基于通行能力分析的路网分维数

李清波，何石坚，匡姣姣

（长沙理工大学交通运输工程学院，湖南长沙 410004）

分维数是指用于描述自然界中事物的整体与其组成部分以某种方式自相似的特性参数。若将公路网视为整体，将公路路线视为其组成部分，建立工程实践中路网分维数的计算方法，从而利用分维数来分析公路网与公路路线之间的过渡关系。

国内许多学者对路网分维数进行了相关研究，管楚度［1］探讨了分形理论与公路工程实践的联系，给出了公路工程实践中某一地区单个等级公路网分维数的计算方法；游清华［2－3］等人研究了路网分维数与路网密度等指标的关系，提出了路网分维数既能描述路网密度等指标又能体现路网的均匀性等特性，且将路网分维数应用在路网评价中；蔡翠［4］利用分维数对山东省高速公路网和国省干线公路网的发展进行了研究；仇东东［5］等人利用分维数对浙江省各等级公路网进行了分项研究；陈迎春［6］等人研究了分形理论与工程实践的关系，并将分形理论运用到公路网规划评价当中；李海侠［7］探讨了分形理论在公路网中的应用。国外学者也对路网分维数进行了一些探讨［8－11］。

路网分维数是路网评价的可靠指标，对其展开的研究具有较为重要的意义。然而，传统的路网分维数指标仅能用于描述某一地区单个等级公路网的相关特性，却不能用于包含各个等级公路的路网整体。因此，需要寻求一个能够建立起各等级公路之间联系的分析过程，再将这个过程融入到传统的路网分维数的计算中，期望通过改进的计算方法得到能用于评价包含各个等级公路整体的路网分维数指标。

寻求多等级路网与单一等级路网的内在联系重点在于对决定公路等级指标的分析。从公路路线设计技术规范［12］对公路等级的划分标准中可知，交通量是决定公路等级的外因，而通行能力分析是决定公路等级的内因，通行能力分析是公路规划和设计的重要流程，设计通行能力既能直观地区分公路等级，又能定量化分析某一等级公路在公路网当中所起功能和作用。因此，要建立起多等级路网与单一等级路网的内在联系，应该以通行能力分析这一内在因素为纽带。

作者拟以通行能力分析为纽带，建立起多等级路网中各等级公路的联系，对路网分维数计算方法稍做改进，得到改进后的路网分维数指标，再将其运用到多等级路网的整体评价中。以湖南部分地区公路网实际情况为依托，得出改进后的路网分维数计算结果，并根据试算结果，结合湖南省社会经济发展状况，对湖南省部分地区公路网特性进行分析。

1 路网分维数计算

1.1 根据Hausdarf简化法计算分维数

对于一个整体，若量度其“容积”单位的半径为r，用该单位量度的结果N（r）满足以下关系，则称D为该整体的分维数：

式中：c为常数；r为整体划分为局部所选取的单位量度；N为整体划分为局部的个数；D为整体的分维数。

利用分形几何理论，对式（1）进行展开，得：

式中：Ds为相似维数；δ为局部与整体的相似比。

1.2 工程实践中的单一等级路网分维数计算

在工程实践中，对Hausdarf计算方法进行粗视化处理，具体步骤为：用间隔r的格子把平面分割成边长为r的正方形网格，计量研究对象落入到正方形格子的数目，记为N（r）。N（r）随着边长r的变化而变化，二者关系可近似表示为：

式中：A为常数。

1.3 基于通行能力分析的路网整体分维数计算

传统的工程实践中，路网分维数计算和研究的对象为单一等级路网，式（4）中所得到的路网相似分维数Ds仅体现了某一地区某一等级公路路线与这一等级公路路线所构成路网的自相似特性。需要研究地区公路网在整体上的自相似特性，不妨在式（4）的基础上做一定的改进。

计算分维数时，用间隔r的格子把平面分割成边长为r的正方形网格，计量研究对象落入到正方形格子的数目，记为N（r）。借鉴权重的思想，考虑到不同等级公路在公路网中所起到服务功能的不同，在路网整体分析中，各自所占的权重会存在一些差异。同时通行能力是表征公路服务功能的最直接指标，通行能力的大小直接体现某一等级公路在路网中所处的地位即所占的权重。因而，以各等级公路通行能力的比较分析为基础，对N（r）做细化改进：

式中：i为公路等级；i＝0～4依次表示高速、一级、二级、三级和四级公路；Ci为按通行能力分析的i级公路的换算系数；ni（r）为i级公路落入到以r为量度的正方形格子的数目；De为路网整体分维数。

