基于Mohr-Coulomb准则的球形洞室围岩应变软化弹塑性分析

冯 强,范金成,张 强,,蒋斌松

(1.中国矿业大学深部岩土力学与地下工程国家重点实验室,江苏徐州 221116;2.中国矿业大学力学与建筑工程学院,江苏徐州 221116)

基于Mohr-Coulomb准则的球形洞室围岩应变软化弹塑性分析

冯 强1,范金成2,张 强1,2,蒋斌松1

(1.中国矿业大学深部岩土力学与地下工程国家重点实验室,江苏徐州 221116;2.中国矿业大学力学与建筑工程学院,江苏徐州 221116)

通过用一系列的塑性流动与脆性跌落近似逼近峰后应变软化过程,将开挖球形洞室引起的塑性变形区划分为k个同心球壳。假定各球壳内岩体均质且各向同性,采用Mohr-Coulomb准则和非关联流动法则对受静水压力球形洞室围岩的应力和变形进行理论计算。由各球壳内岩体属性表征点建立岩体再破坏的补充方程,得到了围岩塑性半径求解方程组。通过算例验证了方法的合理性。最后,考虑岩体进入峰后阶段后,变形参数也随之劣化,讨论了弹性模量线性劣化对洞壁位移、软化半径和破裂半径的影响。

球形洞室;应变软化;弹塑性分析;Mohr-Coulomb准则;静水压力;变形模量劣化

洞室围岩的破裂范围及变形特征是评价其稳定性的重要依据,也是对其进行支护设计的基础。国内外众多学者[1-7]采用理想弹塑性、弹脆塑性、应变软化等模型,根据不同的强度准则,如线性Mohr-Cou-lomb准则和非线性Hoek-Brown准则,以及为分析流动特性对围岩变形的影响,采用关(或非关)联流动法则对洞室开挖问题进行研究。研究途径主要有2个方面:①理论解析方法,代表性成果有蒋斌松等[3]采用弹塑脆模型给出了深部圆形洞室围岩应力和形变的解析式;张俊文等[4]基于三剪能量屈服准则,对圆形巷道围岩塑性区半径、围岩位移等进行了弹塑性分析。② 数值计算方法,代表性成果有 Y.K.Lee等[8]采用差分方法给出了圆形洞室应变软化数值解;李英杰等[9]通过在FLAC3D软件中开发考虑变形模量劣化的应变软化本构模型对深埋圆形隧道问题进行弹塑性分析。

矿上箕斗装载洞室的形状接近球形或椭球形,针对考虑峰后强度参数劣化效应的球形洞室围岩应力和变形分析,主要是依赖于数值计算。文献[10]采用逐步卸压法对球形洞室应变软化问题进行了分析,但其求解过程较为繁琐。因此,本文针对受静水压力的球形洞室,在各球壳岩体属性表征点处建立岩体再破坏的补充方程,得到围岩塑性半径求解方程组;并讨论了弹性模量线性劣化对洞壁位移、围岩塑性、破裂区半径的影响。

1 计算模型

设球形洞室开挖半径为R0;支护荷载为σ0;无限远处的原始应力(静水压力)为p。力学模型如图1所示,用k次塑性流动—脆性跌落来近似逼近峰后应变软化过程[11];根据问题的对称性,几何模型(球体的纵剖面)如图2所示,相应于力学模型,球形洞室开挖引起的塑性变形区划分为k个同心球壳,且假定各球壳内围岩均质、各向同性。

这样,第1个球壳是破裂区,围岩强度为残余强度;第k个球壳围岩强度处于峰值,而第k+1个球壳围岩处于弹性状态。洞壁,即r=R0处的位移用U0表示;第i,i+1球壳交界面,即r=Ri处围岩的位移和径向应力分别用Ui和σi表示;第i个球壳内离球心距离为r处围岩的径向位移,径向、环向应力以及径向、环向应变分别用 U(i),σr(i),σθ(i),εr(i),εθ(i)(i=1, 2,…,k+1)表示。

2 基本理论和方程

根据弹塑性理论,各球壳内应力满足静力平衡条件(假定体积力为0):

围岩破坏软化过程中,即塑性屈服时应力满足M-C准则:

图1 岩石峰后应变软化模型Fig.1 Rock mass strain-softening model

图2 球形洞室围岩应变软化分析模型Fig.2 Analysis model of spherical cavity in strain-softening rock mass

式中,Ni和Si为材料参数,且Ni和Si可由黏聚力ci、内摩擦角φi表示为Ni=(1+sin φi)/(1-sin φi)和Si=2cicos φi/(1-sin φi)。

