精心设计 预约精彩

曾宪学

摘要：本文以“有理数乘法法则”的新知有效建立过程为例，讲述了笔者两次试教课、一次“亮相”课共三次的“心历”。从试教到“亮相”教学实践的“心历”，深受启发：预设过了，不一定精彩；体验过了，不代表真正经历；会做了，不代表真正领会；要追求师生心灵上的交融课堂、和谐的课堂、生命的课堂，应“以学定教”，让学生成为课堂学习的主人，教师成为幕后的策划者，精心设计，预约精彩课堂。

关键词：乘法法则；教学设计；过程优化

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)06-0147

【背景】2012年9月18日，七年级区数学教研活动在我校举行。本次的活动主题是“新知的建立教学”。结合主题和教学进度,笔者确立了课题《有理数的乘法(1)》。关于有理数乘法法则的教学设计的讨论由来已久，话题的焦点主要围绕着对“负负得正”的合理性阐述的探寻与努力。有权威专家的理性设计，有一线教师的实证研究，感性与理性的思维交相辉映、多层次、多角度的碰撞，从中折射出数学思考的智慧与精彩。但最终的结局却总是遭遇尴尬，无论教师亦或学生，大多很难从自己的逻辑中，让彼此真正信服。张奠宙教授更是感慨：世界上还没有发现一个为大家普遍接受的“负负得正”的实际情境。可以说“负负得正”的教学至今仍是一个困惑初中教学的疑难问题。笔者就上述问题进行了教学实践探索与反思。

一、第一次教学实践，随心栽花花不开

笔者带着这些困惑，开始了第一次试教《有理数的乘法(1)》。以下是教学片断的描述：

师：(多媒体显示)一只小虫沿一条东西向的路线，以每分钟3米的速度向东爬行2分钟。问：小虫现在位于原来位置的哪个方向？与起点相距多少米？可以用怎样的数学式子表示？

生：小虫现在位于原来位置的向东方向6米处，算式为3×2=6

师：现在我们规定向东为正，向西为负，并将上述问题改变为：小虫向西以每分钟3米的速度爬行2分钟，那么结果有何变化？可以用怎样的算式表示？

生：小虫现在位于原来位置的向西方向6米处，算式为(-3)×2=-6

师:比较上面两个算式，你有什么发现？

生众：(沉默)

师：两个数相乘，把一个因数换成它的相反数时，所得的积是原来积的相反数。

师：请同学们完成教材第39页做一做：

(1)完成下列填空：

4×2=；(-4)×2=+=(用数轴表示)。

5×2=；(-5)×2=+=。

6×2=；(-6)×2=+=。

(2)观察上面左右两列算式中相乘两数及计算结果的符号，你有什么发现？

(学生在做，师巡视，不时指导。)

师：请同学们先比较左右两列算式中相乘的两个因数的符号有什么不同？

生1：同号得正，异号得负。

师:这位同学回答得很好，提前预习了。

生2：因数2的符号不变，另一个因数换成它的相反数。

师：积的符号有什么不同呢？

生3：所得的积是原来的相反数。

师(强调)：两个数相乘，把一个因数换成它的相反数时，所得的积是原来积的相反数。

师：猜一猜：3×(-2)= ，(-3)×(-2)= 。

生众：－6和6。

师：请同学们再完成教材第40页做一做：(1)写出下列各算式的结果：

3×7=，(-3)×7= ，3×(-7)=，

(-3)×(-7)=，0×7= ，0×(-7)=，

(2)由此你认为两个数相乘，积的符号与这两个数的符号有什么关系？积的绝对值呢？

(学生在做，师巡视，不是同学生交流。)

师：第1小题，谁来回答？

生4： 21，-21，-21，21，0，0。

师：好的。谁来回答，第二小题？

生5：同号相乘得正，异号相乘得负。

师：好，大家听明白了没有。

生：嗯

师(重复)：同号相乘得正，异号相乘得。

生众：负

师：那么绝对值相乘呢？

(学生回答各不相同)

师：那么它们积的绝对值怎么样？是不是还是保持着相乘。(教师走到讲台上)

师：0 乘以任何一个数还是得？

生众：0

师：得0，是不是？

生：是

师：好，这就是我们今天所学的有理数乘法的法则。(教师边讲边在黑板上板书)

师：大家能不能再一起来描述一下。复述一遍怎么说的。

生众：两数相乘同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，0乘以任何得0。

(教师把法则板书在黑板上)

1. 暴露的问题

本教研组教师听课后进行了议课交流，大家提出：法则教学过程中至少存在下面四个方面的问题：

(1)借助数轴采用分步概括，过于形式化。借助数轴采用分步概括的方法先得到“两个数相乘，把一个因数换成它的相反数时，所得的积是原来积的相反数”，再概括出两个负数相乘的运算法则，这样有利于学生的理解，但过于形式化。

