永磁球形电机的支持向量机模型的参数寻优

鞠鲁峰 王群京 李国丽 胡存刚 钱 喆

（1.合肥工业大学电气与自动化工程学院 合肥 230009 2.安徽大学电气工程与自动化学院 合肥 230601）

1 引言

可实现多自由度运动的球形电动机对机器人、机械手等做空间多维运动的精密装置意义重大，它可以简化系统的复杂程度，减小系统的体积，提高整个系统的动态性能、稳定性和定位精度。

球形电机本体的结构参数对球形电机磁场以及转矩特性有着直接的影响，因此，对球形电机本体结构参数进行优化，是球形电机的研究过程中的一项重要内容。由于球形电机本身结构复杂，若采用传统的有限元法建立数学模型，由于球形电机结构参数的优化计算中，需要进行非常多次迭代，因此，计算时间较长。所以，笔者提出利用支持向量机进行球形电机结构参数设计的方法。

支持向量机（Support Vector Machine，SVM） 是一种建立在统计学习理论基础上的机器学习方法，根据结构风险最小化原则尽量提高分类器的泛化能力[1]，即在由有限的训练样本获得小误差的情况下，仍然能够保证对独立测试集的小误差[2]。SVM在使用过程中一个突出问题是模型参数的选择。对于不同的样本空间数据，不同的参数选取，将会对最终的分类及回归结果产生非常大的影响[3]。一般支持向量机的参数选择都是凭借经验法或实验法，这样不仅计算量大、效率低，而且选取的参数往往不是全局最优参数，限制了支持向量机的应用。为了克服这些缺陷，目前比较常用的 SVM 参数寻优方法包括：网格寻优算法[4]、基于遗传算法（Genetic Algorithm，GA）的寻优算法[5]、基于粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）的寻优算法[6,7]等。

本文针对球形电机的结构参数与转矩的样本数据，分别利用网格寻优算法、GA寻优算法、PSO寻优算法来计算球形电机 SVM 模型的最优参数，分别比较三种算法得到的参数，从而获得最佳方案。

2 球形电机有限元分析

在对永磁球形电机建立 SVM 模型之前，首先需要建立训练集，即样本空间。本文研究的球形电机的结构如图1所示。转子由平行于赤道面的4层圆柱形磁极组成，24个定子线圈等纬度间隔分布在赤道面两侧。转子输出轴末端用于电机三自由度转矩的输出。

图1 永磁球形电机结构图Fig.1 Model of the permanent magnet stepper motor

由于永磁球形电动机本体复杂的结构，以及定转子磁极不对称等，所以对球形电机整体转矩的分析还缺少系统有效的分析方法。目前主要的方法是首先用积分方程法对电机气隙磁场进行分析，在此基础上利用麦克斯韦张量法对电磁转矩进行计算[8]。因为永磁球形电动机转子没有导磁性能材料，所以整个电机的转矩模型可用单个定转子磁极对相互作用模型来叠加。图2所示为单个定转子磁极对模型示意图。图3为计算得到的单个定转子磁极对的转矩特性曲线。

图2 单个定转子磁极对示意图Fig.2 Schematic diagram of one pair of stator-rotor poles

图3 单个定转子磁极对转矩特性曲线Fig.3 The torque characteristic curve of one pair of stator-rotor poles

永磁球形步进电机的主要结构参数包括：定转子极之间的夹角（失调角）θ、转子半径R、转子磁极半径r、转子磁极高h、电机气隙g、线圈总安匝数NI、定子线圈长度 L、线圈孔径d、线圈外径D等。从图3可知，转矩随失调角θ基本呈线性变化。所以，固定失调角θ=10°，分别以转子磁极半径r、转子磁极高h、电机气隙g、转子半径R、线圈总安匝数NI、定子线圈长度L、线圈孔径d和线圈外径D作为特征属性，建立样本空间。表1所示为特征属性的取值分布。理论上，一共可以获得48个样本数据。根据正交实验设计方法[9]，选取 150个样本数据。其中，100个用来作为训练集，50个作为测试集。

表1 样本空间数据分布Tab.1 Distribution of the sample space（单位: mm）

3 SVM回归原理

SVM 回归算法的基本思想是将一个非线性的特征空间通过映射 Φ映射到更高维的线性特征空间，然后进行线性回归。因此，对于数据集Y={(xi,yi)}，可以用下式进行回归估计