洞室第k+1个球壳,即r≥Rk范围内围岩于弹性状态,其径向和环向应力可表示为

各球壳内的岩体变形满足几何方程

问题的边界和接触条件为

3 围岩应力和变形

利用M-C准则式(2),求解方程(1),可得

围岩塑性屈服时,径向和环向应变表示为

分别为径、环向弹性应变。

围岩的弹性应变服从广义虎克定律,即开挖后洞室围岩的弹性应变可表示为

式中,νi为第i球壳内岩体泊松比;Ei为第i球壳内岩体弹性模量。

围岩的塑性应变取决于其塑性势Φi,岩石材料常采用塑性势[12],即

式中,αi为材料参数,且 αi=(1+sin ψi)/(1-sin ψi),其中ψi为扩容角。

由式(14),径向和环向塑性应变满足

将式(5),(6),(10)～(13)代入式(15),得到关于位移的一阶线性微分方程

再将应力表达式(8),(9)代入式(16),求解线性微分方程,并利用边界和接触条件式(7)可得

式(17)为考虑洞室围岩应变软化时基于问题的基本方程所对应的位移解析算式,相应可得到其应变表达式。但还需要确定各球壳的半径Ri及其位移Ui。

4 各球壳半径的确定

在弹塑性问题的分析中,通常是在弹塑性交界面,即r=Rk处弹性应力满足塑性屈服条件,以确定塑性区半径。这样,将弹性区应力表达式(3),(4)代入M-C准则式(2),弹塑性交界面处的径向应力σk可表示为

将式(18)和广义虎克定律式(13)代入几何方程(6),弹塑性交界面处径向位移为

式中,Gk+1为弹性区剪切模量。

至此,问题的基本方程、边界和接触条件都已运用,但围岩的塑性半径(各球壳半径)还未定,这意味着围岩的塑性区不确定(或不惟一),相应地,围岩可以对应不同的应力和变形状态。事实上,洞室不同的岩性应当对应不同的(破裂)塑性状态,即不同的塑性区半径、应力和应变状态。显然,洞室的塑性区范围应由图1所示的围岩应力软化特性所对应。由于应变软化段已划分成k(任意)个跌落区段,k取值足够大时,每个跌落段可认为足够小、且其应变可认为均匀。因此,取各球壳中间处围岩的塑性剪应变来表征该球壳内应变。设第 i个球壳内在距离球心r=(Ri+Ri-1)/2处的围岩塑性剪应变值为βi。

令Kr(i)表示塑性区第i个球壳内距离球心r处的围岩塑性剪应变,可得确定围岩塑性区半径的补充方程

将径向、环向塑性应变关系式(11),(15)和几何方程表达式(6)代入式(21)得到

联立式(18),(19),(23)即可求解塑性区半径。

5 算例分析

岩体强度和弹性模量随塑性应变增大而逐渐劣化,通常可取塑性剪应变作为强度参数和变形模量的劣化指标,这里是取塑性剪应变βi作为其劣化评价指标。围岩强度和变形模量的演化规律如图3所示。

图3 围岩强度参数和变形模量的演化规律Fig.3 Evolution law of strength parameters and deformation modulus in surrounding rock mass

第k个球壳围岩的强度和弹性模量处于峰值,且βk=0;第1个球壳围岩的强度和弹性模量处于残余值。第i个球壳围岩的强度和变形模量ωi与βi之间的关系用数学式表达为

假设各球壳围岩塑性剪应变值βi呈线性变化,即

将式(25)代入式(24),各球壳围岩的强度和变形模量可表示为

由式(26)计算得到的各球壳围岩的强度和变形模量值代入到方程组(18),(19)和(23),即可求解塑性区半径。β1取值不同,所建立的方程组不同,得到的围岩塑性区半径(各球壳半径)将不同。

[10]中球形洞室围岩的物理力学参数取:洞室半径R0=50 m,原始应力p=25 MPa,弹性模量Ek=E1=15.5 GPa,泊松比νk=ν1=0.25,扩容角ψk=ψ1=30°,黏聚力ck=1 MPa,c1=0.1 MPa,内摩擦角φk=46°,φ1=36°。

k取值20(满足精度要求),即将塑性变形区分20个球壳,并将上述参数代入式(18),(19)和(23),得到β1=2.00,0.05,0.025和0.001 25四种情况下围岩洞壁位移曲线,如图4所示。由图可知:本文解析计算结果与文献[10]数值计算成果能够较好吻合,而且当β1取值较大,即β1=2.00时对应理想弹塑性模型的结果;而当β1=0.001 25时对应弹脆性模型的结果;β1值对洞壁位移有显著影响。

