关于角平分线在三角形一章中的研究

任慧英

摘要：在三角形角平分线一章中，经常出现三角形及多边形中（内、外）角平分线的夹角计算问题，这一问题是学生学习中的重点和难点，学生对此常常不能很好地掌握。本文主要针对这一问题进行研究。

关键词：三角形；角平分线；例题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）03-0100

在三角形这一章的教学过程中，笔者发现有一类典型题经常出现，即：三角形及多边形中（内、外）角平分线的夹角计算问题，因其过程中涉及的知识较多，综合性较强，从而成为几何问题中的一个重点和难点。笔者现就这一问题进行归纳、推导。

问题1：如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点I。请你用数学表达式表示∠A与∠BIC之间具有的数量关系，并证明你的结论。

结论1：∠BIC=90°+■∠A

理由如下：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点I

∴∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB

∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB

=180°-■∠ABC-■∠ACB=180°-■（180°-∠A）=90°+■∠A

问题2：如图，点O是△ABC的外角∠DBC和∠BCE的平分线的交点，请你用数学表达式表示∠A与∠BOC之间具有的数量关系，并证明你的结论。

结论2：∠O=90°-■∠A

证法一（利用三角形内角和定理及其推论）：

∵点O是△ABC的外角∠DBC和∠BCE的平分线的交点

∴∠OBC=■∠DBC，∠OCB=■∠ECB

∴∠O=180°-∠OBC-∠OCB

=180°-■∠DBC-■∠ECB=180°-■（180°+∠A）=90°-■∠A

证法二（利用问题1中的结论）：作∠ABC，∠ACB的平分线相交于点I，则显然有∠BIC=90°+■∠A。由于邻补角的平分线互相垂直，所以，∠IBO=∠ICO=90°。

在四边形IBOC中，∠O=180°+180°-∠IBO-∠ICO-∠BIC=90°-■∠A。

问题3：如图，点D是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点，请你用数学表达式表示∠A与∠D之间具有的数量关系，并证明你的结论。

结论3：∠D=■∠A。

证法1（利用三角形外角和定理及其推论）：

∵点D是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点

∴∠DBC=■∠ABC，∠ACD=■∠ACE

∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB

=180°-∠DBC-（∠ACB+∠ACD）

=180°-■∠ABC-∠ACB-■∠ACE

=（180°-∠ABC-∠ACB）-■∠A=∠A-■∠A=■∠A。

证法2：（利用外角的性质）

∵点D是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点

∴∠DBC=■∠ABC，∠DCE=■∠ACE

∵∠ACE=∠A+∠ABC，∠DCE=∠D+∠DBC

∴∠DCE=■∠ACE=■（∠A+∠ABC）=■∠A+■∠ABC=■∠A+∠DBC∴∠D=■∠A

证法3：（利用问题1中的结论）

作∠ACB的平分线交BD于I。由结论①可知，∠BIC=90°+■∠A。

由于邻补角的平分线互相垂直，所以∠ICD=90°。

又∠BIC=∠ICD+∠D，故∠D=∠BIC-∠ICD=（90°+■∠A）-90°=■∠A。

应用举例：例1. 已知：如图，∠XOY=90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B的移动发生变请求出变化范围。

推广一：推广到三角形内角的n等分线的夹角

问题4：如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等平分线相交于点I。并且∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB请你用数学表达式表示∠A与∠BIC之间具有的数量关系，并证明你的结论。

结论4：∠BIC=120°+■∠A。理由如下：

∵∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB

∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB

=180°-■∠ABC-■∠ACB=180°-■（180°-∠A）=120°+■∠A。

问题5：如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等平分线相交于点I。并且∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB，请你用数学表达式表示∠A与∠BIC之间具有的数量关系，并证明你的结论。

结论5：∠BIC=60°+■∠A。

理由如下：∵∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB

∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB

=180°-■∠ABC-■∠ACB=180°-■（180°-∠A）=60°+■∠A。

问题6：如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的n等平分线相交于点I。并且∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■ACB，并且-1≤m≤n-1请你用数学表达式表示∠A与∠BIC之间具有的数量关系，并证明你的结论。