那么回归问题就变成如下的最优化问题

subject to

式中，C为惩罚系数；ξi为损失函数，即通常所称的离群点。

式（2）是一个不等式优化问题，解起来是非常困难的。因此，通过Lagrange变换得到其对偶形式为

subject to

式中，α和α*为Lagrange乘子。

此时w的值为

由此，从式（2）的求解带不等式约束的 w变成了求解α和α*。将式（4）代入式（1）中，回归估计表达式变成

式中，(xi﹒x)是指高维空间的数据向量的内积，样本空间中的数据是属于低维空间的数据。

因此，将式（5）做如下变形

式中，K(xi′,x′)为核函数，其作用就是接受低维空间的数据向量得到高维空间的数据向量的内积。对于回归问题，一般都采用径向基（RBF）核函数。

4 SVM模型的参数寻优算法

在支持向量回归估计算法中，RBF核函数的参数g以及惩罚系数C都是很重要的参数。其中，核函数参数g的选取决定了输入空间到特征空间映射的方式，惩罚系数C用于平衡训练误差和模型复杂度。因此必须通过计算得到最优的参数C和g。对于 SVM 回归模型的参数寻优，主要是通过最小化均方根误差（MSE）来得到最优参数。

4.1 网格参数寻优算法

网格参数寻优算法的基本思想是按照设定好的步长，将C和g在各自空间划分成若干网格，然后在每一个网格点上逐一计算以确定最优参数。在网格寻优算法计算过程中，通常采用V折交叉验证法：将训练数据分成n个大小相同的子集，首先用其中n-1个子集作为训练集得到一个决策函数，用它预测测试集，得到该次循环在测试集上的分类准确率。这样循环进行 n次，直到所有的子集都作为测试样本被预测一遍，取n次预测所得准确率的平均值作为最终的准确率值，从而有效的避免了过拟合的问题。网格寻优算法的流程图如图4所示。图5给出了参数寻优结果的等高线图和三维图。最优参数解为：C=3.031 4，g=0.062 5，最小MSE=0.021 876。

图4 网格寻优算法流程图Fig.4 The flow chart of grid parameter optimization algorithm

图5 网格参数寻优算法结果Fig.5 The results of grid parameter optimization algorithm

4.2 GA参数寻优算法

遗传算法（Genetic Algorithms，GA）根据适者生存、优胜劣汰等自然进化规则来进行搜索计算和问题求解。

标准GA算法虽然在理论上形成了一套完整的体系，但是由于存在早熟问题，经常使其得不到真正的最优解。因此对GA算法做如下改进：遗传算法初期个体之间的差异性比较大，采用较大的交叉概率和较小的变异概率，有利于保存有用的遗传信息；而在遗传算法后期，个体之间适应度的差别很小，采用较小的交叉概率和较大的变异概率，能够增加个体的多样性，有利于进行全局搜索和克服早熟现象[10]。其算法流程图如图6所示。图7给出了GA寻优算法的结果。最优参数解为：C=3.277 8，g=59.769 7，最小 MSE=0.032 364（种群数量pop=20）。

图6 GA算法流程图Fig.6 The flow chart of GA

图7 GA参数寻优算法结果Fig.7 The result of GA

4.3 PSO参数寻优算法

粒子群优化算法模拟鸟群觅食过程中的迁徙和群集行为，是一种基于群体智能的进化计算技术[11]。

在PSO 算法中，群体的每个成员被称为粒子，每个粒子在多维搜索空间中以一定的速度飞行，根据粒子本身的飞行经验以及同伴的飞行经验对自己的飞行速度进行动态调整，即每个粒子通过统计迭代过程中自身的最优值和群体的最优值来不断地修正自己的前进方向和速度大小，从而形成群体寻优的正反馈机制。从而依据每个粒子对环境的适应度将个体逐步移到较优的区域，并最终搜索、寻找到问题的最优解。算法流程图如图8所示，图9给出了PSO寻优算法的结果。最优参数解为：C=22.012 6，g=0.01，最小 MSE=0.021 697（参数 c1=1.5,c2=1.7,种群数量pop=20）。

