修理工可延误休假的温贮备系统

吕文静，郑海鹰

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

修理工可延误休假的温贮备系统

吕文静，郑海鹰†

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

讨论了温贮备可修系统的一个新模型，在该模型中引入了修理工可延误休假的概念．在假定部件的工作时间、贮备时间、修理时间、修理工的延误休假时间、修理工的休假时间分布的前提下，利用补充变量法和拉普拉斯变换方法，建立了各状态概率的微积分方程，得到了系统的一些主要可靠性指标．最后研究了温贮备系统的一个特例，即仅考虑修理工可休假的温贮备系统，得出了该系统的可靠度及首次故障前的平均时间．

温贮备系统；延误休假；补充变量法；广义马尔可夫过程；可靠性

为了提高系统可靠度或可用度，备份冗余常作为一种有效的设计战略用于许多领域．贮备系统分为冷贮备系统和温贮备系统．温贮备系统是指贮备部件在贮备期内可能会因为老化问题或受环境影响等而失效[1]．温贮备可修系统的可靠性模型是可靠性理论和应用中比较重要的模型之一，关于它的研究，当前大多数文献都是假定部件故障后能得到立即修理[2-3]，这与现实情况是不大相符合的，实际中，系统的故障部件可能会由于各种原因而得不到立即修理．因此，将修理工休假、延误休假纳入到可修系统模型的分析中是有现实意义的．

文献[4-10]对不同形式的贮备系统进行了研究，本文在这些研究的基础上，将修理工可延误休假的概念推广到温贮备可修系统，采用补充变量法和广义马尔可夫过程方法研究了一个新模型，即修理工可延误休假的温贮备可修系统．所谓延误休假是指，每次休假结束时若系统中仍没有失效部件，修理工并不立即休假，而是有一段随机的准备时间，从修理工开始空闲到开始休假这段时间称为修理工的延误休假时间，若在延误休假时间内有部件失效，则终止休假准备，立即修理失效部件，否则修理工开始休假．

本文所给系统模型的具体描述如下：有两个不同型部件1和部件2及一个修理工组成，其中部件1比部件2有优先使用权和优先修理权；0时刻部件都是新的且系统开始工作，修理工开始作休假准备；若部件在延误休假时间内失效，则修理工立即修理失效部件，延误休假时间终止；若部件在延误休假时间内未失效，则修理工在延误休假时间结束后开始休假；修理工每次休假结束时，若系统中有失效部件则立即修理失效部件，若系统中没有失效部件，则进行休假准备，待延误休假时间结束之后方可开始休假．进一步设：

3）两部件贮备时间服从同一分布：F2( t)=1-e-βt，t≥0；

5）修理工的延误休假时间分布为：F3( t)=1-e-γt，t≥0；

6）部件1比部件2有优先使用权和优先修理权；

7）上述随机变量相互独立，部件修复后如新．

1 模型分析

令S(t)表示系统在时刻t所处的状态，则系统可能的状态如下：

1）部件1工作，部件2贮备，修理工休假，系统正常；

2）部件1工作，部件2贮备，修理工延误休假，系统正常；

3）部件1工作，部件2贮备故障，修理工休假，系统正常；

4）部件1工作，部件2修理，系统正常；

5）部件1工作故障，部件2工作，修理工休假，系统正常；

6）部件1修理，部件2工作，系统正常；

7）部件1修理，部件2待修，系统故障；

8）两部件均故障，修理工休假，系统故障．

引进补充变量：X(t)表示在时刻t修理工已经用去的休假时间，Y(t)表示在时刻t正在修理的部件已经用去的修理时间，则{S(t),X(t),Y(t),t≥0}构成一广义马尔可夫过程．系统在时刻t的状态概率定义如下：

2 系统的可靠性指标

定理1 系统瞬时可用度A(t)的拉普拉斯变换式A*(s)和稳态可用度A′分别为：

对上式取拉普拉斯变换并将式（18）、（20）、（22）、（24）、（25）的表达式带入，即可得式（35）、（36），再由Tauber定理[1]，并使用罗比塔法则易得式（37）、（38）．