(2)教学的语言不够精准，甚至缺乏科学性。

例如，师:“比较上面两个算式，你有什么发现？”

生：(沉默)

问题的指向不明，使得学生答不上来。

(3)有理数的乘法法则的建立花的时间过长。有理数的乘法法则的建立用了21分钟才完成。其中请同学们完成教材第39页做一做，这一任务学生需要自己画数轴，教师没有提供任务单，很费时间，花了将近10分钟。

(4)探究活动没有生成，探究成了简单的回答。

节选教学实录如下：

师：请同学们先比较左右两列算式中相乘的两个因数的符号有什么不同？

生1：同号得正，异号得负。

师：这位同学回答得很好，提前预习了。

对于一正、一负两数相乘的符号，教师原想让学生获得“两个数相乘，把一个因数换成它的相反数时，所得的积是原来积的相反数。”但学生直接说出“同号得正，异号得负”的结论，没有生成教师预设的结论。

2. 改进建议

(1)问题的设计应富有启发性、指向明确。

(2)采用课堂任务单，以提高课堂效率，缩短法则建立的时间。

(3)设计变式训练，使法则在教师的引导下自然生成。

3. 我的反思

第一次上课，是“随”自己备课、自己上课，没有经过同伴的帮助和指导，教学效果不是很理想。本節课的教学重点是运用有理数乘法法则进行乘法运算。教学难点是有理数乘法运算中符号确定的理解，选择突破难点的方法是创设恰当的教学情境，让学生在具体的生活情境中自悟确定乘积符号的一般规律。在设计的时候是想让学生借助数轴帮助学生确定乘积的符号，可以让学生尽早领悟数形结合思想方法，特别注重“法则形成过程”的教学。导致新知的建立过程花的时间过长，有点“头重脚轻”的感觉，影响了后面环节的教学，可谓是“随心栽花花不开”。

二、第二次教学实践，有心栽花零星开

笔者结合本组教师提出的问题和建议，进行重新设计。第二天，进行了《有理数的乘法(1)》第二次试教课。以下是课堂教学实录片断：

师：(多媒体显示)一只小虫沿一条东西向的路线，以每分钟3米的速度向东爬行2分钟。问：小虫现在位于原来位置的哪个方向？与起点相距多少米？

若小虫向西以每分钟3米的速度爬行2分钟，那么结果有何变化？可以用怎样的算式表示？

生众：3×2=6，(-3)×2=－6

师：涉及向东、向西的问题，我们可以用数轴直观的表示出来。(师边说边在黑板上画图演示)

师：若上述问题中“3”改变为 “4”可以得到怎样的算式表示？

生众：4×2=8，(-4)×2=-8

师：若上述问题中“3”改变为 “5”呢？

生众：5×2=10，(-5)×2=-10

师: 观察上面左右两列算式中相乘的两个因数的符号，及计算结果的符号，你有什么发现？

生1：3和-3互为相反数，6和-6也互为相反数，其中的2不变

生2：“3×2＝6”中的一个因数“３”换成它的相反数“-３”时，所得的积是原来的积“6”的相反数“-6”，

师：这两位同学回答得都很对。两个数相乘，把一个因数换成它的相反数时，所得的积是原来积的相反数。(师给以强调)

师追问：3×(-2)= (-3)×(-2)=

生众：-6和+6。

0×7= ，0×(-7)=。

生众:都是0。

师：由此你认为两个数相乘，积的符号与这两个数的符号有什么关系？积的绝对值呢？

生3：同号相乘得正，异号相乘得负。

师：那么它们积的绝对值怎么样？是不是还是保持着相乘。

(教师走到讲台上)

师：0 乘以任何一个数还是得？

生众：0

师：请小组讨论一下，怎样完整表述我们发现的结论？

(学生开始交流)

师：那个小组能派个代表描述一下，你们小组讨论的结论。

生5：两数相乘同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，0乘以任何得0。

师：好，这就是我们今天所学的有理数乘法的法则。（老师边讲边在黑板上板书）

1. 教研组评价

第一次教学实践的“导入——探究——建立法则”的教学时间过长，第二次教学实践对这一环节作了调整，整个过程自然流畅(如表1、表2，其中表1为时间统计表，表2为建立法则过程中学生回答问题情况统计表)。

