能否有的F-t图像

洪和森

(浙江省舟山中学 浙江 舟山 316021)

【题目】汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，牵引力为F0.t1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动.下面几个关于汽车牵引力F,汽车速度v在这个过程中随时间t变化的图像中正确的有

这是一道典型的机车类问题，出现在众多的高考复习资料中，但笔者认为该题的F-t图像是不应该有的.本文将结合参考文献[1,2]从数学角度进行推导，并利用Modellus进行仿真后绘制出F-t图像，从而来说明本文的观点，如有不当，还望同行不吝赐教.

1 数学推导

(1)

在t1时刻以后功率、牵引力和速度之间的关系为

(2)

由于式(2)中P是恒定值，而F,v均随时间发生变化，故式(2)两侧分别对时间t求导可得

(3)

根据加速度的定义

和牛顿第二定律

F-F0=ma

可得

(4)

由式(2)可得

(5)

把式(4)、(5)带入式(3)得

(6)

对式(6)整理可得

(7)

若令

对y进行求导并整理可得

(8)

那么F-t图像该怎么画呢？参考文献[1,2]中不约而同地画成了如图1所示的图像，但这种画法是否正确，笔者认为值得商榷.

图1

图2

2 Modellus仿真

Modellus是由葡萄牙新里斯本大学科学与技术学院的Vitor Duarte Teodoro教授带领下开发的科学模拟软件，是一个简单易学的免费软件，并具有良好的交互性，其界面如图3所示，界面主要由标题栏、功能区、动画区(内有“数学模型”“图”“表格”“注解”4个窗口)、动画控制区组成.

图3 Modellus的界面构成

根据题目的情形，可以在“数学模型”窗口中构建如图4所示的数学模型，其中v0设置为30 m/s，F0设置为3 000 N，汽车的质量m设置为2 000 kg，t1时刻设置为1 s末，k表示牵引力F随时间的变化率.

图4 构建数学模型

把“图”窗口中的纵轴设置为F，点击“播放”后，可以在“图”窗口中看到F-t图像，如图5所示.

图5 绘制F-t图像

而后把“图”窗口中的纵轴设置为k，就可以得到如图6所示的k-t图像，从中可以看到,F-t图像的斜率的确如前面推导的那样变化.

图6 绘制k-t图像

3 小结

因此，本题目的中F-t图像选项的设置对大多数学生而言，只能在模糊中判断，并容易形成错误的观点，失去了题目应有的意义，故笔者认为题目中的F-t图像不该有.

参考文献

1 周美健. 关于一道机车启动问题的深思.中学物理，2007(8):52～53

2 张渊. 汽车牵引力与时间关系图像凹凸性的讨论.物理教师, 2010(12):39～40