聚焦数学建模释放学习活力

黄乐华

(韶关学院韶州师范分院数学系，广东韶关 512026)

当前我国高等数学教育存在的问题，确实给学生主体活力带来障碍，对学生潜力发挥形成束缚.“如何释放学生的活力、开发学生的潜力”已成为深化数学教育改革的重点、难点.在我国，自1994年全国大学生数学建模竞赛举办以来，竞赛的规模以年均增长25%以上的速度蓬勃发展:从1994年196个学校的867支参赛队，到2013年1326个学校的23193支参赛队，参赛队壮大了近27倍.光明日报在《数学建模竞赛实现了什么》[1]一文从“提高学生综合素质”、“推动高校教育改革”、“数学建模竞赛的国际效应”等方面介绍了数学建模.

作为一项改革实践，数学建模出发点和落脚点是培养学生的创新精神和实践能力，根本目的是提高学生的综合素质.作为一种成功的教学实践，数学建模以重点突破、整体推进的方式推动高等数学教育改革，它究竟在提高高等数学教学质量方面有何作为，又是如何起到“一子落而满盘活”的效应的?下面笔者从以下三个方面对此进行阐述.

1 数学建模以数学文化为支撑，激发学生学数学、用数学的内生动力和长远后劲，让学生发展的空间更广

数学教育本质上是一种素质教育.目前教育中存在一种比较普遍的倾向，就是人为地将知识、能力和素质分离、隔裂甚至对立起来，而不是将它们看成紧密联系的整体，以至于学生学习数学的内生动力不足，也缺乏长远后劲.数学在多大程度上落实素质教育的要求，取决于学习知识、培养能力和提高素质这三者之间的平衡，把握好它们之间的度着力点在于数学文化.

大家知道，数学历来是人类文化的一个重要组成部分，一直是形成现代文化的主要力量.那么数学究竟是通过什么途径形成文化力的呢?搞清楚这个问题才能以正确的方式将数学文化的核心价值观转化为学生的自觉追求，也是把握学生学习数学定力的关键所在.

数学文化的核心价值观是公理演绎体系.公理演绎体系的发明者是古希腊数学家欧几里德，他在《几何原本》中将概念、公理和定理用逻辑关系整合在一起，成为一种层层推进、步步关联的理论体系.后来，牛顿用自己发明的微积分方法详尽描述了物体的运动，并把由此获得的运动规律与若干基本物理与力学概念结合在一起，构成了一个严密的公理化系统，几乎把当时已知的自然知识全部囊括其中.伴随着经典物理学的成功，公理演绎体系成为科学理论的“标准模型”，成为强有力的理论分析工具，也成为一种几乎无坚不摧的科学方法.

公理化演绎突出地表现为数学的思考方式.在人们认识世界和改造世界的过程中，数学作为一种精确的语言和一个有力的工具，一直发挥其关键性、甚至决定性的作用.数学之所以起着极其重要的作用，非常关键的一点就是，“数学在科学中的一个关键作用就是创建能容许人们对事实上是远为混乱的东西形成概念的理想化”[2]，运用数学特有的符号语言去把实在抽象为理想化的东西，也就是说用凝练、准确的语言把所要研究的问题描述成数学问题.更为重要的是，“数学的思考方式有着根本的重要性.简言之，数学为组织和构造知识提供方法.一旦数学用于技术，它就能产生系统的、可再现的并能传授的知识.分析、设计、建模、模拟和应用便会变成可能的高效的富有结构的活动”[3]，同时使得“数学除了锻炼敏锐的理解力、发现真理以外，它还有另一个训练全面考察科学系统的头脑的开发功能”[4].因此，数学的核心价值观表现在极其重要的数学思考方式，并通过这种方式实现数学的强大文化力.

数学模型以数学文化为支撑，本质要求理论与实际相互印证.通过数学建模，可以促进数学和其他学科、数学和文化的高度融合，并通过数学模型使得数学成为改造、理解、描绘、创造现实世界的一种力量.学生学习、掌握数学模型有利于打通数学通向文化的通道，对学生学习数学将起到固本培元的作用.在数学建模过程中，学生接触的是生动的、充满活力的数学知识，经历的是发现和创造的过程，感悟的是数学的理性精神，收获的是知识、能力及素质的迅速成长，看到的是数学的广阔空间，影响的是发展空间更广.

