浅谈力学中极值与临界值的求解方法

郭慧云

摘要：高中新生普遍觉得物理难学，力学中的极值与临界值的求解在力学教学中一直是一个难点。本文列举了一些典型的例题加以分析说明，旨在与同行交流切磋，找到更有效的教学方法。

关键词：力学；极值与临界值；求解方法

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)06-0125

力学中的极值与临界值的求解在力学教学中一直是一个难点，但此类问题的求解却是提高学生思维能力的有效手段，应引起我们的重视。

力学中的问题多为矢量问题，如受力、运动中的加速度、速度及位移等问题的求解。在分析求解时，矢量的正交分解和合成、相对运动中相对速度的利用等是常用的基本方法。在此基础上，对于具体的力学中的极值、临界值的求解问题，应从分析物体的受力、物体的运动过程和运动状态入手，借助于相关的数学手段加以解决。

常用的数学工具即三角函数y=sinx，y=cosx，当0≤x≤■时，有0≤y≤1；以及二次函数y=ax2+bx+c的性质、图象的特点等。下面，笔者通过几个例子来具体说明怎样求解力学中的极值和临界值。

一、极值

[例一]如图(1-1)一个质量为m的物体放在粗糙的水平面上，物体与水平面间的摩擦系数为μ。当用一外力F拉物体在水平面上沿起直线匀速前进时，问：a角多大时，拉力F最小。

[分析]我们选物体m为研究对象，受力分析如图(1-2)，G为重力，N为平面支持力，f为物体与水平面间的滑动摩擦力。由受力分析知，当a角变化时，支持力N也随之变化，又因f=μN，滑动摩擦力f也要变化，解题时，我们应把握住物体的运动状态是匀速直线运动，故所受合外力为零，采用正交分解法求出最小拉力F。

[解]如图(1-3)建立坐标系将F正交分解，由F合外=0得

Fcosa-f=0 ①

Fsina +N-G=0 ②

f=μN ③

由①、②、③式联立解得

Fcosa-μ(G- Fsina)=0 整理得

F(cosa +μsina)=μG④

在④式中，因cosa是减函数，sina是增函数，我们很难从(cosa +μsina)一项中看出力F随角度a变化的趋势，对此，我们可以令

μ=ctgθ=■

因为μ为常数，所以θ为一确定的值。把μ= ctgθ=■代入④式，得

F=(sinμcosa+sinacosμ)μGsinμ

应用sinμcosa+sinacosμ=sin(a+θ)

得F=■

因为0<μ<1，有0<θ<π/4，当a+θ=π/2时，力F有极小值为Fmin=μGsinθ

其中θ=ctg-1μ，sinθ=■，G=mg

所以，当a=(π/2)-cyg-1μ时，F有极小值Fmin=μ■

在此例中，我们主要运用数学知识sinx≤1的性质，求出含有cosa和sina函数的极值，从而得到所求物理量的极值，应注意的是，若y=sinx±μcosx也可以令μ=sinθ /cosθ，从而有y=sin(x+θ)。

通过以上例子我们可以看出，求解此类问题时一定要理解掌握物理概念和物理规律，做好必要的受力、状态、过程的分析。千万不要只追求数学手段而忽略结果的物理意义。

二、临界值

这里所述并不是数学中的临界概念，而是指一种物理过程到另一种物理过程的连接点。对这类问题，由于诸多可变参量常常使学生解题时无从下手，其实解题的关键在于求解临界状态。

[例二]物体A的质量为mA，物体B的质量为mB。两物体叠放在水平面上，如图(2-1)。物体A与物体B、物体B与水平面间的摩擦系数为μ1和μ2。当用一水平力F拉物体B时，求A与B获得的加速度aA和aB，A物体所受的摩擦力。(最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力)

[分析]由于题中力F的大小是不定值，所以解答的关键是讨论力F可能产生的几种效果，对此可分为如下几种情况：

1. 当力F不大于B物体和地面间最大静摩擦力时，A和B仍静止。

2. 当力F大于B物体和地面间最大静摩擦力时，A和B对地面运动，但A、B之间仍存在有相对运动和无相对运动两种情况。

所以，在求解过程中应抓住A、B对地有无运动，A和B之间有无相对运动两个临界状态下力F的值。

[解]A受力分析如图(2-2)、B受力分析如图(2-3)，其中地面的最大静摩擦力为μ2N地B，而N地B =(mA+mB)g。

物体A、B之间最大静摩擦力为μ1NBA，且NBA=mAg。

1.当F满足F≤μ2N地B =μ2(mA+mB)g时，物体A、B對地静止，F=μ2(mA+mB)g是物体A、B对地动与不动的临界值。

由平衡条件，此时

物体A的aA=0

物体B的aB=0

物体A给B物体的摩擦力fBA=0

2. 当F满足F>μ2N地B时，物体A、B之间仍有两种运动情况：

(1)A、B无相对运动，而以共同加速度a对地运动，这时可把A、B看成一个整体，由牛顿第二定律有

F-μ2N地B =(mA+ mB)a ①

若单独对物体A分析，由牛顿第二定律有

fBA=mAa ②

但fBA必须满足

fBA≤μ1NBA=μ1mAg③

将③代入②得a≤μ1g,，将此结果代入①

可解得当F满足：

F≤(mA+mB)μ1g+(mA+mB)μ2g=(mA+mB)g(μ1+μ2)条件时，A、B两物体不发生相对运动。其中F=(mA+mB)g(μ1+μ2)为 A、B两物体有无相对运动的临界值，从而由①解得A、B物体的共同加速度为：

aA=aa=[F-μ2(mA+mB)g]/(mA+ma)

代入②即求出A物体受的静摩擦力fBA为：

fBA=mA[ F-μ2(mA+mB)g]/(mA+ma)

(2)A、B若发生相对运动，此时应满足

F>(mA+mag)(μ1+μ2)根据牛顿第二定律，可以得到：

F-μ1NBA-μ2N地B=mBaB ①

fAB=mAaA ②

由牛顿第三定律知：fAB=fBA=μ1NBA=μ1mAg代入②得A物体的加速度为：

aA=μ1g

由①解得B物体的加速度为：

aB={F-(μ1mA+μ2mB+μ2mA)g}/mB

由上例可以知道,临界值之所以重要，是因为偏离这个值物体有不同的运动状态和运动规律，找出临界点，就可以区分物体不同的运动状态，然后才能用相应的物理规律求解。

找出极值和临界值，是求解极值和临界值问题的有效途径，我们要认真审题找出已知和未知之间相联系的物理过程和规律，特别要注意的是，极值和临界这两个特殊状态的重要物理意义，它是整个物理过程中几个不同过程和状态的连接点。