定理3 系统在时刻t的瞬时故障频度Wf(t)的拉普拉斯变换式为：

对上式作拉普拉斯变换即可得式（39），再由Tauber定理[1]，并使用罗比塔法则易得式（40）．

3 系统可靠度和首次故障前的平均时间

为了求系统可靠度R(t)，只需令系统的故障状态7）和8）均为吸收状态，这样就得到一个有两个吸收态的连续时间广义马尔可夫过程, t≥0｝，其中)表示系统在时刻t所处的状态，则, t≥0｝是取值于工作状态集的随机变量．令

对上式进行拉普拉斯变换，并代入式（52）、（53）、（54）、（55）、（56）、（57）、（58）、（59）、（60）、（61）和（62），化简计算即可得（64）式．

推论1 系统首次故障前的平均时间为：

至此，系统一些重要的可靠性指标及系统首次故障前的平均时间的拉普拉斯变换可求得．另外在该模型中可以考虑修理工的行为对整个系统经济效益的影响，还可以考虑将该模型推广到表决系统，运用排队论理论可获得系统的可靠性指标等．

4 实 例

对于该系统，若不考虑延误休假时间，仅考虑修理工可休假的温贮备系统这一特殊情况，假定两同型部件的工作时间和贮备时间分别服从参数为λ和μ的指数分布，部件的修理时间和修理工的休假时间分别服从一般分布，分布函数分别为：

系统首次故障前的平均时间为：

[1] 曹晋华, 程侃. 可靠性数学引论[M]. 北京: 高等教育出版社, 2005: 52-55.

[2] 吴清太, 叶尔骅. 开关寿命连续型冷贮备可修系统的可靠度分析[J]. 南京航空航天大学学报, 2000, 32(5): 556-561.

[3] 李艳, 叶尔骅, 吴清太. 有优先权开关寿命连续性两部件冷贮备可修系统的可靠度分析[J]. 兰州大学学报, 2003, 39(2): 18-22.

[4] 胡兆红, 陈希镇. 两不同部件温贮备可修系统可靠性分析[J]. 温州大学学报: 自然科学版, 2009, 30(4): 44-48.

[5] 刘海涛, 孟宪云, 李芳, 等. 两不同型部件温贮备系统的几何过程模型[J]. 系统工程, 2010, 28(9): 103-107.

[6] 孟娅丽, 郑海鹰. 修理工可多重休假的温贮备系统[J]. 浙江大学学报: 理学版, 2012, 39(5): 518-523.

[7] 刘仁彬, 唐应辉. 具有多重延误休假的单部件可修系统[J]. 工程数学学报, 2006, 23(4): 721-724.

[8] 唐应辉, 刘晓云. 一种新型的单部件可修系统[J]. 系统工程理论与实践, 2003, 7(7): 106-111.

[9] 曹静, 刘元慧, 姜宁. 具有多重延误休假的N部件串联可修系统[J]. 长春师范学院学报, 2007, 26(2): 18-20.

[10] 陈永燕, 郑海鹰. 冷贮备可修系统的一个新模型及其可靠性分析[J]. 浙江大学学报: 理学版, 2011, 38(3): 274-278.

[11] 史定华. 计算可修系统在 (0,t] 中的平均故障次数的新方法[J]. 应用数学学报, 1985, 8(1): 101-110.

Warm Standby Redundant Repairable System with Multiple Delay Vacations of a Repairman

LV Wenjing, ZHENG Haiying
(School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

A new model for the Warm standby redundant repairable system is discussed in this paper. The conception of a repairman with possible delay vacation is introduced into this model. Assuming that the operating time and standby time of the units and the delay vacation time of the repairman are exponentially distributed, while the repair time of the units and the vacation time of the repairman have general continuous distributions, drawing on the supplementary variables approach and the method of generalized Markov process, the study obtains some important reliability indexes. Finally, a warm standby redundant repairable system with multiple vacations of a repairman is studied, obtaining such important reliability indexes as the system reliability and MTTF.

Warm Standby Redundant Repairable System; Delay Vacation; Supplementary Variables Approach; Method of Generalized Markov Process; Reliability

O213

A

1674-3563(2014)04-0008-09

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.04.002 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：王一芳)

2013-12-18

吕文静(1986- )，女，河南信阳人，硕士，研究方向：应用统计．† 通讯作者，wzzhying@163.com