图8 PSO算法流程图Fig.8 The flow chart of PSO

图9 PSO参数寻优算法结果Fig.9 The result of PSO

4.4 三种算法结果的验证

分别利用上述三种算法得到的C和g参数建立SVM模型，利用样本空间的训练集和测试集对三种模型进行验证。图10、图11、图12分别为网格寻优算法、GA寻优算法和PSO寻优算法的验证结果。

由三种算法的结果图看以看出，网格寻优算法和 PSO寻优算法虽然得到的C和 g的参数差别较大，但是计算得到的最小MSE值比较接近，并且通过测试集验证得到了比较好的回归结果。可以说明SVM模型的最优参数并不是唯一确定的。而GA寻优算法相比较其他两种算法来说，计算得到的最小MSE值要大一些，而且从图11的结果图看出，GA寻优算法得到 SVM 模型在训练集上能得到几乎完美的回归效果，然而在测试集上的回归效果却非常差，说明GA寻优算法得到的参数具有很差的推广性，即泛化能力。

图10 网格寻优算法验证结果Fig.10 The validation results of grid parameter optimization algorithm

图11 GA寻优算法结果Fig.11 The validation results of GA

图12 PSO寻优算法结果Fig.12 The validation results of PSO

5 结论

对于永磁球形电机的 SVM 回归模型的参数寻优，GA参数寻优算法计算得到的参数其SVM模型的回归效果具有很差的泛化能力，说明GA寻优算法并不适用于球形电机SVM回归模型的参数寻优。而网格参数寻优算法和 PSO参数寻优算法虽然计算得到的参数 C和 g并不相同，但是各自的 SVM模型的回归效果基本相同。这也说明了 SVM 模型最优参数并不是唯一确定的。另外，本文所用的样本空间比较小，所以两种算法的计算时间差别不大。如果是大样本空间的话，网格参数寻优算法比PSO寻优算法的时间代价要大的多。

[1] Vladimir Vapnik,Esther Levin,Yann Le Cun.Measuring the VC-dimension of learning machines[J],Neural Computation,1994,6(5): 851-867.

[2] Nello Cristianini,John Shawe Taylor.支持向量机导论[M].李国正等译.北京: 北京电子工业出版社,2004.

[3] Olivier Chapelle,Vladimir Vapnik,Olivier Bousquet,et al.Choosing multiple parameters for support vector machines[J].Machine Learning,2002,46(1): 131-159.

[4] 李兵,姚全珠,罗作民,等.基于网格模式搜索的支持向量机模型选择[J].计算机工程与应用,2008,44(15): 136-138.Li Bing,Yao Quanzhu,Lou Zuomin,et al.Gird-pattern method for model selection of support vector machines[J].Computer Engineering and Applications,2008,44(15): 136-138.

[5] Chen P W,Jungying W,Hahnming L.Model selection of SVMs using GA approach[C].Proceedings of IEEE International Joint Conference on Neural Networks,Piscataway,2004: 2035-2040.

[6] Wang Cunrui,Duan Xiaodong,Liu Xiangdong,et al.A modified basic particle swarm optimization algorithm[J].Computer Engineering,2004,30(21):35-37.

[7] 任洪娥,霍满冬.基于PSO 优化的SVM 预测应用研究[J].计算机应用研究,2009,26(3): 867-869.Ren Honge,Huo Dongman.Support vector machine optimized by particle swarm optimization algorithm for holding nail force forecasting[J].Application Research of Computers,2009,26(3): 867-869.

[8] 李争.仿人机器人关节用永磁球形步进电动机的基础研究[D].合肥: 合肥工业大学,2006.

[9] 茆诗松,王金玉,周纪芗.参数设计思想与方法的研究[J].应用概率统计,1993,9(4): 438- 448.Mao Shisong,Wang Jinyu,Zhou Jixiang,et al.Research of idea and mebod of parameter design[J].Chinese Journal of Applied Probability and Statistics,1993,9(4): 438-448.

[10] 刘东平,单甘霖,张岐龙.基于改进遗传算法的支持向量机参数优化[J].微计算机应用,2010,31(5):11-15.Liu Dongping,Shan Ganlin,Zhang Qilong.Parameters optimization of support vector machine based on improved genetic algorithm[J].Microcomputer Applications,2010,31(5): 11-15.

[11] Kennedy J,Eberhart R.Particle swarm optimization[C].Proc.IEEE International Conf.on Neural Networks,1995: 1942-1948.