变循环发动机数学模型求解及有效性研究

吴正佳 孟荣华 余 刚 何海洋 张 屹

（三峡大学 机械与动力学院，湖北 宜昌 443002）

变循环发动机具有大涵道比性能优势，可以在不同航段分别实现高推力和低油耗，因此受到了各航空强国的广泛重视，是当今航空发动机的重要研究方向［1］.目前，变循环发动机的性能研究主要采用实验法和计算机仿真法.实验法需要研制复杂的设备、投入巨额的资金，因此不可能经常采用.而随着计算机仿真技术的发展及发动机数学模型研究的不断深入，计算机仿真法可在一定程度上弥补实验法的不足.计算机仿真法的核心问题是变循环发动机数学模型的建立与求解.目前数学模型的建立多采用部件法［2］；数学模型的求解通常采用牛顿-拉夫逊法［3］、Broyden法［4］、遗传算法［5-7］等.

国内关于变循环发动机的研究工作主要集中在变循环发动机数学模型的建立［2，8］，而对变循环发动机数学模型的求解算法研究相对较少.现有的通用求解算法往往有其自身的局限性，这些算法在变循环发动机模型求解中的有效性及适用性未见讨论.本文采用部件法建立了变循环发动机的多维非线性隐式方程组模型，选用了遗传算法对变循环发动机数学模型进行求解，提出了算法的有效性评价指标：初值敏感性、计算效率、收敛性和稳定性，对遗传算法进行评价，为变循环发动机模型求解算法的选择与设计提供依据.

1 变循环发动机数学模型

变循环发动机的工作原理如图1所示.当变循环发动机处于稳定工作状态时，其各部件状态互相制约，需满足共同工作条件：低压轴功率平衡、高压轴功率平衡、高压涡轮进口截面流量平衡、低压涡轮进口截面流量平衡、后混合器静压平衡、尾喷管面积平衡、风扇出口流量平衡［6］.

图1 变循环发动机工作原理图

由图1可知，变循环发动机为双转子发动机，风扇与低压涡轮相连，CDFS、高压压气机与高压涡轮相连.

按气流流过的顺序，从进气道入口至尾喷管出口截面对变循环发动机各部件模型模拟，完成所有部件气动热力计算，推导出7个共同工作方程，根据上述方程即可建立变循环发动机的共同工作方程组模型：

当发动机在某一设定状态下稳定工作，会存在一组确定的独立变量满足隐式方程组.但由于气动热力计算、部件特性、数值计算等存在误差，很难得到恰好完全满足7个平衡方程的独立变量，即共同工作方程组等式很难成立.因此，需要采用数值算法，使共同工作方程等式右边接近0，得到一定精度范围的数值解.本文将7个方程转化为残差方程组.由于7个方程的数量级不同，为降低残差数量级对方程求解过程的影响，需要把7个方程残差进行归一化.

其中，E1，E2，E3，…，E7为归一化残差.

2 遗传算法求解变循环发动机模型

变循环发动机计算机仿真技术的核心问题最终归结为非线性方程组求解.遗传算法（genetic algorithm，GA）是一种基于自然群体遗传演化机制的全局优化算法.该算法具有无需梯度信息、不要求显式的函数形式、对初猜值无要求的特点，尤其适合于大规模、高度非线性及无解析表达式的目标函数优化问题，但是运行效率不佳.一般通用求解算法往往有其自身的局限性，在变循环发动机模型求解中的有效性及适用性未见讨论.本文主要采用GA对上述模型进行求解，将求解结果与牛顿-拉夫逊求解进行对比，并进一步讨论GA的有效性.

2.1 遗传算法目标函数设计

本文以2013年数学建模A题的问题二为例，变循环发动机的工作状态由式（2）中的独立变量控制，各独立变量及飞行环境条件（导叶角度αL＝αCDFS＝αH＝αCH＝0°，低压转速nL＝0.85）下的约束见表1.

表1 独立变量及其约束

由式（2）及表1可得变循环发动机多维非线性隐式方程组模型为

约束条件

式中，λ为速度系数，λ＞0，π（λ）、q（λ）为气动函数.

采用GA求解非线性方程组的关键是把方程组求解问题转化为如下函数的优化问题：

式中，x＝（x1，x2，…，x7），E 取极小值时的x 即为数学模型的解.

2.2 遗传算法求解发动机数学模型的过程

Step1：初始种群的生成.

首先进行编码，二进制编码方式利于交叉和变异操作，且可以满足精度要求，故采用二进制编码；确定7个自变量x的搜索范围，0＜x1＜1，0＜x2＜1，0＜x3＜1，800＜x4＜1800，0＜x5＜1，0＜x6＜1，0＜x7＜1；为了保证平衡方程的解满足一定的精度要求，经过多次调试与仿真计算，最终确定编码长度为10；根据编码规则随机产生N个初始编码串，每个编码串就是一个个体，N个个体在一起构成初始种群.GA以这N个编码串作为起点开始迭代.设置种群大小N＝20，进化代数T＝50.

Step2：适应度值评价.

GA是一种搜索优化算法，采用GA求解非线性方程组的关键是如何把方程组求解问题转化为函数优化问题，即构造可以表明个体或解的优劣性的适应度函数，本文中适应度函数与目标函数相同，将λi均取值为1／7.根据适应度函数，计算群体P（t）中个体的适应度.适应度函数为

其中，x＝（x1，x2，…，x7），显然，若数学模型有解，则适应度函数（5）的最小值为0，如果求得的适应度函数的值越接近于0，那么对应的解就越精确.

Step3：选择操作.

采用竞标赛法对产生的个体进行选择操作.随机地从种群中挑选3个个体，然后将最好的个体选择做父本个体，重复进行这个过程，完成个体的选择.在交叉和变异操作完成后，采用精英选择法选择20个最优个体，作为下一代的父本.