图4 β1取值对洞壁位移的影响Fig.4 Effect of β1on the displacement of free face

下面讨论弹性模量劣化对围岩变形的影响。

围岩破裂软化后取弹性模量线性劣化并分析其对洞壁位移U0,围岩塑性区半径Rk和破裂区半径Rs的影响。取 ηE表示弹性模量的劣化程度,且 ηE= E1/Ek。弹性模量劣化程度对洞壁位移、塑性、破裂区半径的影响如图5所示。

图5 β=0.025时,弹性模量线性劣化对围岩变形的影响Fig.5 Effects of linear deterioration of Young’s modulus on deformation of surrounding rock mass when β1=0.025

由图5可知:支护力较小时,洞壁位移,塑性、破裂区半径会随弹性模量的劣化有不同程度的增大。下面以支护力为零进行说明,见表1。由表1可知,当洞室内壁无支护时,ηE=0.3的洞壁无量纲位移较ηE=1.0的增大了95.8%;围岩无量纲软化半径增大了2.2%;无量纲破裂半径增大了7.7%。

表1 σ0=0时弹性模量线性劣化对围岩变形的影响Table 1 Effects of linear deterioration of Young’s modulus on surrounding rock deformation when σ0=0

6 结 论

(1)通过用k次塑性流动—脆性跌落逼近岩体峰后应变软化过程,将球形洞室围岩的塑性变形区划分成k个同心球壳;采用Mohr-Coulomb准则和非关联流动法则对围岩的应力和变形进行理论推导;再由各球壳材料属性表征点建立补充方程,得到塑性区半径求解方程组。

(2)破裂区塑性剪应变β1取值不同,所建立的补充方程将不同,得到的解会不同。β1取值较小时,脆塑性逼近形式的软化模型可退化成弹脆性模型;β1取值较大时,该模型可退化成理想弹塑性模型。

(3)围岩破裂范围对塑性区的扩展和围岩稳定性有显著影响。球形洞室围岩出现破裂区时,弹性模量的线性劣化会促进塑性区和破裂区的扩展,而且对洞壁的变形有显著影响。

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Elastoplastic analysis of spherical cavity in strain-softening rock masses based on Mohr-Coulomb criterion

FENG Qiang1,FAN Jin-cheng2,ZHANG Qiang1,2,JIANG Bin-song1
(1.State Key Laboratory for Geomechanics&Deep Underground Engineering,China University of Mining&Technology,Xuzhou 221116,China;2.School of Mechanics&Civil Engineering,China University of Mining and Technology,Xuzhou 221116,China)

The strain-softening process of rock media after peak-load was simplified into a series of plastic flows and brittle falls.The plastic deformation region caused by the excavation of a spherical cavity was divided into several concentric spherical rings.Assumed that in each spherical ring the rock masses were infinitely homogeneous and isotropic.Based on Mohr-Coulomb criterion and non-associated flow rule,the closed-form solutions of stresses and displacements around the spherical cavity subjected to hydrostatic initial stresses were obtained.Through the characteristic point of material properties in each spherical ring,supplementary equations of rock media to be destroyed were presented and the iterative formulas of plastic radii were also obtained.Considering that deformation parameters of the surrounding rock mass deteriorate after peak-load,this paper respectively discussed the effects of the linear degradation of the elastic modulus and Poisson’s ratio on the displacement of free surface,softening radius and rupture radius.

spherical cavity;strain-softening;elastoplastic analysis;Mohr-Coulomb criterion;hydrostatic stress;deformation modulus degradation

TD313

A

0253-9993(2014)05-0836-05

冯 强,范金成,张 强,等.基于Mohr-Coulomb准则的球形洞室围岩应变软化弹塑性分析[J].煤炭学报,2014,39(5):836-840.

10.13225/j.cnki.jccs.2013.1519

Feng Qiang,Fan Jincheng,Zhang Qiang,et al.Elastoplastic analysis of spherical cavity in strain-softening rock masses based on Mohr-Coulomb criterion[J].Journal of China Coal Society,2014,39(5):836-840.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2013.1519

2013-10-18 责任编辑:常 琛

国家自然科学基金资助项目(51174196,51204168)

冯 强(1985—),男,山东乳山人,博士研究生,E-mail:fqcumt@163.com。通讯作者:蒋斌松(1961—),男,江苏溧阳人,教授,博士生导师。E-mail:jiangbs@cumt.edu.cn