根据《公路路线设计技术规范》（JTG D20－2006）中各等级公路的设计通行能力范围，结合中国各地区公路网中二级公路所占比重最大的实际情况，以二级公路设计通行能力为参照系，在二级公路设计通行能力范围中值处（即1 075pcu／h）取其换算系数Ci＝1，其余各等级公路换算系数按其设计通行能力与参照系设计通行能力的线性关系进行计算，则可得各等级公路通行能力与对应换算系数，见表1。

表1 各等级公路设计通行能力与对应换算系数Table 1 Design traffic capacities of all the highways and the corresponding conversion coefficients

2 基于通行能力分析的路网分维数应用和分析

2.1 湖南部分地区基于通行能力分析的路网整体分维数计算

根据改进后的路网分维数计算方法，对湖南省部分地区公路网进行了基于通行能力分析的路网整体分维数试算和分析。湖南省现有公路网中，高速公路主要为四车道，一级公路主要为四车道，二级、三级和四级公路按设计通行能力的中值换算取值。根据湖南省公路网实际情况，选取换算系数见表2。

表2 湖南公路网各等级公路换算系数Table 2 Conversion coefficients of all the highways in Hunan Province

分别对长沙、常德、湘西自治州、张家界、娄底及衡阳等6个地区的公路网进行粗视化处理，换算系数按表2取值，所得的基于通行能力分析的路网整体分维数试算结果见表3。

采用最小二乘法，拟合r与N（r）的对数关系（如图1～6所示）。按式（6）计算得各地区路网整体分维数De，见表4。

2.2 路网整体分维数试算结果分析

2.2.1 路网整体分维数De的合理性分析

从图1～6中可以看出，各地区路网分维数在进行通行能力分析计算后，所得的标度r与N（r）的双对数关系仍满足线性关系。这就验证了式（6）的可行性以及De在理论上的合理性。

2.2.2 路网整体分维数De与经济指标的协调性分析

从表4中可以看出，各地区路网整体分维数排名与De人均GDP排名接近。这说明De越大的地区，在湖南经济中所占的主导作用越大。基于通行能力分析的路网分维数在一定程度上与各地区的经济指数相协调。

表3 基于通行能力分析的各地区公路网整体分维数试算表Table 3 Trial results of highway network fractal dimension based on the analysis of the traffic capacity

图6 衡阳地区路网整体分维数分析图Fig.6 Analysis of highway network fractal dimension in Hengyang

表4 各地区公路网整体分维数De、人均GDP及排名Table 4 Highway network fractal dimension De，GDP per person and its ranking in these areas

2.2.3 路网整体分维数De与地理因素的一致性分析

分析试算结果中各地区路网整体分维数De的排名可以看出，基于通行能力分析的路网整体分维数De随各地区地理位置的变化规律呈明显的从东南往西北递减，而湖南在中国公路版图上恰好起连接东南沿海和西部地区的过渡作用。这说明路网整体分维数De能较好地描述公路网的发展与地理因素之间的有机联系，可以作为某一地域（如：湖南）公路网整体分析和评价的基础。

3 结语

依托湖南省长沙、常德、湘西自治州、张家界、娄底及衡阳等6个地区的公路网实际情况，按照工程实践中路网分维数的计算方法，并结合通行能力分析加以改进，得到了各地区路网整体分维数De。在对路网整体分维数的特性和各地区路网分维数之间的规律进行分析之后，得到的结论为：

1）地区路网整体分维数De与地区的经济指标存在着正相关关系，可用于定性比较各地区之间经济发展程度的差异。路网整体分维数De越大，地区经济越发达。

2）路网整体分维数De能客观地描述同一地域（如：湖南）不同地区（如：长沙等）公路网之间的变化规律，对某一地域的公路网结构作出一定的分析和评价。

3）基于通行能力分析，对路网分维数进行的细化计算方法在研究地区整体公路网的特性时可行。基于通行能力分析的路网整体分维数De，可用于分析地区公路网的整体特性，使传统路网分维数只能用于分析某一地区某一等级公路网的局限性得到了改善。

将更多影响公路网发展的因素结合到路网整体分维数De的计算中是今后的研究方向之一，如：地区产业结构的不同对公路网分维数产生的影响导致了湘西地区公路网整体分维数大于张家界地区整体公路网分维数，而张家界地区人均GDP却大于湘西地区人均GDP的结果。对路网分维数De的分析和计算，还需要进一步开展全面、深入、细致的研究。

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