2 数学建模以数学实践为着力点，推动学生养成理论联系实际的学习作风，让学生学习的动力更强

从辩证唯物观点看，数学作为对客观世界的一种认识，遵循着实践——认识——再实践的认识过程，也就是说数学发展的根本动力或源泉是实践.数学家冯·诺意曼认为，“数学思想来源于经验，我想这一点是比较接近真理的，真理实在太复杂了，对之只能说接近，别的都不能说，……换句话说，在距离经验本源很远很远的地方，或者在多次‘抽象的’近亲繁殖之后，一门数学学科就有退化的危险.……总之，每当到了这种地步时，在我看来，唯一的药方就是为重获青春而返本求源:重新注入多少直接来自经验的思想.我相信，这是使题材保持清新与活力的必要条件，即使将来，这也是同样正确的.”[5]数学教育应返璞归真，真实反映数学发生、发展的原本过程，让数学回归经验、回到具体的情形，在纯数学和应用科学之间建立有机的结合，在抽象的共性和丰富多彩的个性之间建立牢固的平衡，这是数学获得源源不断的发展动力的所在.

从教育角度看，数学教学正处于严重的“脱离实际”的危险之中，直接对学生学习数学的动力构成严重的威胁.李大潜院士[6]表示，“数学原来的教学是有缺陷的.过去数学教学有天衣无缝的数学体系，看起来很美，但忽略了来龙去脉，成为一个封闭的体系”.“美的缺陷”只看到数学抽象、严谨的形式特征，却割裂了数学与外部世界的联系，使得学生认为数学是定义、规则和演绎法的游戏，以至于学生不会把具体问题数学化，即便要求他们运用数学知识解决哪怕十分简单的实际问题也会手足无措、一筹莫展，既没有动力也没有目标.教学应彻底改变这种僵化状态，可靠的、甚至唯一的路径就是顺势而为，着力反映生动的数学实践.在此基础上，因势而谋，把数学建模贯穿于数学的各门学科作为谋划学生发展的重要举措.因为，“只有在以达到有机整体为目标的前提下，以及在内在需要的引导下，自由的思维才能作出有科学价值的成果来”[7].

从学生角度看，数学建模是学生走向数学应用的必经之路，是学生形成理论联系实际的学风的重要途径.数学固有的实践性特征，决定了数学建模也是一种学习，其重要性不低于数学理论的学习.另外，学习的目的全在于应用，根本目的在于增强解决实践问题的本领.“为学之实，固在践履.苟徒知而不行，诚与不学无异”，说的就是学习的目的在于实践.通常讲数学学习，主要是指数学理论的学习，并认为只要掌握了数学理论，自然而然就能运用数学，这种看法是非常错误的.知识向能力的转化，媒介就是实践.数学建模既是数学应用的切口，也是数学实践的载体.这个小切口能够解决大问题，在数学建模中学生能真正做到“做中学”，真正认识到学以致用、用以促学、学用相长的辩证关系，从而内化于心、外化于形，并进一步形成理论联系实际的学习作风.

数学建模实用且充满挑战，如“血管的三维重建”、“公交车调度”、“奥运会临时超市网点设计”、“长江水质的评价和预测”等等.通过它，学生就能以一种踏石留印、抓铁有痕的实践方式，真正体会到“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”这句话的含义，从而促进学生对数学真正的理解与深入的独立思考，推动学生养成理论联系实际、知行合一的行为习惯，让学生的学习动力更足、更强.

3 数学建模以数学创造为突破口，激励学生树立问题意识、求新求变的实践态度，让学生创造的活力更大

数学应用于实际问题的研究，其关键就在于能建立一个较好的数学模型.就其全过程来看，大体上可归纳为三个步骤.第一，对某个实际问题进行观察、分析，把问题中的次要因素、次要关系、次要过程先撇在一边，抽出主要因素、主要关系、主要过程，作出合理的简化、假设;第二，确定模型建立中的变量和参数，找出所要研究问题与某种数学结构的对应关系，使这个实际问题转化为一个数学问题;第三，解析或近似地求解该数学问题，形成对问题的认识、判断和预测.如果数学结果能解释甚至预测实际问题中出现的现象，那么就可以付之试用;否则，就要重复建模过程.

