线测得混凝土圆柱体内部温度如表2。

4 圆柱体算例分析

经过试验，受热3、6 h的混凝土圆柱体中心轴处的温度和烘箱温度设定值有较大差距；受热12 h的混凝土圆柱体中心轴处的温度和烘箱温度设定值十分相近，见表2。考虑到测温过程中热量随测温进程的散失、温度传感器±0.5 ℃的误差，以及本文所需温差不随时间改变的情况，故认为受热12 h的混凝土圆柱体内部温度场达到了稳定状态。

如上节坐标系，因顶端、底端受热一致，所以可将r为8 cm处的温升表示为cosz、sin|z|、cosz+sin|z|、e|z|、e-|z|、ez+e-z的级数形式，但级数的各项系数如果过大，将导致温度场精度不足。在求出结果经过比较后发现，温升表示为e|z|的级数时，其系数最小。由于圆柱体关于z=0平面对称，故以下只研究圆柱体上半部的情况，此时其温度场可表达为

(16)

如果已知圆柱体内部r=a和外部r=b的温度函数(考虑z=0平面上部)：

(17)

则温度场表达式中的系数为：

(18)

取a=0，b=0.08，由第二类Bessel函数的性质可知Y0(0)为负无穷，因此A2m等于零，而A1m应用洛毕塔法则求解，为

(19)

把A1m记为Am。代入表2中r为8 cm处的试验值，得到受热100 ℃、120 ℃达稳定时混凝土圆柱体的温升分别为式(20)、(21)。把测点坐标代入式(20)、(21)，与试验值对比见表2，可见二者十分接近，拟合效果较好，于是可求得热应力，见式(22)。

T={-360.1 1 931.6 -2 924.6 1 864.1 -436.2}·

{J0(r)ezJ0(2r)e2 zJ0(3r)e3 zJ0(4r)e4 zJ0(5r)e5 z}T

(20)

T={-225.2 1 684.7 -2 767.6 1 856.1 -452.1}·

{J0(r)ezJ0(2r)e2 zJ0(3r)e3 zJ0(4r)e4 zJ0(5r)e5 z}T

(21)

表2 解析值与试验值的对比

J0(mr)+mr(Am+Cm)J1(mr)}

[2(1-μ)Cm-mDm]J1(mr)}

(22)

由边界自由得到Cm、Dm如式(23)。限于试验条件并考虑到弹性模量、热膨胀系数及泊松比表达式与所求热应力为线性关系，见式(22),在同种情况时的结果分析中热应力之间比例与此无关，故混凝土的热工参数计算采用文献[10]、[11]的方法。测得同期制作的混凝土立方体抗压强度标准值为55 MPa，从而得到100 ℃、120 ℃时，混凝土弹性模量和热膨胀系数分别为3.25×1010Pa、6.07×10-6℃-1；3.15×1010Pa、6.10×10-6℃-1。将其代入式(22)，泊松比取0.2，根据文献[12]，应用Matlab7.0算得混凝土圆柱体受热稳定时的应力分布如图2所示。

(23)

图2 烘箱温度为100 ℃时混凝土圆柱体热应力解析解

图3 烘箱温度为120 ℃时混凝土圆柱体热应力解析解

从图2、3可以看出，受热温度有变化时，应力分布的形状没有改变：径向正应力σr在中心轴处的变化幅度较大，顶部中心附近处于受拉状态，在中心轴顶点达到最大拉应力，在中心平面(z=0)处应力值较稳定，基本处于受压状态；环向正应力σθ整体上较为平坦，处于受拉状态，只是在靠外侧的顶部应力变化幅度较大，由受拉状态急剧过渡到受压状态，并在外侧顶点达到最大压应力；轴向正应力σz基本上都处于受拉状态，靠外侧顶部附近应力变化幅度较大，并在外侧顶点达到最大拉应力；剪应力τrz随柱坐标z向变化明显、幅度较大，应力的方向也发生改变，其值在中心轴顶部较大，并在中心轴顶点达到最大值。

表3 混凝土圆柱体热应力解析解的最大值和最小值

圆柱体受热稳定时应力最大值和最小值(考虑到应力的方向，参照文献[6]规定)，见表3。可以看出，由外部温度试验数据出发求解的热应力，当烘箱温度由100 ℃变为120 ℃时，没有出现数量级的变化，但受热温度为120 ℃时，轴对称稳定温度场对混凝土圆柱体产生的热应力值要比受热温度为100 ℃大。σr的范围为其1.414倍；σθ的范围为其1.421倍；σz的范围为其1.336倍；τrz的范围为其1.495倍。

5 结 论

轴对称稳定温度场中热应力进行解析求解时要求温度场经过拟合，本文通过布点得到混凝土圆柱体内部测温结果，拟合出精度较好的温度场，从而根据解析结果，利用Matlab计算得到混凝土圆柱体内部的热应力。通过以上方法及分析得知：

1)圆柱体表面温度表达为幂为正的指数函数时，拟合的温度场精度较好。

2)轴对称稳定温度场的热应力求解中，应由准确的外部温度试验值出发求解；受热温度由100 ℃变为120 ℃时，混凝土圆柱体应力分布的形状没有改变，内部的应力值处于同一个数量级，应力范围增大了0.4倍左右。

参考文献：

[1]吕运冰,肖金生,张开银.功能梯度材料圆筒的定常温度分布及热应力[J].武汉交通科技大学学报,1997,21(2):158-163.

[2]DING H J,WANG H M,CHEN W Q.A theoretical solution of cylindrically isotropic cylindrical tube for axisymmetric plane strain dynamic thermoelastic problem[J].ACTA Mechanica Solida Sinica,2001,14(4):357-363.

[3]绍珠山.有限长FGM圆筒的热/机应力的解析解[J].应用力学学报,2006,23(1):80-84.

[4]LUCCIONI B M,FIGUEROA M I,DANESI R F.Thermo-mechanic model for concrete exposed to elevated temperature[J].Engineering Structures,2003,25(6):729-742.

[5]李艺，赵文，梁磊，等.贮存核废料用混杂纤维混凝土弯曲性能试验研究[J].中山大学学报：自然科学版，2009,48(6)：143-146.

[6]严宗达,王洪礼.热应力[M].三河:高等教育出版社,1993:1-238.

[7]李维特,黄保海,毕仲波.热应力理论分析及应用[M].北京:中国电力出版社,2004:89-99.

[8]车向凯.工程技术中常用的数学方法[M].沈阳:东北大学出版社,1998:109-272.

[9]MARTA C,ABDELHAFID K,GEORGE C,et al.Effects and interactions of temperature and stress-level related damage on permeability of concrete[J].Cement and Concrete Research,2007,37(1):79-88.

[10]吴波,马忠诚,欧进萍.高温后混凝土变形特性及本构关系的试验研究[J].建筑结构学报,1999,20(5):42-49.

[11]李丽,胡海涛.钢筋混凝土结构高温性能研究综述[J].青岛建筑工程学院学报,2004,25(3):33-38.

[12]王沫然.MATLAB与科学计算[M].北京:电子工业出版社,2003:26-166.