结论6：∠BIC=（1-■）180°+■∠A。

理由如下：∵∠IBC=■∠ABC，∠ICB=■∠ACB

∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB

=180°-■∠ABC-■∠ACB

=180°-■（180°-∠A）=（1-■）180°+■∠A。

推广二：推广至外角n的等分线的夹角

问题7：如图，点O是△ABC的外角∠DBC和∠BCE的n等分线的交点，并且∠OBC=■∠DBC，∠OCB=■∠ECB，并且1≤m≤n-1，请你用数学表达式表示∠A与∠BOC之间具有的数量关系，并证明你的结论。

结论7：∠O=（1-■）180°-■∠A。

理由如下：∵∠OBC=■∠DBC，∠OCB=■∠ECB

∴∠O=180°-∠OBC-∠OCB

=180°-■∠DBC-■∠ECB

=180°-■（180°-∠ABC+180°-∠ACB）

=180°-■（180°+∠A）=（1-■）180°-■∠A。

推广三：推广至内、外角n的等分线的夹角

问题8：如图，点D是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的n等分线的交点，并且∠DBC=■∠ABC，∠DCE=■∠ACE，并且1≤m≤n-1，请你用数学表达式表示∠A与∠D之间具有的数量关系，并证明你的结论。

结论8：∠D=■∠A。

理由如下：

∵∠DBC=■∠ABC，∠DCE=■∠ACE

∵∠ACE=∠A+∠ABC，∠DCE=∠D+∠DBC

∴∠DCE=■∠ACE=■（∠A+∠ABC）=■∠A+■∠ABC=■∠A+∠DBC∴∠D=■∠A

推广四：推广至四边形的邻角平分线的夹角

问题9：在ABCD中，BO是∠B的平分线，CO是∠C的平分线，试求∠O与∠A，∠D的关系。

结论9：∠O=■（∠A+∠D）

理由如下：∵∠ABC、∠DCB的平分线相交于点O

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠DCB

∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB

=180°-■∠ABC-■∠DCB

=180°-■（360°-∠A-∠D）=■（∠A+∠D）

应用举例：在ABCD中，BO是∠B的平分线，CO是∠C的平分线，并且∠A+∠D=200°，求∠BOC的度数。

问题10：在ABCD中，BO是∠B的n等分线，CO是∠C的n等分线，并且∠OBC=■∠ABC，∠OCB=■∠DCB，其中1≤m≤n-1，试求∠O与∠A，∠D的关系。

结论10：∠O=（1-■）180°+■（∠A+∠D）

理由如下：∵∠OBC=■∠ABC，∠OCB=■∠DCB

∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB

=180°-■∠ABC-■∠DCB

=180°-■（360°-∠A-∠D）=（1-■）180°+■（∠A+∠D）

推广五：推广至凹四边形的对角平分线的夹角

问题11：如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，假∠A>∠D，求∠P与∠A、∠D的关系。

结论11：∠P=■（∠A-∠D）

理由如下：∵∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P

∴∠ACD=2∠ACP，∠ABD=2∠ABP

又∵∠ACD=∠A+∠D+∠ABD

∴2∠ACP=∠A+∠D+2∠ABP

（上接第101页）

∴∠ACP-∠ABP=■（∠A+∠D）∵∠AEP=∠ACP+∠P，∠AEP=∠ABP+∠A

∴∠P=∠A+∠ABP-∠ACP=∠A-（∠ACP-∠ABP）=∠A-■（∠A+∠D）=■（∠A-D）

应用举例：如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（ ）

A. 15° B. 20°

C. 25° D. 30°

解题规律能帮助学生打开解题思路，加快解题速度。因此，学生在平时的学习中要重视对知识的积累、提炼、总结与提高。这五个推广前四个会自然而然想到，第五个推广是在做题中遇到的，当然还有一些情况没有讨论。比如推广四中照样可以推广到四边形外角平分线的夹角及内外角平分线的夹角的情况，还可以推广到等分线的情况，这里不再讨论。笔者相信掌握了这些解题方法，就可以触类旁通，快速找到解题思路。

（作者单位：山西省长治市沁源县太岳中学 046500）