由数学建模过程的分析可知，数学是科学探索的重要部分，数学建模抓住了数学依靠的两样东西:逻辑与创造，启动了数学思维的总钥匙.事实上，建立一个较好的数学模型，本身是一种科学探索的尝试，是一种创新实践，是一种智力的挑战.

首先，数学建模以强烈的问题意识为引领.问题意识在思维和学习活动中起着重要作用，具有激发、维持的功能.“疑是思之始，学之端”、“为学患无疑，疑则有进，小疑则小进，大疑则大进”等等，强调创新源于问题，倡导学习个体的怀疑、批判精神，这比解答问题更为重要.数学建模的问题，无一不是生产或生活中需要解决的问题，它的丰富的实际应用背景潜藏着学生的好奇心，为学生提出问题提供了可能.如有这样一道题，“许多人都有过提着行李，在拥挤的登机队伍中慢慢等待登机的经历.在日益紧张的生活节奏下，如何才能合理的组织乘客登机，以实现时间和效率的最优配置?”提高登机效率，按常理或者说一般的方法应是先坐后舱、再坐中舱、最后坐前舱.但是，如果沿着这一传统思维去建模求解，而不对“常理”进行批判，就不会有“先坐窗边，再坐中间，最后坐过道”的方案，也意味着无法找出旅客登机时间和效率的最优配置.

其次，数学建模以开放的数学思维为条件.问题开放促进思维开放，思维开放激活了那种被忽视了创造发明的要素，即那种起推导和推导作用的直观要素:直观和构作.数学建模的问题来自实际，往往具有一定的开放性，没有预设的标准答案或答案不唯一，同一个问题从不同的角度去理解，会获得不同的数学模型和求解方法.也就是说，如何把握“主要与次要”关系到假设的合理性;如何确定模型中的变量和参数，关系到所要研究问题与某种数学结构的对应关系.因此，解决问题光靠逻辑是不够的，而要“面对复杂问题发挥学生的创新精神和创造力、想象力、洞察力以及解决问题的逻辑推理和量化分析能力”[8].

最后，数学建模以扎实的数学知识、过硬的数学能力为基础.要建立数学模型，没有较全面的数学基础知识是不行的.对理工科大学生来说，微积分、线性代数和概率统计知识是最基本的数学知识，最优化、组合数学、微分方程和差分方程、图论、插值与拟合等知识也是必不可少的.比如洗衣机节水问题，怎样洗衣才节水，若缺乏一定的数学基础知识，学生在建立数学模型时将不知从何下手.另外，数学建模对学生能力的要求是全面的，具体地包括查阅文献资料、分析综合、抽象概括、语言翻译以及熟练运用数学工具和计算机的能力.

总的说来，数学建模是培养学生的综合素质的有效途径.因为，数学建模是一种文化，以文化的力量让学生学到深处——切身体验到数学和现实的完美结合;数学建模是一种实践，以实践的力量让学生用到实处——切身体验到学有所成、学有所用;数学建模是一种创造，以创造的力量让学生悟到透处——切身体验到数学的基本要素，即逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性的强大合力.

[1]周远清，姜启源.数学建模竞赛实现了什么[N].光明日报，2006－01－11.

[2]Naney Kopell.We get rhythm:Dynamieal sterns of the nervous system[J].Notices of the AMS，2000(47).

[3]詹姆斯·格林姆主编，邓越凡译.数学科学·技术·经济竞争力[M].天津:南开大学出版社，1992.

[4]叶其孝.把数学建模、数学实验的思想和方法融入高等数学课的教学中去[J].工程数学学报，2003(8).

[5]中国科学院自然科学史研究所数学史组编.数学史译文集[M].上海科学技术出版社，1981

[6]李大潜.中国大学生数学建模竞赛[M].4版.北京:高等教育出版社，2011.

[7][美]R·柯朗 H·罗宾著.什么是数学[M].上海:复旦大学出版社，2012.

[8]陈华友.重视数学建模提高学生综合素质的作用[N].中国教育报，2008－10－23.