一道“带电粒子在电磁场中运动”命题的思路及体会

黄良文

（浙江省永嘉中学 浙江 温州 3251 00 ）

前段时间对学生进行了“带电粒子在电磁场中的运动”的一轮复习，于是借机给学生做了一道以该考点为命题背景的自编计算题．学生做完后意犹未尽，相互讨论着题目中的某些环节及解题思路，这让学生对该考点的知识巩固起到了很好的作用．

下面笔者就用这道以“带电粒子在电磁场中的运动”为考点的自编题为例，谈一下在命题中的思路及体会．

1 基本思路

1．1 编排轨迹

分析带电粒子的运动轨迹是学生解决电磁场类题目的关键，所以教师命题时应先定好运动轨迹．

1．2 安放道具

为了让带电粒子顺利完成预定的轨迹，需要在合适的区域加上电场、磁场或复合场．当无法用场来控制路线时，往往会在某些位置安放一些辅助道具，比如具有完美弹性的挡板，带电粒子与挡板碰撞后会被镜像反弹．

1．3 拼凑数据

为方便表达，数据的拼凑应在合理的前提下使答案尽量简便．所以需要边解题、边拼凑、边修正．

2 命题过程

图1 预设轨迹

为了提高题目的趣味性，让学生做题不觉得枯燥，笔者将轨迹定为一个心形图案，如图1所示．弯曲轨迹由磁场控制，直线轨迹由电场控制，图案的底部尖角处则安放一块挡板．坐标轴的建立如图2所示，横轴上方为垂直纸面的匀强磁场，下方为与直线轨迹平行的匀强电场．此时电场的出现反而无形中给学生透漏了横轴下方的轨迹图，所以，最终只能将电场去除．为了便于凑数据，直线轨迹与横轴的夹角采用了45 °角．

图2 预设背景

3 题目展示

3．1 原题及参考答案

如图3所示，在x轴上方有一方向垂直纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场．两宽度均为a的上、下挡板平行x轴放置，各自的中点P，Q均在y轴上，且O P＝a，OQ ＝ （1＋槡2）a．一正电粒子（不计重力）从P点以速度v0沿y轴正向离开上挡板．粒子从磁场出来后撞向下挡板的Q点，粒子与挡板碰撞前后，x方向的分速度不变，y方向的分速度反向且大小不变．π≈4）

（1）在图3中画出粒子的运动轨迹（作图中涉及到角度需写出必要的求解过程）；

（2）求粒子再次回到上挡板所需的时间t；

（3）若不借助下挡板，而采用磁感应强度也为B的半圆形匀强磁场，让粒子在离开半圆形磁场后依然沿原先的路线运动，则半圆形磁场的最小面积为多大．

图3 题目插图

参考答案：

（1）设粒子从x轴上的S点离开磁场，由对称性可知

轨迹如图4所示．

图4 粒子轨迹

（2）设粒子在x轴上方匀强磁场中做圆周运动的半径为r，周期为T，则

设粒子在第二象限运动的时间为t1，第三象限运动的时间为t2，则

所以，粒子运动一周所需时间为

图5 第（3）问轨迹

3．2 题目拓展及参考答案

还可以根据学生的水平或者结合教学目的，在此题目的基础上改出多种版本．

比如，可以在题目第（1）问前面加入“速度选择器”．

添加1：如图6所示，在上挡板与x轴间还有一方向平行x轴向右的匀强电场，两极板与y轴平行且关于y轴对称，间距为a，两板间电压U＝a B v0，O点处有一粒子源，能沿y轴正方向放出速度大小不等的正电粒子，现在P点开一小孔，求从P点飞出的粒子的速度大小．

图6 添加1插图

参考答案：由题意可知，粒子从P点飞出，则所受洛伦兹力与电场力为一对平衡力，即

则v＝v0

也可以利用电场对带电粒子有偏转作用将题目条件替换，在第（3）问后添加．

添加2：如图7所示，x轴上方有一对碰撞特性与下挡板相同的绝缘板，平行x轴放置且宽度均为2槡2a，中点分别为P，M，其中M点与Q点关于O点对称，两板间有沿y轴负方向的匀强电场但无磁场．现让之前的正电粒子以v0的速度从电场右上角平行x轴进入电场．为使粒子能形成与（1）相似的轨迹，求匀强电场的场强E．

图7 添加2插图

图8 添加2轨迹

参考答案：

由对称性可知粒子在电场中的轨迹关于y轴对称，轨迹如图8所示．

在匀强电场区域沿x轴方向

沿y轴方向

在磁场区域

联立得

E＝2B v0

当然也可以把电场放在x轴下方．但是设计的时候一定要注意不能超纲，而且画的插图应合理，不能诱导甚至误导学生．

添加3：如图9所示，若在第三象限（不含y轴）加一沿x轴负方向的匀强电场，在第四象限（含y轴）加一等大沿x轴正方向的匀强电场，为使粒子能垂直撞向下挡板且离开电场后依然沿原先的路线运动，应将下挡板沿y轴向上或向下平移多大距离．

图9 添加3插图

参考答案：

设挡板平移至Q′点，如图10 所示，由平抛规律可知

图10 添加3轨迹

对该问还可以进行难度的调控，比如将“垂直撞向下挡板”去除．

添加4：若在第三象限（不含y轴）加一沿x轴负方向的匀强电场，在第四象限（含y轴）加一等大沿x轴正方向的匀强电场，为使粒子撞向下挡板反弹离开电场后能依然沿原先的路线运动，试求下挡板沿y轴向下平移距离L的范围及场强E的大小范围．

参考答案：

要使粒子返回磁场后能沿原先路线运动，必须使粒子撞在下挡板的中点．

当E＝0时，无需移动下挡板，即L＝0．

当E取最大时，粒子刚好垂直撞向下挡板的中点，如图10 所示．

粒子沿y轴方向的速度大小为

沿y轴方向

沿x轴方向

由圆周运动周期公式

当然，还可以将轨迹改成非45 °角的情况．

图11 添加5轨迹

参考答案：

可得 θ＝60 °

3．3 特殊数据普通化

如果想直接将题目背景设计成粒子进入电场的速度为任意角的话，在作插图时，可以先画两个关于y轴对称等大的圆，如图12 所示．然后将x轴补上去（只需低于圆心即可）交两圆于S点、S′点，如图13 所示．再分别过两交点作圆的切线并延长交y轴于Q点，如图14 所示．

图12 画两对称圆

图13 补上x轴

图14 过交点作切线

图15 拼凑数据

最后修改题干中的数据即可．

如图15 所示，依然以O P＝a为例．

4 测试反馈

最好能将命好后的题目给学生测试一下．学生会反应出题目中某些不合理的细节和其解题时碰到的难点在何处．结合学生的反馈对题目进行修正．

5 命题体会

题目最终还是给学生做的，命题时应把握好考点，否则，再精心设计的题目也是徒劳的．

插图需标准，像带电粒子在电磁场中运动的题目，常常要画运动轨迹，找几何关系，如果插图不标准容易给学生造成不必要的麻烦甚至误导学生．

多借鉴已有的题目，分析考点所对应的常用命题背景，博采众长．在平时的教学中，如果碰到合适的题目还可以让学生对这个题目进行改编，比如，替换条件或者增加一问，这样，能培养学生将题目归类和举一反三的能力．