2. 暴露的问题

(1)对教材的处理不够精当，以小虫爬行为情境引入，不够直观。

(2)教学的手段不够丰富，主要是教师启发引导齐声对答多，合作交流的学习活动少，法则建立的时间是缩短了，但学生没有得到充分的体验法则建立的过程。

3. 改进建议

笔者作为我校的名师培养对象，这次试教，特级教师柴老师来我校全程参与，课后评课议课时，得到了他的精心指导，并提出了宝贵的建议：

(1)对教材做个处理：用水库模型情境引入，替代小虫爬行的引入，这两个教学设计难度相当，但水库模型教学设计更加直观、生动、接近生活，能让学生感受到数学来源于实际生活，又服务于实际，能让学生感受到学习数学的必要性、重要性，从而激发学生学习数学的热忱和兴趣，提高学生的学习效率。情景引入之后，变式训练增加几道，再议一议。这样教学的设计丰富多彩些，探究法则的过程既让学生得到了充分体验，又尽快的建立起来，将过多的时间放在巩固法则和拓展应用上，这样教学自然有效。

(2)建立法则之后，应用一个生活实际模型说明有理数乘法法则的合理性。

(3)板书应设计一下，好的板书设计能给人耳目一新，在小结时学生有话说，巩固所学内容。

4. 我的反思

从教学过程来看，虽然笔者一步一步地引导、启发学生去思考和发现有理数乘法法则，体验有理数乘法法则形成过程，其中法则的建立所花的时间控制到十五分钟之内完成，大大地优化了过程，但从学生课堂练习和课后测试的效果来看，并不理想。

第二次试教，有意识的“启”，学生却未全“发”，主要是因为学生对法则的合理性理解不如意。学生在学习了法则后，难以理解其合理性。把速度、时间和位移全在数轴上表示，由于涉及到三个向量，学生容易混淆，导致出现上述尴尬的局面。可谓是“有心栽花零星开”。

三、第三次教学实践，精心栽花花盛开

笔者结合本组教师提出的问题和特级教师柴老师建议，进行了再思考、再设计、再优化。2012年9月18日，上午第三节课，笔者正式登台“亮相”，以下是《有理数的乘法(1)》教学实录片段：

师：(见右边多媒体)甲水库的水位每天升高3厘米，(利用动画显示每天上升水位的过程)如果水位上升为正，水位下降为负，那么，4天后甲水库水位的总变量是多少？

生1：甲水库水位变化量是12厘米

师：可以用怎样的算式表示？

生1： 3×4=12①

师：能不能用加法来解释？

生1：3＋3＋3＋3=12(厘米)

师：(见右边多媒体)乙水库的水位每天下降3厘米，4天后甲、乙水庫水位的总变化量又是多少？可以用怎样的算式表示？

生2：乙水库水位变化量是-12厘米，(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12

(-3)×4=-12②

师：比较上面两个算式①②，你有什么发现？(生窃窃私语，小声议论)

生3： 3和-3互为相反数，12和-12也互为相反数，其中的4不变

生4：“3×4＝12”中的一个因数“３”换成它的相反数“-３”时，所得的积是原来的积“12”的相反数“-12”，

师：如果保持“-３”不变，“4”换成它的相反数“-4”时，所得的积是多少？

生5：12

师：如果保持“-4”不变，“-３”换成它的相反数“3”时，所得的积又是多少？

生6：-12

师：你总结出规律吗？

(生跃跃欲试，自豪回答)

生7：两个数相乘，把一个因数换成它的相反数时，所得的积是原来积的相反数。

师：根据你发现的规律，想一想下列各式的积应该是多少？

3×2=； (-3)×2=；3×(-2)= ；(-3)×(-2)=。

(生纷纷举手，气氛活跃)

师：请同学们观察下面8个式子，思考并回答下列问题:

①3×2= 6 ②(-3)×2=-6③3×(-2)=-6

④(-3)×(-2)=6⑤3×4= 12⑥(-3)×4=-12

⑦3×(-4)=-12⑧(-3)×(-2)=12

观察比较你发现积的正负号与因数的正负号有什么关系？积的绝对值与因数的绝对值有什么关系？把你的想法在小组内交流，再派代表向全班同学汇报。

生8：(第二组代表)：我们组认为：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

师：其他组有要补充的吗？

生9：(第三组代表)：任何数与零相乘，都得零。

师：好，这就是我们今天所学的有理数乘法的法则，大家一起齐读熟记这个法则。(老师边讲边在黑板上板书，学生齐读。)

师：你能举出生活实际的例子，说明“负负得正”的合理性吗？

(生跃跃欲试，说不完整)

师：这种实例在生活中还真不大好找，老师举个例子你们看行不行？例如：登山运动员在登山过程中，发现高度每增加１千米，气温就下降0.6℃，他们现在所在的地方温度为0℃，相对高度记为0千米。那么相对高度为-2千米时气温为多少？能用算式表示这一过程吗？