Step4：交叉操作.

采用二进制编码中最常见的单点交叉方式，交叉点的范围为［1，19］，在该点为分界相互交换变量.按照交叉概率Pc，选择种群中个体进行交叉，本文中交叉概率为0.8.

Step5：变异操作.

变异算子以较小的概率对个体的某个或者某些位进行一些特殊的改变，进而生成新的个体，本文的变异操作采用单点变异方法，变异概率Pm为0.1.群体P（t）经过选择、交叉、变异运算后得到下一代群体P（t＋1）.

Step6：终止条件判断.

若t≤T，则t←t＋1，转到步骤（2）；若t＞T，则以进化过程中所得到的具有最大适应度的个体作为最优解输出，终止运算.

2.3 遗传算法求解发动机模型的流程图

图2 遗传算法流程图

3 仿真与结果分析

3.1 仿真结果

将表1的约束条件代入GA的Matlab［9-10］程序，运行GA程序求解变循环发动机数学模型，运行时间为3598.22s，得到相对误差0.4454时目标函数取得最小值，求得各自变量的值见表2.

表2 遗传算法求解多维非线性隐式方程组结果

3.2 算法有效性评价

本文选用了GA对变循环发动机数学模型进行了求解，为评价该算法的有效性，特提出算法有效性评价指标：初值敏感性、计算效率、收敛性和稳定性.通过上述运行结果分析对遗传算法进行有效性评价.

初值敏感性评价：GA求解仅需要设定搜索范围，不需选定初值，多次运行均可获得较满意的结果；而牛顿-拉夫逊本身对初始值的选择依赖性较大，始值设计不合理时，容易形成局部收敛，产生局部最优解，甚至无解.GA运行与各种对于牛顿-拉夫逊的研究对比表明，GA在对初值的选择上要求较低.

计算效率评价：程序在同样配置的计算机上运行，配置为：CPU 2.9GHz，RAM 4.0G.如果选用牛顿-拉夫逊运行效率较快，一般运行时间是90～100s，而GA相对运行较慢，一般需要3600s左右，两种算法效率相差比较明显.主要是因为GA在开始进化的时候，种群的适应度函数曲线收敛速度很快，随着遗传代数的不断增加，种群朝着最优个体适应度收敛的速度会迅速下降，导致在一定遗传代数之后，种群的适应度变化很缓慢，需要很长时间才能进化到最优个体，计算效率在后期很不理想.

收敛性与稳定性评价：GA具有全局收敛性，对初始点没有任何要求与限制，而且只要有解存在，总能以概率1求得方程组的解；不要求组成方程的函数连续、可导，可求解常规算法难以求解的超越方程组.在求解变循环发动机数学模型时，多次运行GA均能得到结果，且每次运行所得结果较接近，该方法收敛性与稳定性良好.

3.3 求解算法改进展望

根据GA和牛顿-拉夫逊两种算法的优缺点，可以将两种方法相结合，避免GA计算效率低和牛顿-拉夫逊容易局部收敛的不足，高效快速地求出最优解.算法的具体步骤为：

1）采用GA产生初始种群，经过选择、交叉、变异等操作，不断产生新种群，开始进化时，种群向高适应度方向快速收敛，当进化到G代数后，停止进化，按照精英选择法则选择适应度的N个个体.

2）将N个个体作为初始值，按照牛顿-拉夫逊的迭代法则，求出N个有效解，最后从中选择最优解.

改进方法的有效性说明：开始采用GA求解N个个体，不仅对初始值的选取没有任何要求，而且收敛速度也很快，求出的N个个体采用精英选择法则选取的，适应度高，更接近于最优解.以这些在最优解附近的个体作为牛顿-拉夫逊算法的初始值，避免了由于初始值设计不合理而陷入局部最优解，所以很容易得到全局最优解，同时收敛速度很快.

4 结 论

本文采用GA求解变循环发动机的数学模型，将方程组求解问题转化为函数优化问题，设计了算法的求解过程，获取了算法的运行结果，提出了算法的有效性评价指标：初值敏感性、计算效率、收敛性与稳定性.经过上述分析可知GA在计算效率上与牛顿-拉夫逊相比有很大差距，但是初值敏感性较低，收敛性较好，GA的优势比较明显.求解算法改进展望较好地结合了遗传算法和牛顿-拉夫逊的优点，为后期的研究提出了思路.

［1］Willis E A，Welliver A D.Variable Cycle Engines for Super－Sonic Cruising Aircraft［R］.Palo Alto，California：AIAA／SAE 12th Joint Propulsion Conference，1981.

［2］苟学中，周文祥，黄金泉.变循环发动机部件级建模技术［J］.航空动力学报，2013，28（1）：104－111.

［3］戴耀松.固体火箭-冲压发动机的研究进展［J］.推进技术，1987，8（5）.

［4］Broyden C G.Quasi－Newton Methods and Their Application to Function Minimization［J］.Mathematics of Computation，1967，21：368－381.

［5］苏三买.遗传算法及其在航空发动机非线性数学模型中的应用研究［D］.西安：西北工业大学，2002：61－65.

［6］周 明，孙树栋.遗传算法原理及应用［M］.北京：国防工业出版社，1999.

［7］苏三买.遗传算法在航空发动机非线性数学模型中的应用［J］.推进技术，2004，25（3）：237－240.

［8］苟学中.变循环发动机建模及控制规律研究［D］.南京：南京航空航天大学，2011：23－27.

［9］张志涌.精通 Matlab6.5［M］.北京：北京航空航天大学出版社，2003.

［10］陈秋莲.基于遗传算法工具箱的优化计算实现［J］.现代电子技术，2007（2）：124－129.