从“来料加工工厂”学习函数

2014-04-29 20:00赵广乐高旭
中学课程辅导·教学研究 2014年19期
关键词:映射定义域函数

赵广乐 高旭

摘要:函数概念作为高中数学的基本概念和现代数学的主线,其抽象性令高中学生头痛不已。本文从生活实例出发,深入分析函数的实质,并通过生活实例详述“来料加工工厂”在函数问题解决中的具体应用。以一种生活化的、易于理解的观点诠释函数概念。

关键词:函数;“来料加工工厂”;定义域;解析式;映射

中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2014)07-0160

现实生活中,我们见过各种各样的来料加工工厂,大至国有企业沈阳飞机制造厂,小至路边的各色小吃摊、面包店,乃至我们中学生学习和生活的学校。这些地方的最大共同点是:输入各自需要的“原料”,通过某些特定的加工、生产、培养流程,生产出具备特定要求的“产品”。

其实,函数就可以视为一个“来料加工的工厂”。我们以面包厂为例,生产面包需要一套固定的流程和机器,比如:将面粉和面→将面团发酵→将发酵的面团加入各种辅料(鸡蛋、香肠、椰蓉等)→烘烤→面包出炉。我们将原料面粉视为x,产品面包视为y,则可以编拟出函数y=■。我们用平方运算表示“和面”、用“乘以2”表示“发酵”、用“加1”表示“加入各种辅料”、用“除以x”表示“烘烤”,这样面包出炉了,一个完整的函数也就建立起来。当然,每种运算具体表示什么意义是无关紧要的,重要的是通过这样的固定加工流程,我们将原料加工x成了产品y。

这样理解有什么特别的好处呢?请大家不要急,我们先来看几个例子:

题型一:解析式相关问题

1. 已知f(x),g(x)求f [g(x)]

例1. 已知f(x)=■,g(x)=■,则f [g(x)]=

这样的题目该怎么解呢?回顾上述关于函数(来料加工工厂)的理解

现实中,会有这样的例子吗?当然有,还以面包厂为例,进了一批货(面粉),发现是次品,颗粒较大,这个时候,如果硬往机器里塞,很可能导致机器损坏,此时,如果你是老板,你会怎么做呢?难道扔掉?我想,老板会再找一家面粉加工场,把这些次品再加工一下。(图示如下)

注意到,面包厂f(x)=■的加工流程不会变,即f [g(x)]=■=■=■,即本题的正确答案为f [g(x)]=■(x≠0)。(不要忘记定义域哦)

2. 已知f [g(x)],求f(x)

例2. f(x+1)=x2-3x+2,则f(x)=

请同学们特别注意:虽然加工的原料形式(样子)变了,但工厂是同一个工厂、机器是同一个机器f,即f对原料的加工过程(法则)是不变的。f对原料x+1怎样加工,f对原料x就怎样加工。我们求f(x)的解析式,其实质就是问工厂(机器)f对原料x怎样加工?其实,我们只要知道工厂(机器)f对原料x+1怎样加工即可。那么,怎样才能知道工厂(机器)f对原料x+1怎样加工呢?我们有两种办法可供选择:换元法和配凑法。

解法一(换元法):令t=x+1,欲知工厂(机器)f对原料x+1怎样加工,只需知晓工厂(机器)f对原料t怎样加工,既然要看对怎样加工,那么我们就不再需要了x,即得x=t-1,将其代入已知式中,得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,f对t这样加工,那么,f对x应该同样加工,即得f(x)=x2-5x+6。

解法二(配凑法):配凑法的基本思路是,欲知工厂(机器)f对原料x+1怎样加工,那么只需将f(x+1)=x2-3x+2中的全部配成原料x+1即可。可是,怎样配呢?这里需要一些技巧,我们可以倒着想,右边有x2项,即可知晓若以x+1为原料加工,必有(x+1)2,而(x+1)2=x2+2x+1与原式不等,欲等,需要减去5x,再加1,即得f(x+1)=(x+1)2-5x+1;而欲将此式中x的转化为原料x+1,就要出现5(x+1),此时多减了5,与原式不等,需要再加上5,即得f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+1+5=(x+1)2-5(x+1)+6,至此,已知工厂(机器)f对原料x+1加工方式为:原料的平方减去五倍的原料再加6,则f(x)=x2-5x+6。

分析上述解法,解法一很明显更为简便,原因在于:解法一在换元之后的主要任务是化简,而解法二的配凑却不那么好想。但请同学们注意,解法一并不是万能的,在解法一的解决过程中,除了换元外,还需要用表达(此步骤通常称为反解),将所有的均换为的表达式,如果用不易或不能表达出,那么换元法是无效的,必须使用配凑法来解决此类问题了。