生10：相对高度为-2千米时气温为1.2℃，规定高度增加为正，减少为负；气温提高为正，降低为负，这样就得到(-2)×(-0.6)=1.2。

师：回答得非常好，让我们用掌声奖励。

(大家鼓掌)

1. 教学实效

笔者利用了 “水库模型”教学设计替代了现教材中的数轴模型的教学设计。在教学的过程和环节上并没有缺失什么，不但不会影响学生对后面知识的学习；而且“如此替代”以后，学生对知识的理解直观、易懂，学习气氛好了，学生的学习热忱和兴趣被点燃了，课堂焕发了活力！以上教学过程，通过“精心预设”，一步一步地引导、启发学生去思考和发现有理数乘法法则，充分地让学生体验有理数乘法法则形成过程。

2. 点评

特级教师柴老师对这节课作了点评：

本节课呈现出以下三个特点：

(1)以学生活动思索为主线——让学生主动构建。

美国教育家布鲁姆认为：知识的获得是一个主动建构的过程。因此整节课以学生活动与思考为主，让学生通过观察、猜想、归纳等，使学生真正获得对知识的“消化”，引导学生认识变化过程与结果，把新的学习内容正确的纳入到已有的认知结构中，从而使其成为整个认知结构的有机组成部分。

(2)以学生主动参与为基础——让学生获得体验。

学生不是信息的被动接受者，而是知识的获得过程的主动参与者。因而本节课开始就创设生活情境，激发学生的兴趣，使学生乐于去学习。教师作为组织者参与其中，不急于表明观点，引导学生主动探索，去思考、去归纳，形成过程，使学生获得成功的体验，增强他们学好初中数学的信心。

(3)以学生获得知识为目的——让学生形成技能。

本节课在引导学生自主学习、自主建构获得知识的同时，向学生渗透分类、比较的数学思想，通过数学思想的渗透，培养学生善于把握知识之间的内在联系，全面而灵活地思考问题，让学生获得可持续发展的动力。

本节课的教学应该说是面向了全体学生，让每个学生都有机会接触、研究自己感兴趣的数学问题，经历数学新知的形成和应用过程，加深了对所学知识的理解，从而突破重难点，从课堂上学生的反应来看，教学设计合理，效果应该是非常显著。

四、对建立新概念(法则、定理)有效性的几点思考

1. 注重概念引入的有效性

在概念引入过程中，首先，要分析不同类型的数学概念的逻辑结构、概念的背景和发展情况；其次，要分析学生所处的认知结构，充分考虑学生在建立概念的过程中可能出现的困难，确定知识的生长点，从而选择合适的情景，有效地引入概念。

2. 注重概念建立过程中思维的有效性

数学概念是数学思维的载体，数学概念的形成过程是学生通过思维活动“再创造”的过程。由于学生的思维水平参差不齐，在概念建立的过程中，无论采用动手实践、自主探究还是合作学习等学习方式，都会遇到很多思维障碍，导致课堂效率低下，或者成为少数学生的表演课。这就需要教师运用教学智慧创设合理情境，降低思维起点，让更多的学生参与到思维过程中，引领学生逐渐接近概念的本质。

3. 注重教学手段的有效性

教學的手段不但要丰富，而且要讲究实效，有时还需要创新。例如，在这堂课中，笔者除了充分运用课件、实物投影外，还注重了板书的处理：在整个概念建立过程中，将学生整个思维轨迹记录下来，并使之条理化、系统化。因此，板书的过程就是学生对知识“再创造”的过程。

可见，为了有效地建立新概念，必须了解学生的认知水平、思维过程，引导学生自己发现、充分的体验概念的形成过程，而不是简单的呈现，而后通过大量的练习操练让学生掌握概念。

五、结束语

笔者从试教到“亮相”教学实践的“心历”，深受启发：预设过了，不一定精彩；体验过了，不代表真正经历；会做了，不代表真正领会；要追求师生心灵上的交融，打造和谐的课堂，生命的课堂，应“以学定教”，让学生成为课堂学习的主人，教师成为幕后的策划者，精心设计，预约精彩课堂。

参考文献：

[1] 李树臣．精心做好教学设计，努力提高教学效率[J].中国数学教育(初中版),2011(2).

[2] 田载今.“负负得正”的乘法法则可以证明吗？[J].中学数学教学参考，2005(3).

[3] 刘志强，崔向锋.由“为什么负负得正”引发的一些思考[J].中学数学教学参考，2005(12).

[4] 易倩善，罗 静.有理数乘法法则教学探讨[J].中学数学研究(广州)，2008(1).