题型二:定义域相关问题

1. 已知f(x)的定义域,求f [g(x)]的定义域

例3. 已知f(x)的定义域为[2,+∞),则f(x2-7)的定义域为

注意:定义域指的是字母x的取值范围。即[2,+∞)指的是f(x)中x的取值范围,而问题问f(x2-7)的定义域,问的是f(x2-7)中x的范围。解决此类问题,要注意:函数是来料加工的工厂,那么,我们也可以将f(x)视为工厂中的加工机器,其中的括号()可以视为机器的原料入口。请同学们想一想:对于一台特定的机器而言,其原料入口的大小是否确定?是否会一会儿大,一会儿小?事实上,一台特定机器的原料入口的大小是固定不变的,这就好像我们人类一样,嘴巴作为身体这台有机机器的原料入口,嘴巴的范围是有限的,张得再大也不能整吞一个茄子。这一事实则为我们解决这类题型提供了依据。

f(x)的定义域为[2,+∞),即f(x)中x的取值范围为[2,+∞),而x能够放入机器中,说明的x范围应该正好满足加工机器f(x)的入口()的范围,即知加工机器f(x)的入口()的范围为[2,+∞);x2-7能够放入机器f(x)中,说明,x2-7满足加工机器f(x)的入口()的范围[2,+∞),即x2-7∈[2,+∞)x2-7≥2x2≥9 x∈(-∞,-3]∪[3,+∞)。

2. 已知f(x)的定义域,求f [g(x)]的定义域

例4. 已知f(x2-2x-3)的定义域为[2,+∞),则f(x)的定义域为

解析:欲求f(x)的定义域,即f(x)求中x的取值范围,需要先求出f(x)加工机器的入口()的范围;欲求加工机器f(x)的入口()的范围,需要先求出f(x2-2x-3)中x2-2x-3的范围,由已知的f(x2-2x-3)定义域为[2,+∞),即x2-2x-3中的x∈[2,+∞),而二次函数g(x)=x2-2x-3开口向上,对称轴为x=1,可知g(x)在[2,+∞)递增,即g(x)=x2-2x-3∈[g(2),+∞)=[-3,+∞)也即加工机器f(x)的入口()的范围为[-3,+∞),即f(x)的定义域为[-3,+∞)。

例5. f(x+■)=x2+■,则f(x-1)=

解析:由题型一可知,欲求f(x-1),需先求f(x),即需先求f(x+■)。

由配凑法,可知f(x+■)=(x2+■+2)-2=(x+■)2-2,令t=x+■

f(t)=t2-2 f(x)=x2-2 f(x-1)= x2-2x-1。

事实上,上述解法并不完善。

请注意函数(亦有老师将之称为对勾函数)图象(极为重要):

由图象可知,t=x+■∈(-∞,-2]∪[2,+∞) f(x)=x2-2(x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)),即 f(x-1)=x2-2x-1(x∈(-∞,-1]∪[3,+∞))。(注:换元法应特别留意新元的范围)

事实上,函数(来料加工工厂)问题首先就应该看函数的定义域。函数问题,先看定义域,能使我们不会的问题迎刃而解,能使我们会的问题确保正确,所以,请千万不要忽视定义域。

题型三:分段函数相关问题

函数可以视为一个“来料加工的工厂”,而分段函数则可以视为一个大型的综合性加工工厂。以分段函数f(x)x3x≥1x2-1<x<1-xx≤-1为例,将其视为首都钢铁公司这样的大型企业,若 x≥1表示原料铁矿石的含铁量较高,此时,该铁矿石适宜用来产钢,其具体加工过程为x3;若-1<x<1表示原料铁矿石含铁量适中,适宜产铁,则产铁的具体加工过程为x2 ;若x≤-1表示原料铁矿石含铁量极低,此时该原料不适宜用于生产,需要废弃,则其过程可表示为-x。各段函数是“分工不分家”,它们是同一函数。这样理解,对于以下的习题,我们即可迎刃而解。

例6. 已知f(x)=2ex-1x<2log3(x2-1) x≥2,则f [ f(2)]=

解:先分析内部的f(2),因2≥2,则该原料应采取加工方式log3(x2-1),f(2)=log3(22-1)=1,即f [ f(2)]=f(1),而1<2,对该原料应采取加工方式2ex-1,即得知f(1)=2e1-1=2,综上所述,f [ f(2)]=f(1)=2。

例7. 已知f(x)=log2(x+1)x≥02x-1x<0,f(x0)>2则x0的取值范围是

解析:x≥0时,f(x)=log2(x+1)单调递增,f(x)∈[0,+∞);x<0时,f(x)=2x-1单调递增,f(x)∈(-1,0),f(x0)>2知f(x0)=log2(x0+1)>2=log24x0+1>4x0∈(3,+∞)

函数的本质是映射,它反映了事物之间的相关性与因果关系

概念:集合A到集合B的对应一对多多对多多对一一对一

例8. y=f(x)与x=a的交点个数可能是()

A. 1个B. 0个

C. 0个或1个D. 无法确定

解析:由函数是一对一或多对一的映射,可知,一个自变量最多对应一个函数值,即 y=f(x)与x=a的交点个数至多只能有一个,又由于定义域的限制,y=f(x)的定义域中可能包含a,亦可能不包含a,故正确选项为C。

例9. 在数轴上,区间(0,1)上的点和区间(1,+∞)上的点,哪个多?

解析:由函数 y=f(x)=■(x∈(0,1)),即建立了从(0,1)到(1,+∞)的一一对应关系,即两个区间上的点一样多。

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